1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 32 讲 不等关系与不等式 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系 2了解不等式 (组 )的实际背景 3掌握不等式的性质及应用 . 2016 北京卷， 5 2016 浙江卷， 8 2016 江苏卷， 5 利用作差、作商法比较大小；利用不等式的性质判断关于不等式的命题真假 . 分值： 5 分 1两个实数比较大小的方法 (1)作差法：? a b 0?a_ _b，a b 0?a_ _b，a b 0?a_ _b.(2)作商法：? ab 1?a_ _b?a R， b 0?，ab 1?a_ _b?a R， b 0?，ab 1?a_ _b?
2、a R， b 0?.2不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a b?_b a_ ? 传递性 a b， b c?_a c_ ? 可加性 a b?_a c b c_ ? 可乘性 ?a bc 0 ?_ac bc_ 注意 c 的符号 ?a bc 0 ?_ac bc_ 同向可加性 ?a bc d ?_a c b d_ ? =【 ;精品教育资源文库 】 = 同向同正可乘性 ?a b 0c d 0 ?_ac bd 0_ ? 可乘方性 a b 0?_an bn_(n N， n1) a， b 同为 正数 可开方性 a b 0?_n a n b_(n N， n2) 3不等式的一些常用性质 (1)倒数
3、的性质 a b， ab 0?1a_ _1b. a 0 b?1a_ _1b. a b 0,0 c d?ac_ _bd. 0 a x b 或 a x b 0?1b_ _1x_ _1a. (2)有关分数的性质 若 a b 0， m 0，则： ba b ma m； ba b ma m(b m 0) ab a mb m； ab a mb m(b m 0) 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “”) (1)两个实数 a， b 之间，有且只有 a b， a b， a b 三种关系中的一种 ( ) (2)一个不等式的两边同加上或同 乘以同一个数，不等号方向不变 ( ) (3)一个非零实数越大，则其倒数就越小
4、( ) (4)同向不等式具有可加和可乘性 ( ) (5)两个数的比值大于 1，则分子不一定大于分母 ( ) 解析 (1)正确两个实数 a， b 之间的大小关系只有三种 (2)错误同乘以一个负数或 0 时不等号改变 (3)错误如 2 4. (5)正确当这个比值中的分母小于 零时，分子小于分母，当这个比值中的分母大于零时，分子大于分母 =【 ;精品教育资源文库 】 = 2下列四个结论，正确的是 ( D ) a b， c d?a c b d； a b 0， c d 0?ac bd； a b 0?3 a 3 b； a b 0?1a2 1b2. A B C D 解析 利用不等式的同向可加性可知 正确；对
5、 根据不等式的性质可知 ac bd，故 不正确；因为函数 y x13是单调递增的，所 以 正确；对 由 a b 0 可知 a2 b2 0，所以1a21b2，所以 不正确，故选 D 3若 a b 0， c d 0，则一定有 ( D ) A ac bd B ac bd C ad bc D ad bc 解析 因为 c d 0，所以 c d 0.即得 1 d 1 c 0，又 a b 0，得 a d b c，从而有 ad bc. 4设 a， b， c R，且 a b，则 ( D ) A ac bc B 1a 1b C a2 b2 D a3 b3 解析 y x3在 ( ， ) 上为增函数，所以 a3 b3
6、. 5下列各组代数式的判断正确的是 _ _. x2 5x 6 2x2 5x 9； (x 3)2 (x 2)(x 4)； 当 x 1 时， x3 x2 x 1； x2 y2 1 2(x y 1) 解析 2x2 5x 9 x2 5x 6 x2 30； 所以 x2 5x 6 2x2 5x 9，故 正确 (x 3)2 (x 2)(x 4) 1， 所以 (x 3)2 (x 2)(x 4)，故 错误 =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 x 1 时， x3 (x2 x 1) (x 1)(x2 1) 0， 所以当 x 1 时， x3 x2 x 1，故 正确 x2 y2 1 2(x y 1) (x 1)2 (
7、y 1)2 1 0， 所以 x2 y2 1 2(x y 1)，故 正确 一 比较两个数 (式 )的大小 比较大小的常用方法 (1)作差法：其基本步骤为作差、变形、判断符号、得出结论用作差法比较大小的关键是变形，将差式变成乘积的形式，常采用配方、因式分解、分子 (分母 )有理化等变形方法 (2)作商法：即判断商与 1 的关系，得出结论要特别注意当商与 1 的大小确定后必须对商式分子分母的正负进行判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤 (3)单调性法：利用有关函数的单调性比较大小 (4)特殊值验证法：对于一些题目，有的给出取值范围，可采用特殊值验证法比较大小 【例 1】 (1)已知 a1
8、， a2 (0,1)，记 M a1a2， N a1 a2 1，则 M与 N的大小关系是 ( B ) A M N B M N C M N D不确定 (2)对于 0 a 1，给出下列四个不等式： loga(1 a) loga? ?1 1a ； loga(1 a) loga? ?1 1a ； a1 a a1 1a； a1 a a1 1a.其中成立的是 ( D ) A 与 B 与 C 与 D 与 (3)若 a ln 33 ， b ln 22 ，则 a 与 b 的大小关系为 _a b_. 解析 (1)M N a1a2 (a1 a2 1) a1a2 a1 a2 1 a1(a2 1) (a2 1) (a1
9、1)(a2 1)， 又 a1 (0,1)， a2 (0,1)， a1 1 0， a2 1 0. (a1 1)(a2 1) 0， 即 M N 0. M N. (2)当 0 a 1 时， (1 a) ? ?1 1a ?a 1?a 1?a 0， 则 1 a 1 1a，因此 成立 =【 ;精品教育资源文库 】 = (3) a ln 33 0， b ln 22 0， ab ln 33 2ln 2 2ln 33ln 2 ln 9ln 8 1， a b. 二 不等式的性质及应用 (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明常用的推理判断需要利用不等式的性质 (2)在判断一个关于不等式的命题真假时
10、，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等 【例 2】 (1)已知 a， b， c， d 为实数，则 “ a b 且 cd” 是 “ ac bd bc ad” 的 ( A ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 (2)若 1a 1b 0，则下列不等式： a b ab； | |a | |b ； a b； ab b2 中，正确的不等式有 ( C ) A B C D 解析 (1)因为 c d，所以 c d 0.又 a b，所以两边同时乘以 (c d)，得
11、a(c d)b(c d)，即 ac bdbc ad.若 ac bd bc ad，则 a(c d) b(c d)，所以可能 ab 且cd，也可能 a b 且 c d，所以 “ a b 且 cd” 是 “ ac bdbc ad” 的充分不必要条件 (2)因为 1a 1b 0，所以 b a 0， a b 0， ab 0，所以 a b ab， | |a | |b ，在 b a 两边同时乘以 b，因为 b 0，所以 ab b2.因此正确的是 . 三 利用不等式的性质求范围 应用不等式性质求范围问题的注意点 应用 不等式的性质求某些代数式的取值范围应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不
12、等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过 “ 一次性 ” 不等关系的运算求解范围此外，这类问题还可以用线性规划的知识求解 【例 3】 已知函数 f(x) ax2 bx，且 1 f( 1)2,2 f(1)4 ，求 f( 2)的取值范围 解析 f( 1) a b， f(1) a b， f( 2) 4a 2b. =【 ;精品教育资源文库 】 = 由题意，得? 1 a b2 ，2 a b4. 设 m(a b) n(a b) 4a 2b， 则? m n 4，n m 2， 解得 ? m 3，n 1. 故 f( 2) 3(a b) (a b)
13、 33( a b)6,2 a b4 ， 53( a b) (a b)10 ， 即 5 f( 2)10 ， f( 2)的取值范围是 5,10 1若 a， b R 且 a b，则下列 不等式恒成立的是 ( C ) A a2 b2 B ab 1 C 2a 2b D lg(a b) 0 解析 A 项，当 a 1 且 b 2 时，显然满足 a b，但不满足 a2 b2，故错误； B 项，当 a 1 且 b 2 时，显然满足 a b，但 ab 12，故错误； C 项，由指数函数的单调性可知当 a b 时， 2a 2b，故正确； D 项，当 a 1 且 b 2 时，显然满足 a b，但 lg(a b) lg
14、 1 0，故错误，故选 C 2已知 ABC 的三边长分别为 a， b， c，且满足 b c3 a，则 ca的取值范围为 ( B ) A (1， ) B (0,2) C (1,3) D (0,3) 解析 由已知及三角形的三边关系得? a b c3 a，a b c，a c b，? 1 ba ca3 ，1 ba ca，1 ca ba，? 1 ba ca3 ， 1 ca ba 1，两式相加得， 0 2 ca 4， ca的取值范围为 (0,2)，故选 B 3下列命题中正确的是 ( C ) A若 a b， c d，则 ac bd B若 ac bc，则 a b C若 ac2 bc2，则 a b =【 ;精品教育资源文库 】 = D若 a b， c d，则 a c b d 解析 由不等式的性质知 C 项正确，故选 C 4已知 30 45 ， 30 2 30 ，求 5 4 的取值范围 解析 易求得 5 4 2( ) 3( 2 )， 30
