1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第六章 不 等 式 第 1 课时 一元二次不等式及其解法 一、 填空题 1. 函数 f(x) 3 2x x2的定义域为 _ 答案： 3， 1 解析：由 3 2x x2 0， 解得 3x1. 2. 不等式 x 5x 1 0 的解集是 _ 答案： ( ， 5(1 ， ) 解析：由 x 5x 1 0， 得 (x 5)(x 1)0 且 x 10 ， 解得 x 5 或 x1. 3. 不等式 2x2 x0 时 ， f(x) x2 4x， 则不等式 f(x)x 的解集用区间表示为 _ 答案： ( 5， 0)(5 ， ) 解析：由已知得 f(0) 0， 当 xx 等 价于 ?
2、x0 ，x2 4xx或 ?xx， 解得 x5 或 52， 因此 x0. 解：原不等式等价于 (ax 2)(x 2)0， 以下分情况进行讨论： (1) 当 a 0 时 ， x0 时 ， ? ?x 2a (x 2)0， 考虑 2a 2 2 1 aa 的正负： 当 02， 故 x2a； 当 a 1 时 ， 2a 2， 故 x2 ； 当 a1 时 ， 2a2. 综上所述 ， 当 a0 知 g(m)=【 ;精品教育资源文库 】 = 在 2， 2上为增函数 ， 则由题意只需 g(2)0 所表示的平面区域内 ， 则 m 的取值范围是_ 答案： (1， ) 解析：由 2m 3 50， 得 m1. 2. 不等式
3、组?y x 2，y x 1，y 0所表示的平面区域的面积为 _. 答案： 14 解析：作出不等式组对应的区域为 BCD ， 由题意知 xB 1， xC 2.由?y x 2，y x 1， 得 yD 12， 所以 S BCD 12 (xC xB) 12 14. 3. 若实数 x， y 满足?2x y4 ，x 3y7 ，x 0，y 0，则 z 3x 2y 的最大值为 _ 答案： 7 解析：由约束条件作出可行域 ， 可知当过点 (1， 2)时 z 3x 2y 的最大值为 7. 4. 已知不等式组?x y1 ，x y 1，y 0所表示的平面区域为 D.若直线 y kx 3 与平面区域 D有公共点 ， 则
4、 k 的取值范围是 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案： ( ， 33 ， ) 解析：依据线性约束条件作出可行域如图阴影部分所示 ， 注意到 y kx 3 过定点 (0， 3)， 斜率的两个端点值为 3， 3， 两斜率之间存在斜率不存在的情况 ， k 的取值范围为 ( ， 3 3， ) 5. 若 x， y 满足约束条件?x y0 ，x y 20 ，y 0，则 z 3x 4y 的最小值为 _ 答案： 1 解析：目标函数即 y 34x 14z， 其中 z 表示斜率为 k 34的直线系与可行域有交点时直线的截距值的 14， 截距最大的时候目标函数取得最小值 ， 数形结合可得目标函数在点 A(
5、1， 1)处取得最小值 z 3x 4y 1. 6. 已知实数 x， y 满足?y1 ，y 2x 1x ym.， 如果目标函数 z x y 的最小值为 1， 则实数 m _ 答案： 5 解析：画出可行域便知 ， 当直线 x y z 0 通过直线 y 2x 1 与 x y m 的交点?m 13 ，2m 13 时 ， 函数 z x y 取得最小值 ， m 13 2m 13 1，解得 m 5. 7. 若变量 x， y 满足?x y2 ，2x 3y9 ，x 0，则 x2 y2的最大值是 _ 答案： 10 解析：可行域如图所示 ， 设 z x2 y2， 联立?x y 2，2x 3y 9， 得 ?x 3，y
6、 1， 由图可知 ， 当圆 x2 y2 z 过点 (3， 1)时 ， z 取得最大值 ， 即 (x2 y2)max 32 ( 1)2 10. 8. 若 x， y 满足约束条件?x y1 ，x y 1，2x y2 ，目标函数 z ax 2y 仅在点 (1， 0)处取得最小值 ， 则实数 a 的取值范围是 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案： ( 4， 2) 解析：可行域为 ABC ， 如图 ， 当 a 0 时 ， 显然成立当 a 0 时 ， 直线 ax 2y z 0的斜率 k a2 kAC 1， a 2.当 a 0 时 ， k a2 kAB 2， a 4.综合得 4 a2. 9. 某企业
7、生产甲、乙两种产品均需用 A， B 两种原料 ， 已知生产 1 吨每 种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、 4 万元 ，则该企业每天可获得最大利润为 _万元 甲 乙 原料限额 A(吨 ) 3 2 12 B(吨 ) 1 2 8 答案： 18 解析：设每天甲、 乙的产量分别为 x 吨 ， y 吨 ， 由已知可得?3x 2y12 ，x 2y8 ，x 0，y 0，目标函数 z 3x 4y， 线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示： 可得目标函数在点 A 处取到最大值 由?x 2y 8，3x 2y 12， 得 A(2， 3)， 则 zmax
8、32 43 18(万元 ) 10. 设 m 为实数 ， 若 (x， y)|?x 2y 50 ，3 x0 ，mx y0?(x， y)|x2 y2 25， 则 m 的取值范围是 _ 答案： 0， 43 解析：由题意知 ， 可行域应在圆内 ， 如图 ， 如果 m0， 则可行域取到 x 5 的点 ， 不在圆内 ， 故 m0 ， 即 m0. 当 mx y 0 绕坐标原点旋转时 ， 直线过 B 点时为边界位置此时 m 43， m 43， 0 m 43. =【 ;精品教育资源文库 】 = 二、 解答题 11. 某客运公司用 A， B 两种型号的车辆承担甲、乙两 地间的长途客运业务 ， 每车每天往返一次 A，
9、 B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人 ， 从甲地去乙地的营运成本分别为 1 600 元 /辆和 2 400 元 /辆 ， 公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队 ， 并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆若每天运送人数不少于 900， 且使公司从甲地去乙地的营运成本最 小，那么应配备 A 型车、 B 型车各多少辆？ 解：设 A 型、 B 型车辆分别为 x， y 辆 ， 相应营运成本为 z 元 ， 则 z 1 600x 2 400y.由题意 ， 得 x， y 满足约束条件?x y21 ，y x 7，36x 60y900 ，x 0， x N，y 0， y N.作可行域如图所示
10、， 可行域的三个顶点坐标分别为 P(5， 12)， Q(7， 14)， R(15， 6) 由图可知 ， 当直线 z 1 600x 2 400y 经过可行域的点 P 时 ， 直线 z 1 600x 2 400y在 y 轴上的截距 z2 400最小 ， 即 z 取得最小值 ， 故应配备 A 型车 5 辆、 B 型车 12 辆 ， 可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小 12. 某工厂生产甲、乙两种产品 ， 计划每天每种产品的生产量不少于 15 吨 ， 已知生产甲产品 1 吨 ， 需煤 9 吨 ， 电力 4 千瓦时 ， 劳力 3 个；生产乙产品 1 吨 ， 需煤 4 吨 ， 电力 5千瓦时 ， 劳
11、力 10 个；甲产品每吨的利润为 7 万元 ， 乙产品每吨的利润为 12 万元；但每天用煤不超过 300 吨 ， 电力不超过 200 千瓦时 ， 劳力只有 300 个问每天生产甲、乙两种产品各多少吨 ， 才能使利润总额达到最大？ 解：设每天生产甲、乙两种产品分别为 x 吨、 y 吨 ， 利润总额为 z 万元 ， 则线性约束条件为?9x 4y300 ，4x 5y200 ，3x 10y300 ，x 15，y 15，目标函数为 z 7x 12y， 作出可行域 如图 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 作出一组平行直线 7x 12y t， 当直线经过直线 4x 5y 200 和直线 3x 10y 3
12、00 的交点 A(20， 24)时 ， 利润最大 ， 即生产甲、乙两种产品分别为 20 吨、 24 吨时 ， 利润总额最大 ， zmax 720 1224 428(万元 ) 答：每天生产甲产品 20 吨、乙产品 24 吨 ， 才能使利润总额达到最大 13. 变量 x， y 满足?x 4y 30 ，3x 5y 250 ，x 1.(1) 设 z yx， 求 z 的最小值； (2) 设 z x2 y2， 求 z 的取值范围； (3) 设 z x2 y2 6x 4y 13， 求 z 的取值范围 解：由约束条件?x 4y 30 ，3x 5y 250 ，x 1，作出 (x， y)的可行域如图阴影部分所示
13、由?x 1，3x 5y 25 0， 解得 A? ?1， 225 . 由?x 1，x 4y 3 0， 解得 C(1， 1) 由?x 4y 3 0，3x 5y 25 0， 解得 B(5， 2) (1) z yx y 0x 0， z 的值是可 行域中的点与原点 O 连线的斜率观察图形可知 zmin kOB 25. (2) z x2 y2 的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方结合图形可知 ， 可行域上的点到原点的距离中 ， dmin |OC| 2， dmax |OB| 29， 故 z 的取值范围是 2， 29 (3) z x2 y2 6x 4y 13 (x 3)2 (y 2)2的几何意义是
14、可行域上的点到点 ( 3，2)的距 离的平方 结合图形可知 ， 可行域上的点到 ( 3， 2)的距离中 ， dmin 1 ( 3) 4， dmax （ 3 5） 2（ 2 2） 2 8， 故 z 的取值范围是 16， 64第 3 课时 基本不等式 一、 填空题 1. 已知 x54， 则函数 y 4x 14x 5的最小值为 _ 答案： 7 解析： y 4x 14x 5 (4x 5) 14x 5 52 5 7.当且仅当 4x 5 14x 5， 即 x 32时取等号 =【 ;精品教育资源文库 】 = 2. 设 x 1， 则函数 y （ x 5）（ x 2）x 1 的最小值为 _ 答案： 9 解析：因
15、为 x 1， 所以 x 10.设 x 1 z 0， 则 x z 1， 所以 y （ z 4）（ z 1）z z2 5z 4z z4z 5 2 z4z 5 9， 当且仅当 z 2， 即 x 1 时取等号 ， 所以当 x 1时 ， 函数 y 有最小值 9. 3. 若实数 a， b 满足 1a 2b ab， 则 ab 的最小值为 _ 答案： 2 2 解析：依题意知 a 0， b 0， 则 1a 2b 2 2ab 2 2ab， 当且仅当 1a 2b， 即 b 2a 时等号成立因为 1a 2b ab， 所以 ab 2 2ab， 即 ab2 2， 所以 ab 的最小值为 2 2. 4. 已知正实数 x， y 满足
