1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 2 讲 空间几何体的表面积和体积 1 (2015 年山东 )已知等腰直角三角形的直角边的长为 2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 ( ) A.2 23 B.4 23 C 2 2 D 4 2 2 (2015 年新课标 )圆柱被一个平面截去一部分后与半球 (半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图 X821.若该几何体的表面积为 16 20 ，则 r( ) 图 X821 A 1 B 2 C 4 D 8 3 (2015 年新课标 )九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： “ 今有
2、委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？ ” 其意思为： “ 在屋内墙角处堆放米 (如图 X822，米堆为一个圆锥的四分之一 )，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？ ” 已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米有 ( ) 图 X822 A 14 斛 B 22 斛 C 36 斛 D 66 斛 4 (2015 年湖南 )某工件的三视图如图 X823，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的利用率为 ? ?材料利用率 新工件的体积原工件的体积 (
3、) =【 ;精品教育资源文库 】 = 图 X823 A. 89 B. 827 C. 23 D.2 3 5 (2016 年四川 )已 知某三棱锥的三视图如图 X824，则该三棱锥的体积 _ 图 X824 6 (2017 年天津 )已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 _ 7 (2016 年浙江 )某几何体的三视图如图 X825(单位： cm)，则该几何体的表面积是_cm2，体积是 _cm3. 图 X825 8 (2015 年上海 )若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比值为 2 ，则其母线与轴的夹角的大小为 _ 9 (2017 年广东揭 阳一模 )已知
4、ABC 的顶点都在球 O 的球面上， AB 6， BC 8， AC10，三棱锥 OABC 的体积为 40 3，则该球的表面积等于 _ 10 (2016 年新课标 )如图 X826，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 图 X826 A 18 36 5 B 54 18 5 C 90 D 81 11 (2015 年新课标 )如图 X827，长方体 ABCDA1B1C1D1 中， AB 16， BC 10， AA1 8，点 E， F 分别在 A1B1， D1C1上， A1E D1F 4.过点 E， F 的平面 与
5、此长方体的面相交，交线围成一个正方形 (1)在图中画出这个正方形 (不必说明画法和理由 )； (2)求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值 图 X827 12 (2016 年新课标 )如图 X828，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E， F分别在 AD， CD 上， AE CF， EF 交 BD 于点 H，将 DEF 沿 EF 折到 D EF 的位置 (1)求证 AC HD ； (2)若 AB 5， AC 6， AE 54， OD 2 2，求五棱锥 D ABCFE 的体积 图 X828 =【 ;精品教育资源文库 】 = 第 2 讲 空间几何体的表面积和体积 1 B
6、解析：由题意知，该等腰直角三角形的斜边长为 2 2，斜边上的高为 2，所得旋转体为同底等高的全等圆锥，所以其体积为 13( 2)22 2 4 23 .故选 B. 2 B 解析：如图 D142，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组 合体，球的半径为 r，圆柱的底面半径为 r，高为 2r，则表面积 S 124 r2 r2 4r2 r2 r (5 4)r2.又 S 16 20 ， (5 4)r2 16 20 ， r2 4， r 2.故选 B. 图 D142 3 B 解析：设圆锥底面半径为 r，则 1423 r 8.所以 r 163.所以米堆的体积为 13 143 ? ?163 25 3209 .故堆放
7、的米约为 3209 1.6222( 斛 )故选 B. 4 A 解析：欲使正方体最大，则其上底面四个顶点需在圆锥上圆锥体积 V1 131 22 2 2 23 . 作几何体截面图，如图 D143，则内接正方体棱长 a 2 23 . 图 D143 正方体体积 V2 a3 ? ?2 23 3 16 227 . V2V1 16 227 32 2 89 .故选 A. 5. 33 解析：由三视图可知三棱锥的底面积为 S 122 31 3，高为 1，所以该三棱锥的体积为 V 13Sh 13 31 33 . 6.92 解析：设正方体边长为 a，则 6a2 18?a2 3，外接球直径为 2R 3a 3， V 43
8、 R3 43 278 92. 7 80 40 解析：由三视图知该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体， S 表 62 2 24 2 424 22 2 80， V 23 442 40. 8. 3 解析：由题意，得 rl ? ?12h2 r 2 ?l 2h?母线与轴的夹角为 3. 9 400 解析：依题意知 ABC 为直角三角形，其所在圆面的半径为 12AC 5，设三棱=【 ;精品教育资源文库 】 = 锥 OABC 的高为 h，则由 13 1268 h 40 3，得 h 5 3.设球 O 的半径为 R，则由 h252 R2，得 R 10.故该球的表面积为 400. 10 B 解析：由三视图知该
9、几何体是以 33 的正方形为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积 S 236 233 233 5 54 18 5.故选 B. 11解： (1)交线围成的正方形 EHGF 如图 D144. 图 D144 (2)如图，作 EM AB，垂足为 M， 则 AM A1E 4， EB1 12， EM AA1 8. 因为四边形 EHGF 为正方形，所以 EH EF BC 10. 于是 MH EH2 EM2 6， AH 10， HB 6. 因为长方体被平面 分成两个高为 10 的直棱柱，所以其体积的比值为 97? ?79也正确 . 12 (1)证明：由已知，得 AC BD， AD CD. 又由 AE CF，得
10、 AEAD CFCD. 故 AC EF.由此，得 EF HD. 折后 EF 与 HD 保持垂直关系，即 EF HD ， 所以 AC HD. (2)解：由 EF AC，得 OHDO AEAD 14. 由 AB 5， AC 6，得 DO BO AB2 AO2 4. 所以 OH 1， D H DH 3. 于是 OD 2 OH2 (2 2)2 12 9 D H2. 故 OD OH. 由 (1)知， AC HD ，又 AC BD， BD HD H， 所以 AC 平面 BHD. 于是 AC OD. 又由 OD OH， AC OH O， 所以 OD 平面 ABC. 又由 EFAC DHDO，得 EF 92. 所以五边形 ABCFE 的面积 S 1268 12 923 694. 所以五棱锥 D ABCFE 的体积 V 13 694 2 2 23 22 .
