1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 7.2 空间几何体的表面积与体积 知识梳理 1圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 2柱、锥、台和球的表面积和体积 =【 ;精品教育资源文库 】 = 诊断自测 1概念思辨 (1)圆柱的一个底面积为 S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2 S.( ) (2)设长方体的长、宽、高分别为 2a， a， a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 3 a2.( ) (3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差 ( ) (4)已知球 O 的半径为 R，其内接正方体的边长为 a，则 R 32 a.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (
2、1)(必修 A2P28A 组 T3)如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，且 ADE， BCF 均为正三角形， EF AB， EF 2，则该多面体的体积为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A. 23 B. 33 C.43 D.32 答案 A 解析 如图，分别过点 A， B 作 EF 的垂线，垂足分别为 G， H，连接 DG， CH，容易求得 EG HF 12， AG GD BH HC 32 ， S AGD S BHC 12 22 1 24 ， V VE ADG VF BCH VAGD BHC 2VE ADG VAGD BHC 13 24 122 2
3、4 1 23 .故选 A. (2)(必修 A2P29B 组 T1)若某几何体的 三视图如图所示，则此几何体的表面积是 _ 答案 72 16 2 解析 由三视图易知该几何体是由一个长方体和一个直四棱柱构成的组合体 (如图所示 )其表面积为 243 222 12(2 6)22 2 242 46 72 16 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 3小题热身 (1)(2015 北京高考 )某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 ( ) A 2 5 B 4 5 C 2 2 5 D 5 答案 C 解析 根据三视图画出该空间几何体的立体图： S ABC 1222 2； S ABD 12 51 52
4、 ； S CBD 12 51 52 ； S ACD 122 5 5，所以 S 表 S ABC S ABD S CBD S ACD =【 ;精品教育资源文库 】 = 2 52 52 5 2 5 2.故选 C. (2)(2016 浙江高考 )某几何体的三视图如图所示 (单位： cm)，则该几何体的表面积是_cm2，体积是 _ cm3. 答案 72 32 解析 由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图所示该几何体由两个完全相同的长方体组合而成，其中 AB BC 2 cm， BD 4 cm，所以该几何体的体积 V 2242 32 cm3，表面积 S (223 243)2 362 72 cm2. 题型
5、1 空间几何体的侧面积与表面积 典例 (2016 全国卷 )下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 20 B 24 C 28 D 32 搞清组合体构成部分，分别求其表面积 答案 C 解析 由三视图可得圆锥的母线长为 22 ?2 3?2 4， S 圆锥侧 24 8. 又 S 圆柱侧 224 16 ， S 圆柱底 4 ， 该几何体的表面积为 8 16 4 28. 故选C. 方法技巧 几何体表面积的求法 1简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删或补 2若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中
6、各元素间的位置关系及数量关系 提醒：求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积要减去 冲关针对训练 (2016 全国卷 )如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 ( ) A 18 36 5 B 54 18 5 C 90 D 81 答案 B =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 由三视图可知，该几何体的底面是边长为 3 的正方形，高为 6，侧棱长为 3 5的平行六面体，则该几何体的表面积 S 23 2 233 5 236 54 18 5.故选 B. 题型 2 空间几何体的体积 角度 1 根据几何体的三视图计算体积 典例 (2017 浙江高考 )
7、某几何体的三视图如图所示 (单位： cm)，则该几何体的体积(单位： cm3)是 ( ) A. 2 1 B. 2 3 C.32 1 D.32 3 还原几何体，分清组合体构成部分 答案 A 解析 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为 1，高为 3 的圆锥的一半与一个底面为直角边长是 2的等腰直角三角形，高为 3 的三棱锥的组合体， 该几何体的体积 V 13 2 1 23 13 12 2 23 2 1. 故选 A. 角度 2 根据几何体的直观图计算体积 典例 中国古代数学名著九章算术中记载： “ 今有羡除 ” 刘徽注： “ 羡除，隧=【 ;精品教育资源文库 】 = 道也其所穿地，上平下邪
8、 ” 现有一个羡除如图所示，四边形 ABCD、 ABFE、 CDEF 均为等腰梯形， AB CD EF， AB 6， CD 8， EF 10, EF 到平面 ABCD 的距离为 3， CD 与 AB 间的距离为 10，则这个羡除的体积是 ( ) A 110 B 116 C 118 D 120 此题应采用割补法求解 答案 D 解析 如图，过点 A 作 AP CD， AM EF，过点 B 作 BQ CD， BN EF，垂足分别为 P， M，Q， N，连接 PM， QN，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为 12103 15.棱柱的高为 8，体积 V 158 120.故选 D. 方法
9、技巧 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 1若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解如角度 1 典例 2若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进 行求解如角度 2 典例 冲关针对训练 1 (2014 全国卷 )如图，网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3 cm，高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.1727 B.59 C.1027 D.13 答案 C 解析
10、 由三视图知该零件是两个圆柱的组合体一个圆柱的底面半径为 2 cm，高为 4 cm；另一个圆柱的底面 半径为 3 cm，高为 2 cm.则零件的体积 V1 2 24 3 22 34(cm 3)而毛坯的体积 V 3 26 54(cm 3)，因此切削掉部分的体积 V2 V V154 34 20(cm 3)，所以 V2V 2054 1027.故选 C. 2 (2017 青岛模拟 )如图，在 ABC 中， AB 8， BC 10， AC 6， DB 平面 ABC，且AE FC BD， BD 3， FC 4， AE 5，则此几何体的积体为 _ 答案 96 解析 用 “ 补形法 ” 把原几何体补成一个直三
11、棱柱，使 AA BB CC 8， 所以 V 几何体 12V 三棱柱 12 S ABC AA 12248 96. 题型 3 几何体与球的切、接问题 =【 ;精品教育资源文库 】 = 典例 (2015 全国卷 )已知 A， B 是球 O 的球面上两点， AOB 90 ， C 为该球面上的动点若三棱锥 O ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为 ( ) A 36 B 64 C 144 D 256 变化中寻求不变的量 答案 C 解析 S OAB是定值，且 VO ABC VC OAB， 当 OC 平面 OAB 时， VC OAB最大，即 VO ABC最大设球 O 的半径为 R，则 (VO A
12、BC)max 13 12R2 R 16R3 36， R 6， 球 O 的表面积 S 4 R2 46 2 144. 故选 C. 条件探究 1 若典例中的条件变为 “ 直三棱柱 ABC A1B1C1的 6个顶点都在球 O的球面上 ” ，若 AB 3， AC 4， AB AC， AA1 12，求球 O 的表面积 解 将直三棱柱补形为长方体 ABEC A1B1E1C1， 则球 O 是长方体 ABEC A1B1E1C1的外接球 所以体对角线 BC1的长为球 O 的直径 因此 2R 32 42 122 13. 故 S 球 4 R2 169. 条件探究 2 若将典例条件变为 “ 正四棱锥的顶点都在球 O 的球面上 ” ，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，求该球的体积 解 如图，设球心为 O，半径为 r， 则在 Rt AOF 中， (4 r)2 ( 2)2 r2， 解得 r 94， 则球 O 的体积 V 球 43 r3 43 ? ?94 3 24316 . 方法探究 空间几何体与球接、切问题的求解方法 1与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接球与旋转体的组合通常是作它
