1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 5 讲 椭 圆 1从椭圆 x2a2y2b2 1(a b 0)上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F1， A 是椭圆与x 轴正半轴的交点， B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 AB OP(O 是坐标原点 )，则该椭圆的离心率是 ( ) A. 24 B.12 C. 22 D. 32 2椭圆 x249y224 1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1， F2的连线互相垂直，则 PF1F2的面积为 ( ) A 20 B 22 C 24 D 28 3点 P 在椭圆 x2a2y2b2 1(a b 0)上， F1， F2是椭圆的两个焦点， F1PF2 90 ，
2、且 F1PF2的三条边长成等差数列，则此椭圆的离心率是 ( ) A.57 B.56 C.45 D.35 4 (2016 年新课标 )已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C： x2a2y2b2 1(a b 0)的左焦点，A， B 分别为 C 的左、右顶点 P 为 C 上一点，且 PF x 轴过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为 ( ) A.13 B.12 C.23 D.34 5 (2016 年湖南常德模拟 )已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的左、右顶点分别为 A， B，左、右焦点分别为 F1， F
3、2，点 O 为坐标原点，线段 OB 的垂直平分线与椭圆在第一象限的交点为 P，设直线 PA， PB， PF1， PF2的斜率分别为 k1， k2， k3， k4，若 k1 k2 14，则 k3 k4 ( ) A. 32 B 83 C 38 D 4 6椭圆 x29y22 1 的焦点为 F1， F2，点 P 在椭圆上，若 |PF1| 4，则 |PF2| _， F1PF2 _. 7 (2016 年江苏 )如图 X751，在平面直角坐标系 xOy 中， F 是椭圆 x2a2y2b2 1(a b0) 的右焦点，直线 y b2与椭圆交于 B， C 两点，且 BFC 90 ，则该椭圆的离心率是_ 图 X75
4、1 =【 ;精品教育资源文库 】 = 8 (2015 年陕西 )如图 X752，椭圆 E： x2a2y2b2 1(a b 0)经过点 A(0， 1)，且离心率为 22 . (1)求椭圆 E 的方程； (2)经过点 (1,1)，且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P， Q(均异于点 A)，证明：直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2. 图 X752 9已知椭圆 C： y2a2x2b2 1(ab0)的焦距为 4 且过点 ( 2， 2) (1)求椭圆 C 的方程； (2)过椭圆焦点的直线与椭圆 C 分别交于点 E， F，求 OE OF 的取值范围 =【 ;精品教育资源文库 】 = 第 5
5、 讲 椭 圆 1 C 解析：左焦点为 F1( c,0)， PF1 x 轴 当 x c 时， c2a2y2Pb2 1?y2P b2?1 c2a2 b4a2?yPb2a(负值不合题意，已舍去 )，点P? ? c， b2a . 由斜率公式，得 kAB ba， kOP b2ac. AB OP， kAB kOP? ba b2ac?b c. a2 b2 c2 2c2， c2a212?eca22 . 2 C 解析：方法一，? |PF1| |PF2| 14， |PF1|2 |PF2|2 c 2 100， 2 ，得 |PF1| PF2| 48. 则12PFFS 1248 24. 方法二，利用公式12PFFS b
6、2tan 2 ，得 12PFFS b2tan 902 24tan 45 24.故选 C. 3 A 解析：设 |PF1| m |PF2|，则由椭圆的定义可得 |PF2| 2a |PF1| 2a m，而|F1F2| 2c.因为 F1PF2的三条边长成等差数列，所以 2|PF2| |PF1| |F1F2|，即 2(2a m) m 2c. 解得 m 13(4a 2c)即 |PF1| 13(4a 2c) 所以 |PF2| 2a 13(4a 2c) 13(2a 2c) 又 F1PF2 90 ，所以 |PF1|2 |PF2|2 |F1F2|2，即 ? ?13 a 2c 2 ? ?13 a 2c 2(2c)2
7、. 整理，得 5a2 2ac 7c2 0， 解得 a 75c 或 a c(舍去 )故 e ca 57. 4 A 解析：方法一，设点 M( c， y0)， OE 的中点为 N， 则直线 AM 的斜率 k y0a c. 从而直线 AM 的方程为 y y0a c(x a)， 令 x 0，得点 E 的纵坐标 yE ay0a c. 同理， OE 的中点 N 的纵坐标 yN ay0a c. 2yN yE， 2a c 1a c. a 3c. =【 ;精品教育资源文库 】 = e ca 13. 方法二，如图 D133，设 OE 的中点为 N，由题意知 |AF| a c， |BF| a c， |OF| c， |
8、OA| |OB| a. 图 D133 PF y 轴 ， |MF|OE| |AF|AO| a ca ， |MF|ON| |BF|OB| a ca . 又 |MF|OE| |MF|2|ON|， 即 a ca a c2a . a 3c.故 e ca 13. 5 C 解析：设 P(m， n)， A( a,0)， B(a,0)， F1( c,0)， F2(c,0)，由于线段 OB 的垂直平分线与椭圆在第一象限的交点为 P，因此 m a2.若 k1 k2 14，则 n 0a2 a n 0a2 a 14.解得 n 34 a，即 P? ?a2， 34 a .代入椭圆方程，可得 14 316 a2b2 1，即
9、a 2b，则 c a2 b2 3b，则 k3 k432 bb 3b 32 bb 3b341 338. 6 2 120 解析： a2 9， b2 2， c a2 b2 9 2 7. |F1F2| 2 7.又|PF1| 4， |PF1| |PF2| 2a 6， |PF2| 2.又由余弦定理，得 cos F1PF2 22 42 7 2224 12. F1PF2 120. 7. 63 解析：由题意，得 B ? ? 32 a， b2 ， C ? ?32 a， b2 ， FB FC 0 ，因此? 32 a c，b2 ?32 a c，b2 0，即 c2?32 a2?b22 0?3c2 2a2?e 63 .
10、8 (1)解：由题设知， ca 22 ， b 1. 结合 a2 b2 c2，解得 a 2. 所以椭圆的方程为 x22 y2 1. (2)证明：由题设知，直线 PQ 的方程为 y k(x 1) 1(k2) ，代入 x22 y2 1， 得 (1 2k2)x2 4k(k 1)x 2k(k 2) 0. 由已知得 0， 设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)， x1x20. 则 x1 x2 4k k1 2k2 ， x1x2 2k k1 2k2 . 从而直线 AP， AQ 的斜率之和为 =【 ;精品教育资源文库 】 = kAP kAQ y1 1x1 y2 1x2 kx1 2 kx1 kx2 2 kx
11、2 2k (2 k)x1 x2x1x2 2k (2 k)4k k2k k 2k 2(k 1) 2. 9解： (1)因为椭圆 C： y2a2x2b2 1(ab0)的焦距是 4， 所以焦点坐标是 (0， 2)， (0,2) 则 2a 2 0 2 2 4 2. 解得 a 2 2.又由 b2 a2 c2，得 b 2. 所以椭圆 C 的方程是 y28x24 1. (2)若直线 l 垂直于 x 轴， 则点 E(0,2 2)， F(0， 2 2) 则 OE OF 8. 若直线 l 不垂直于 x 轴，不妨设其方程为 y kx 2，点 E(x1， y1)， F(x2， y2) 将直线 l 的方程代入椭圆 C 的方程得到： (2 k2)x2 4kx 4 0. 则 x1 x2 4k2 k2， x1x2 42 k2. 所以 OE OF x1x2 y1y2 (1 k2)x1x2 2k(x1 x2) 4 4 4k22 k2 8k22 k2 4202 k28. 因为 0 202 k210 ，所以 8OE OF 2. 所以 OE OF 的取值范围是 ( 8,2
