1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系 基础送分 提速狂刷练 一、选择题 1 (2016 浙江高考 )已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l，若直线 m， n 满足 m ，n ，则 ( ) A m l B m n C n l D m n 答案 C 解析 对于 A， m 与 l 可能平行或异面，故 A 错误；对于 B， D， m 与 n 可能平行、相交或异面，故 B， D 错误；对于 C，因为 n ， l? ，所以 n l，故 C 正确故选 C. 2若 l1， l2， l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 ( ) A l1 l2， l2 l3?l1 l3
2、 B l1 l2， l2 l3?l1 l3 C l1 l2 l3?l1， l2， l3共面 D l1， l2， l3共点 ?l1， l2， l3共面 答案 B 解析 当 l1 l2， l2 l3时， l1与 l3也可能相交或异面，故 A 不正确； l1 l2， l2 l3?l1 l3，故 B 正确；当 l1 l2 l3时， l1， l2， l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故 C 不正确；l1， l2， l3共点时， l1， l2， l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故 D 不正确故选 B. 3 (2016 雅安期末 )已知正方体 ABCD A1B1C1D1，则过点 A 与 AB
3、， BC， CC1所成角均相等的直线有 ( ) A 1 条 B 2 条 C 4 条 D无数条 答案 C 解析 若直线和 AB， BC 所成角相等，得直线在对角面 BDD1B1内或者和对角面平行，同时=【 ;精品教育资源文库 】 = 和 CC1所成角相等，此时在对角面内只有体对角线 BD1满足条件此时过 A 的直线和 BD1平行即可， 同理体对角线 A1C， AC1， DB1也满足条件则过点 A 与 AB， BC， CC1所成角均相等的直线只要和四条体对角线平行即可，共有 4 条故选 C. 4 (2017 宁德期末 )如图是正方体的平 面展开图，则在这个正方体中， AM 与 BN 所成角的大小为
4、 ( ) A 0 B 45 C 60 D 90 答案 D 解析 如图，把正方体的平面展开图还原成正方体 ADNE CMFB， CD BN， CD AM， AM BN， 在这个正方体中， AM 与 BN 所成角的大小为 90. 故选 D. 5如图所示，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， AA1 2AB，则异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.15 B.25 C.35 D.45 答案 D 解析 连接 BC1，易证 BC1 AD1，则 A1BC1即为异面直线 A1B 与 AD1所成的角连接 A1C1，设 AB
5、1，则 AA1 2， A1C1 2， A1B BC1 5，故 cos A1BC1 5 5 22 5 5 45.故选 D. 6 (2018 江西景德镇模拟 )将图 1 中的等腰直角三角形 ABC 沿斜边 BC 上的中线 AD 折起得到空间四面体 ABCD(如图 2)，则在空间四面体 ABCD 中， AD 与 BC 的位置关系是 ( ) A相交且垂直 B相交但不垂直 C异面且垂直 D异面但不垂直 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 C 解析 在题图 1 中， AD BC，故在题图 2 中， AD BD， AD DC，又因为 BD DC D，所以 AD 平面 BCD，又 BC?平面 BCD， D
6、 不在 BC 上，所以 AD BC，且 AD 与 BC 异面故选 C. 7 (2017 河北唐山模拟 )已知 P 是 ABC 所在平面外一点， M， N 分别是 AB， PC 的中点，若 MN BC 4， PA 4 3，则异面直线 PA 与 MN 所成 角的大小是 ( ) A 30 B 45 C 60 D 90 答案 A 解析 取 AC 的中点 O，连接 OM， ON，则 ON AP， ON 12AP， OM BC， OM 12BC，所以异面直线 PA 与 MN 所成的角为 ONM(或其补角 )，在 ONM 中， OM 2， ON 2 3， MN 4，由勾股定理的逆定理得 OM ON，则 ON
7、M 30. 故选 A. 8如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上，且 AB CD，正方体的六个面所在的平面与直线 CE， EF 相交的平面个数分别记为 m， n，那么 m n ( ) A 8 B 9 C 10 D 11 答案 A 解析 如图， CE? 平面 ABPQ，从而 CE 平面 A1B1P1Q1，易知 CE 与正方体的其余四个面所在平面均相交， m 4； EF 平面 BPP1B1， EF 平面 AQQ1A1，且 EF 与正方体的其余四个面所在平面均相交， n 4，故 m n 8.选 A. =【 ;精品教育资源文库 】 = 9下列各图是正方体和正四面体， P， Q， R， S 分
8、别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是 ( ) 答案 D 解析 在 A 中易证 PS QR， P， Q， R， S 四点共面 在 C 中易证 PQ SR， P， Q， R， S 四点共面 在 D 中， QR? 平面 ABC， PS 面 ABC P 且 P?QR， 直线 PS 与 QR 为异面直线 P， Q， R， S 四点不共面 =【 ;精品教育资源文库 】 = 在 B 中 P， Q， R， S 四点共面，证明如下： 取 BC 中点 N，可证 PS， NR 交于直线 B1C1上一点， P， N， R， S 四点共面，设为 ， 可证 PS QN， P， Q， N， S 四点共面，设为 . ，
9、都经过 P， N， S 三点， 与 重合， P， Q， R， S 四点共面故选 D. 10 (2018 广东惠州三调 )如图 是一个几何体的平面展开图，其中四边形 ABCD 为正方形，E， F 分别为 PA， PD 的中点，在此几何体中，给出下面 4 个结论： 直线 BE 与直线 CF 异面； 直线 BE 与直线 AF 异面； 直线 EF 平面 PBC； 平面 BCE 平面 PAD. 其中正确的有 ( ) A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 答案 B =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 将展开图还原为几何体 (如图 )，因为四边形 ABCD 为正方形， E， F 分别为 PA，
10、 PD的中点，所以 EF AD BC，则直线 BE 与 CF 共面， 错误；因为 AF?平面 PAD， B?平面 PAD，E 平面 PAD， E?AF，所以 BE 与 AF 是异面直线， 正确；因为 EF AD BC， EF?平面 PBC，BC?平面 PBC，所以 EF 平面 PBC， 正确；平面 PAD 与平面 BCE 不一定垂直， 错误故选 B. 二、填空题 11如图所示，是正方体的平面展开图，在这个正方体中， BM 与 ED 平行； CN 与 BE 是异面直线； CN 与 BM 成 60 角； DM 与 BN 垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是 _ 答案 解析 如图所示，把正方体的平
11、面展开图还原成原来的正方体，显然 BM 与 ED 为异面直线，故命题 不成 立；而 CN 与 BE 平行，故命题 不成立 BE CN， CN 与 BM 所成角为 MBE. MBE 60 ，故 正确； BC 面 CDNM， BC DM， 又 DM NC， DM 面 BCN， DM BN，故 正确，故填 . 12 (2018 仙桃期末 )在空间四边形 ABCD 中， E， F， G， H 分别是 AB， BC， CD， DA 的中点，若 AC BD 2，且 AC 与 BD 成 60 ，则四边形 EFGH 的面积为 _ 答案 32 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 如图所示， E， F， G，
12、 H 分别是 AB， BC， CD， DA 的中点， EH FG BD， EH FG 12BD 1. 四边形 EFGH 是平行四边形， 同理可得 EF GH 12AC 1， 四边形 EFGH 是菱形 AC 与 BD 成 60 ， FEH 60 或 120. 四边形 EFGH 的面积 2 12EF2sin60 32 . 13 (2018 湖北武昌调研 )若四面体 ABCD 的三组对棱分别相等，即 AB CD， AC BD，AD BC，则 _(写出所有正确结论的编号 ) 四面体 ABCD 每组对棱相互垂直； 四面体 ABCD 每个面的面积相等； 从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和
13、大于 90 而小于 180 ； 连接四面体 ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分； 从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 答案 解析 对于 ，把四面体 ABCD 放置在如图所示的长方体中，显然命题 错误；对于 ，因四个面对应的三角形的三边分别对应相等，即它们为全等的三角形，所以 正确；对于 ，当四面体 ABCD 为正四面体时，夹角之和等于 180 ，所以 错误；对于 ，因每组对棱中点的连线分别与长方体的棱平行，且都经过长方体的中心，所以 正确；又命题 显然成立，=【 ;精品教育资源文库 】 = 故填 . 14如图，在正三角形 ABC 中， D， E， F 分
14、别为各边的中点， G， H 分别为 DE， AF 的中点，将 ABC 沿 DE， EF， DF 折成正四面体 P DEF，则四面体中异面直线 PG 与 DH 所成的角的余弦值为 _ 答案 23 解析 折成的正四面体，如图，连接 HE，取 HE 的中点 K，连接 GK， PK，则 GK DH，故 PGK(或其补角 )即为所求的异面直线所成的角 设这个 正四面体的棱长为 2， 在 PGK 中， PG 3， GK 32 ， PK 12 ? ?32 2 72 ， 故 cos PGK PG2 GK2 PK22 PG GK 3 2 ? ?32 2 ? ?72 22 3 32 23， 即异面直线 PG 与
15、DH 所成的角的余弦值为 23. 三、解答题 15 (2018 普宁期末 )如图，直三棱柱 ABC A1B1C1中， D 是 AB 的中点 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)在 A1C 上是否存在一点 Q，使 BC1 DQ? (2)设 AA1 AC CB 2， AB 2 2，求异面直线 AB1与 CD 所成角的大小 解 (1)连接 AC1交 A1C 于 Q，连接 DQ， DQ 为 ABC1的中位线， DQ BC1， A1C 上存在一点 Q，使 BC1 DQ， Q 为 A1C 的中点 (2)连接 AB1，取 BB1中点 M，连接 DM、 CM，则 DM 是 ABB1的中位线， DM AB1， CDM 就是所求异面直线所成角 (或补角 )， AA1 AC CB 2， AB 2
