1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 8.7 抛物线 重点保分 两级优选练 A 级 一、选择题 1 (2017 皖北协作区联考 )已知抛物线 C: x2 2py(p0),若直线 y 2x 被抛物线所截弦长为 4 5,则抛物线 C 的方程为 ( ) A x2 8y B x2 4y C x2 2y D x2 y 答案 C 解析 由? x2 2py,y 2x, 得 ? x 0,y 0 或 ? x 4p,y 8p, 即两交点坐标为 (0,0)和 (4p,8p),则p 2 p 2 4 5,得 p 1(舍去负值 ),故抛物线 C 的方程为 x2 2y.故选 C. 2 (2014 全国卷 )设 F 为抛物线 C
2、: y2 3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30 的直线交 C于 A, B 两点,则 |AB| ( ) A. 303 B 6 C 12 D 7 3 答案 C 解析 抛物线 C: y2 3x 的焦点为 F? ?34, 0 ,所以 AB 所在的直线方程为 y 33 ? ?x 34 ,将 y 33 ? ?x 34 代入 y2 3x,消去 y 整理得 x2 212 x 916 0.设 A(x1, y1), B(x2, y2),由根与系数的关系 得 x1 x2 212 ,由抛物线的定义可得 |AB| x1 x2 p 212 32 12.故选 C. 3 (2018 广东广州模拟 )如果 P1, P2, ?
3、 , Pn是抛物线 C: y2 4x 上的点,它们的横坐标依次为 x1, x2, ? , xn, F 是抛物线 C 的焦点,若 x1 x2 ? xn 10,则 |P1F| |P2F| ? |PnF| ( ) A n 10 B n 20 C 2n 10 D 2n 20 答案 A 解析 由抛物线的方程 y2 4x 可知其焦点为 (1,0),准线为 x 1,由抛物线的定义可知 |P1F| x1 1, |P2F| x2 1, ? , |PnF| xn 1,所以 |P1F| |P2F| ? |PnF| x1 1x2 1 ? xn 1 (x1 x2 ? xn) n n 10.故选 A. 4 (2017 江
4、西赣州二模 )抛物线 C: y2 2px(p0)的焦点为 F, A 是抛物线上一点,若 A到 F的距离是 A到 y轴距离的两倍,且三角形 OAF的面积为 1, O为坐标原点,则 p的值为 ( ) A 1 B 2 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 3 D 4 答案 B 解析 不妨设 A(x0, y0)在第 一象限,由题意可知? x0 p2 2x0,S OAF 12 p2 y0 1,即? x0 p2,y0 4p, A? ?p2, 4p ,又 点 A 的抛物线 y2 2px 上, 16p2 2p p2,即 p4 16,又 p0, p 2,故选 B. 5过抛物线 y2 8x 的焦点 F 的直线交抛
5、物线于 A, B 两点,交抛物线的准线于点 C,若|AF| 6, BC FB ( 0),则 的值为 ( ) A.34 B.32 C. 3 D 3 答案 D 解析 设 A(x1, y1), B(x2, y2), C( 2, y3), 则 x1 2 6,解得 x1 4, y1 4 2,点 A(4,4 2), 则直线 AB 的方程为 y 2 2(x 2), 令 x 2,得 C( 2, 8 2), 联立方程组 ? y2 8x,y 2 2 x , 解得 B(1, 2 2), 所以 |BF| 1 2 3, |BC| 9,所以 3.故选 D. 6 (2017 抚顺一模 )已知点 P 是抛物线 y2 4x 上
6、的动点,设点 P 到此抛物线的准线的距离为 d1,到直线 x y 4 0 的距离为 d2,则 d1 d2的最小值为 ( ) A 2 B. 2 C.52 D.5 22 答案 D 解析 点 P到准线的距离等于点 P到焦点 F的距离,过焦点 F作直线 x y 4 0的垂线,此时 d1 d2最小, F( 1,0),则 d1 d2 | 1 0 4|2 5 22 .故选 D. 7 (2018 北京东城区期末 )已知抛物线 C1: y 12px2(p0)的焦点与双曲线 C2: x23 y2 1的右焦点的连 线交 C1于第一象限的点 M,若 C1在点 M 处的切线平行于 C2的一条渐近线,则 p=【 ;精品教
7、育资源文库 】 = ( ) A. 316 B. 38 C.2 33 D.4 33 答案 D 解析 由题意可知,抛物线开口向上且焦点坐标为 ? ?0, p2 ,双曲线焦点坐标为 (2,0),所以两个焦点连线的直线方程为 y p4(x 2)设 M(x0, y0),则有 y 1px0 33 ?x0 33 p.因为 y0 12px20,所以 y0 p6.又 M 点在直线 y p4(x 2)上,即有 p6 p4? ?33 p 2 ?p 4 33 ,故选 D. 8 (2018 河北邯郸调 研 ) 已知 M(x0, y0)是曲线 C: x22 y 0 上的一点, F 是曲线 C 的焦点,过 M 作 x 轴的
8、垂线,垂足为 N,若 MF MN 0,则 x0的取值范围是 ( ) A ( 1,0) (0,1) B ( 1,0) C (0,1) D ( 1,1) 答案 A 解析 由题意知曲线 C为抛物线,其方程为 x2 2y,所以 F? ?0, 12 ,根据题意可知, N(x0,0),x00 , MF ? ? x0,12 y0 , MN (0, y0),所以 MF MN y0? ?12 y0 0,即 0 y012,因为点 M 在抛物线上,所以有 0 x20212,又 x00 ,解得 1 x0 0 或 0 x0 1,故选 A. 9 (2017 山西五校联考 )已知抛物线 C: y2 2px(p0)上一点 (
9、5, m)到焦点的距离为 6,P, Q 分别为抛物线 C 与圆 M: (x 6)2 y2 1 上的动点,当 |PQ|取得最小值时,向量 PQ 在 x轴正方向上的投影为 ( ) A 2 55 B 2 5 1 C 1 2121 D. 21 1 答案 A 解析 因为 6 p2 5,所以 p 2,所以抛物线 C 的方程为 y2 4x. 设 P(x, y),则 |PM| x 2 y2 x 2 4x x 2 20,可知当 x 4 时, |PQ|取得最小值,最小值为 20 1 2 5 1,此时不妨取 P 点的坐标为 (4, 4),则直线 PM 的斜率为 2,即 tan PMO 2,所以 cos PMO 15
10、,故当 |PQ|取得最小值时 ,向=【 ;精品教育资源文库 】 = 量 PQ 在 x 轴正方向上的投影为 (2 5 1)cos PMO 2 55 .故选 A. 10 (2018 湖北七市联考 )过抛物线 y2 2px(p0)的焦点 F 的直线与双曲线 x2 y23 1的一条渐近线平行,并交抛物线于 A, B 两点,若 |AF|BF|,且 |AF| 2,则抛物线的方程为( ) A y2 2x B y2 3x C y2 4x D y2 x 答案 A 解析 由双曲线方程 x2 y23 1 知其渐近线方程为 y 3x, 过抛物线焦点 F 且与渐近线平行的直线 AB 的斜率为 3,不妨取 kAB 3,则
11、其倾斜角为 60 ,即 AFx 60.过 A 作 AN x 轴,垂足为 N.由 |AF| 2,得 |FN| 1.过 A 作 AM 准线 l,垂足为 M,则 |AM| p 1.由抛物线的定义知, |AM| |AF|, p 1 2, p 1, 抛物线的方程为 y2 2x,故选 A. 二、填空题 11 (2017 河南新乡二模 )已知点 A(1, y1), B(9, y2)是抛物线 y2 2px(p0)上的两点,y2y10,点 F 是抛物线的焦点,若 |BF| 5|AF|,则 y21 y2的值为 _ 答案 10 解析 由抛物线的定义可知, 9 p2 5? ?1 p2 ,解得 p 2, 抛物线方程为
12、y2 4x,又 A, B 两点在抛物线上, y1 2, y2 6, y21 y2 22 6 10. 12 (2017 湖南岳阳二模 )直线 3x 4y 4 0 与抛物线 x2 4y 和圆 x2 (y 1)2 1 从左至右的交点依次为 A, B, C, D,则 |CD|AB|的值为 _ 答案 16 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 如图所示,抛物线 x2 4y 的焦点为 F(0,1),直线 3x 4y 4 0 过点 (0,1),由? x2 4y,3x 4y 4 0, 得 4y2 17y 4 0,设 A(x1, y1), D(x2, y2),则 y1 y2174 , y1y2 1,解得 y1
13、 14, y2 4,则 |CD|AB| |FD| 1|AF| 1 y2 1y1 1 16. 13 (2017 河南安阳二模 )已知抛物线 C1: y ax2(a0)的焦点 F 也是椭圆 C2: y24x2b21(b0)的一个焦点,点 M, P? ?32, 1 分别为曲线 C1, C2 上的点,则 |MP| |MF|的最小值为_ 答案 2 解析 将 P? ?32, 1 代入 y24x2b2 1,可得1494b2 1, b 3, c 1, 抛物线的焦点 F为 (0,1), 抛物线 C1的方程为 x2 4y,准线为直线 y 1,设点 M 在准线上的射影为 D,根据抛物线的定义可知 |MF| |MD|
14、, 要求 |MP| |MF|的最小值,即求 |MP| |MD|的最小值,易知当 D, M, P 三点共线时, |MP| |MD|最小,最小值为 1 ( 1) 2. 14 (2017 河北衡水中学调研 )已知抛物线 y2 2px(p0)的焦点为 F,过 F 的直线 l 与抛物线交于 A, B 两点,且 |AF| 4|FB|, O 为坐标原点,若 AOB 的面积为 58,则 p _. 答案 1 解析 易知抛物线 y2 2px 的焦点 F 的坐标为 ? ?p2, 0 ,准线为 x p2,不妨设点 A 在 x轴上方,如图,过 A, B 作准线的垂线 AA , BB ,垂足分别为 A , B ,过点 B
15、 作 BH AA ,=【 ;精品教育资源文库 】 = 交 AA 于 H,则 |BB| |A H|, 设 |FB| t,则 |AF| |AA| 4t, |AH| |AA| |A H| 3t, 又 |AB| 5t, 在 Rt ABH 中, cos HAB 35, tan HAB 43,则可得直线 AB 的方程为 y 43? ?x p2 . 由? y 43?x p2 ,y2 2px,得 8x2 17px 2p2 0, 设 A(x1, y1), B(x2, y2), 则 |AB| x1 x2 p 178p p 258p, 易知点 O 到直线 AB 的距离为 d |OF|sin A AB p2 45 25p. S AOB 12 258p 25p 5p28 58, p2 1,又 p0, p 1. B 级 三、解答题 15 (2017 泰安模拟 )已知抛物线 C: y2 2px(p0)的焦点为 F,抛物线 C 与直线 l1: y x 的一个交点的横坐标为 8. (1)求抛物线 C 的方程; (2)不过原点的直线 l2与 l1垂直,且与抛物线交于不同的两点 A, B,若线段 AB 的中点为 P,且 |OP| |PB|,求 FAB 的面积 解 (1)易知直线与抛物线的交点坐标为 (8, 8), ( 8)2 2p