1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 10 2 古典概型 知识梳理 1基本事件的特点 (1)任何两个基本事件都是 互斥 的 (2)任何事件 (除不可能事件 )都可以表示成 基本事件 的和 2古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型 (1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个 (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性 相等 3如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 1n；如果某个事件 A 包括的结果有 m 个，那么事件 A 的概率 P(A) mn. 4古典概型的概率公式 P(A) A包含的基本事件的个
2、数 基本事件的总数 . 诊断自测 1概念思辨 (1)在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的 . ( ) (2)事件 A， B 至少有一个发生的概率一定比 A， B 中恰有一个发生的概率大 ( ) (3)在古典概型中，如果事件 A 中基本事件构成集合 A，所有的基本事件构成集合 I，那么事件 A 的概率为 card?A?card?I?.( ) (4)利用古典概型的概率可求 “ 在边长为 2 的正方形内任 取一点，这点到正方形中心距离小于或等于 1” 的概率 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(必修 A3P134A 组 T5)在平面直角坐标系中点 (x， y)，
3、其中 x， y 0,1,2,3,4,5，且x y，则点 (x， y)在直线 y x 的左上方的概率是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.13 B.12 C.14 D.23 答案 B 解析 在平面直角坐标系中满足 x， y 0,1,2,3,4,5，且 x y 的点 (x， y)共 有 66 6 30 个，而满足在直线 y x 的左上方，即 yx 的点 (x， y)的基本事件共有 15 个，故所求概率为 P 1530 12.故选 B. (2)(必修 A3P134A 组 T4)已知 A， B， C， D 是球面上的四个点，其中 A， B， C 在同一圆周上，若 D 不在 A， B， C
4、所在的圆周上，则从这四点中的任意两点的连线中取 2 条，这两条直线是异面直线的概率等于 _ 答案 15 解析 A， B， C， D 四点可构成一个以 D 为顶点的三棱锥，共 6 条棱，则所有基本事件有： (AB， BC)， (AB， AC)， (AB， AD)， (AB， BD)， (AB， CD)， (BC， CA)， (BC， BD)， (BC，AD)， (BC， CD)， (AC， AD)， (AC， BD)， (AC， CD)， (AD， BD)， (AD， CD)， (BD， CD)，共 15个，其中满足条件的基本事件有： (AB， CD)， (BC， AD)， (AC， BD)，共
5、 3 个，所以所求概率P 315 15. 3小题热身 (1)(2016 全国卷 )为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余 下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.56 答案 C 解析 解法一：从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种有以下选法： (红黄 )、 (红白 )、 (红紫 )、 (黄白 )、 (黄紫 )、 (白紫 )，共 6 种，其中红色和紫色的花不在同一花坛 (亦即黄色和白色的花不在同一花坛 )的选法有 4 种，所以所求事件的概率 P 46 23，故选 C. 解法二：
6、设红色和紫色的花在同一花坛为事件 A，则事件 A 包含 2 个基本事件：红紫与黄白，黄白与红紫由解法一知共有 6 个基本事件，因此 P(A) 26 13，从而红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 P(A) 1 P(A) 23.故选 C. (2)(2018 山西联考 )从 (40,30)， (50,10)， (20,30)， (45,5)， (10,10)这 5 个点中任取一个，这个点在圆 x2 y2 2016 内部的概率是 ( ) A.35 B.25 C.15 D.45 答案 B 解析 从 (40,30)， (50,10)， (20,30)， (45,5)， (10,10)这 5 个点中任取一个
7、的基本事=【 ;精品教育资源文库 】 = 件总数为 5， 这个点在圆 x2 y2 2016 内部包含的基本事件有 (20,30)， (10,10)，共 2 个， 这个点在圆 x2 y2 2016 内部的概率 P 25，故选 B. 题型 1 简单古典概型的求解 典例 1 (2016 北京高考 )从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为 ( ) A.15 B.25 C.825 D.925 考虑用树状图表示各种结果或用组合表示各种结果 答案 B 解析 设其他 3 名学生为丙、丁、戊，从中任选 2 人的所有情况有 (甲，乙 )， (甲，丙 )，(甲，丁 )， (甲，戊 )， (乙，
8、丙 )， (乙，丁 )， (乙，戊 )， (丙，丁 )， (丙，戊 )， (丁，戊 )，共 4 3 2 1 10 种 其中甲被选中的情况有 (甲，乙 )， (甲，丙 )， (甲，丁 )， (甲，戊 )，共 4 种，故甲被选中的概率为 410 25. 典例 2 (2017 山西一模 )现有 2 名女教师和 1 名男教师参加说题比赛，共有 2 道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为 ( ) A.13 B.23 C.12 D.34 答案 C 解析 记两道题分别为 A， B，所有抽取的情况为 AAA, AAB， ABA， ABB， BAA， BA
9、B， BBA，BBB(其中第 1 个，第 2 个分别表示两个女教师抽取的题目，第 3 个表示男教师抽取的题目 )，共有 8 种；其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为 ABA， ABB， BAA， BAB，共 4 种故所求事件的概率为 12.故选 C. 方法技巧 1基本事件个数的确定方法 列表法 此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法 树状 树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题=【 ;精品教育资源文库 】 = 图法 中基本事件数的探求 2.应用古典概型求某事件的步骤 第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件 A； 第二步，分别求出
10、基本事件的总数 n 与所求事件 A 中所包含的基本事件个数 m； 第三步，利用公式 P(A) mn，求出事件 A 的概率见典例 1,2. 冲关针对训练 (2018 安徽名校模拟 )某车展展出甲、乙两种最新款式的汽车，现从参观人员中随机选取 100 人对这两种汽车均进行评价，评价分为三个等级：优秀、良好、合格，由统计信息可知，甲种汽车被评价为优秀的频率为 35，良好的频率为 25；乙种汽车被评价为优秀的频率为 710，良好的频率是合格的频率的 5 倍 (1)求这 100 人中对乙种汽车评价优秀或良好的人数； (2)如果从这 100 人中按甲种汽车的评价等级用分层抽样的方法抽取 5 人，再从其他对
11、乙种汽车评价优秀、良好的人中各选取 1 人进行座谈会，会后从这 7 人中随机抽取 2 人，求选取的 2 人评价都是优秀的概率 解 (1)因为对乙种汽车评价优秀的频率为 710， 故评价良好或合格的频率为 1 710 310. 设评价 合格的频率为 x，则评价良好的频率为 5x，由题意可得 x 5x 310， 解得 x 120. 所以这 100 人中对乙种汽车评价优秀或良好的人数为 100 ? ?710 5 120 95. (2)因为对甲种汽车评价优秀的频率为 35，良好的频率为 25，则用分层抽样的方法抽取 5人，其中有 3 人评价优秀，分别记为 A， B， C,2 人评价良好，分别记为 a，
12、 b. 记抽取到对乙 种汽车评价优秀、良好的 2 人分别为 D， d， 则从这 7 人中随机抽取 2 人，不同的结果为 A， B， A， C， A， a， A， b， A， D，A， d， B， C， B， a， B， b， B， D， B， d， C， a， C， b， C， D， C， d，a， b， a， D， a， d， b， D， b， d， D， d，共 21 种 记 “ 选取的 2 人评价都是优秀 ” 为事件 M，则事件 M 的结果为 A， B， A， C， A， D，B， C， B， D， C， D，共 6 种 所以选取的 2 人评价都是优秀的概率 P(M) 621 27. 题
13、型 2 复杂古典概型的求解 =【 ;精品教育资源文库 】 = 典例 (2016 山东高考 )某儿童乐园在 “ 六一 ” 儿童节推出了一项趣味活动参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数设两次记录的数分别为 x， y.奖励规则如下： 若 xy3 ，则奖励玩具一个； 若 xy8 ，则奖励水杯一个； 其余情况奖励饮料一瓶 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀小亮准备参加此项 活动 (1)求小亮获得玩具的概率； (2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由 本题采用列表法计算事件数 解 用数对 (x， y)表示儿童参加活动先后记录的数，则
14、基本事件空间 与点集 S (x，y)|x N， y N,1 x4,1 y4 一一对应 因为 S 中元素的个数是 44 16， 所以基本事件总数 n 16. (1)记 “ xy3” 为事件 A，则事件 A 包含的基本事件数共 5 个，即 (1,1)， (1,2)， (1,3)，(2,1)， (3,1) P(A) 516，即小亮获得玩 具的概率为 516. (2)记 “ xy8” 为事件 B， “3516，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率 结论探究 本例中条件不变，试求小亮不能获得玩具的概率 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 由题意知当 xy 3 时，小亮不能获得玩具，此时包含基本事件
15、共 11 个，即 (1,4)，(2,2)， (2,3)， (2,4)， (3,2)， (3,3)， (3,4)， (4,1)， (4,2)， (4,3)， (4,4)，而基本事件总数共 16 个，所以此事件概率为 P 1116. 或根据对立事件求解： xy3 时包含事件个数为 5 个，故其获得玩具的概率为 516，则不能获得玩具的概率为 1 516 1116. 方法技巧 复杂古典概型的求解策略 求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解 冲关针对训练 (2017 江西新余一中模拟 )某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按 200 元 /次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下表： 消费次数 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 5 次及以上 收费比例 1 0.9
