1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第七章 推理与证明 第 1 课时 合情推理与演绎推理 一、 填空题 1. 某种树的分枝生长规律如图所示 ，第 1 年到第 5 年的分枝数分别为 1， 1， 2， 3， 5，则预计第 10 年树的分枝数为 _ 答案： 55 解析：因为 2 1 1， 3 2 1， 5 3 2， 即从第三项起每一项都等于前两项的和 ， 所以第 10 年树的分枝数为 21 34 55. 2. 我们把 1， 4， 9， 16， 25，? 这些数称为正方形数 ， 则第 n 个正方形数是 _ 答案： n2 解析： 1 12， 4 22， 9 32， 16 42， 25 52， ? 由此可推
2、得第 n 个正方形数是 n2. 3. 观察 (x2) 2x， (x4) 4x3， (cos x) sin x， 由归纳推理得：若定义在 R上的函数 f(x)满足 f( x) f(x)， 记 g(x)为 f(x)的导 函数，则 g( x) _ 答案： g(x) 解析：由已知得偶函数的导函数为奇函数 ， 故 g( x) g(x) 4. 如图是网格工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字 1 出现在第 1 行；数字2， 3 出现在第 2 行 ， 数字 6， 5， 4(从左至右 )出现在第 3 行； 数字 7， 8， 9， 10 出现 在第4 行 ，?， 依此类推 ， 则第 20 行从左到右第 4
3、个数 字为 _ 答案： 194 解析：前 19 行共有 19 （ 1 19）2 190(个 )数字 ?第 19 行最左端的数为 190?第 20行从左到右第 4 个数字为 194. 5. 观 察 等 式 ： sin 30 sin 90cos 30 cos 90 3 ， sin 15 sin 75cos 15 cos 75 1 ，sin 20 sin 40cos 20 cos 40 33 .照此规律 ， 对于一般的角 ， 有等式 _ 答案： sin sin cos cos tan 2 解析：等式 中左端三角函数式中两角之和的一半的正切值恰好等于右端的数值 ，故sin sin cos cos ta
4、n 2 . 6. 已知命题：在平面直角坐标系 xOy 中 ， ABC 的顶点 A( p， 0)和 C(p， 0)， 顶点 B在椭圆 x2m2y2n2 1(mn0， p m2 n2)上 ， 椭圆的离心率是 e， 则 sin A sin Csin B 1e.试将该命题类比到双曲线中 ， 给出一个真命题是 _ 答案：在平面直角坐标系 xOy 中 ， ABC 的顶点 A( p， 0)和 C(p， 0)， 顶点 B 在双曲线 x2m2y2n2 1(m0， n0， p m2 n2)上 ， 双 曲线的离心率是 e， 则 |sin A sin C|sin B 1e 解析：由正弦定理和椭圆定义可知 sin A
5、sin Csin B AB BCAC 2a2c， 类比双曲线应有=【 ;精品教育资源文库 】 = |AB BC|AC |sin A sin C|sin B 1e. 7. 如图 所示是毕达哥拉斯 (Pythagoras)的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形 ，等腰直角三角形边上再连接正方形 ，?， 如此继续 ， 若共得到 1 023 个正方形 ， 设初始正方形的边长为 22 ， 则最小正方形的边长为 _ 答案： 132 解析：设 1 2 4 ? 2n 1 1 023， 即 1 2n1 2 1 023， 解得 n 10.正方形边长构成数列 22 ， ? ?222， ? ?223， ? ， ?
6、?2210，从而最小正方形的边长为 ? ?2210 132. 8. 将正奇数按如图所示的规律排列 ， 则第 21 行从左向右的第 5 个数为 _ 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 ? 答案： 809 解析：前 20 行共有正奇数 1 3 5 ? 39 202 400(个 )， 则第 21 行从左向右的第5 个数是第 405 个正奇数 ， 所以这个数是 2405 1 809. 9. 已知 “ 整数对 ” 按如下规律排成一行： (1， 1)， (1， 2)， (2， 1)， (1， 3)， (2， 2)， (3， 1)， (1， 4)， (2，
7、3)， (3， 2)， (4，1)，?， 则第 60 个 “ 整数对 ” 是 _ 答案： (5， 7) 解析：依题意 ， 把 “ 整数对 ” 的和相同的分为一组 ， 不难得知第 n 组中每个 “ 整数对 ”的和均为 n 1， 且 第 n组共有 n个 “ 整数对 ” ， 这样的前 n组一共有 n（ n 1）2 个 “ 整数对 ” ，注意到 10 （ 10 1）2 a 解析： c b 4 4a a2 (2 a)2 0， c b.已知两式作差得 2b 2 2a2， 即 b 1 a2. 1 a2 a ? ?a 122 340， 1 a2a. b 1 a2a. c ba. 7. 对实数 a 和 b， 定
8、义运算 “ ?” ： a?b?a， a b1 ，b， a b1. 设函数 f(x) (x2 2)?(x x2)，x R.若函数 y f(x) c 的图象与 x 轴恰有两个公共点 ， 则实数 c 的取值范围是 _ 答案： ( ， 2 ? ? 1， 34 解析：由题意可得 f(x)?x2 2， x2 2（ x x2） 1 ，x x2， x2 2（ x x2） 1 =【 ;精品教育资源文库 】 = ?x2 2， 1x 32，x x2， x 1或 x 32，函数 图象如图所示 函数 y f(x) c 的图象与 x 轴恰有两个公共点 ， 即函数 y f(x)与 y c 的图象有 2 个交点 ， 由图象可
9、得 c 2 或 1 c 34. 8. 对于一切实数 x， 不等式 x2 a|x| 10 恒成立 ， 则实数 a 的取值范围是_ 答案： 2， ) 解析： 当 x 0 时不等式成立 ；用分离参数法得 a ? ?|x| 1|x| (x0) ， 而 |x| 1|x| 2， a 2. 9. 若二次函数 f(x) 4x2 2(p 2)x 2p2 p 1 在区间 1， 1内至少存在一点 c，使 f(c)0， 则实数 p 的取值范围是 _ 答案： ? ? 3， 32 解析：令?f（ 1） 2p2 p 10 ，f（ 1） 2p2 3p 90 ， 解得 p 3 或 p32， 故满足条件的 p 的取值范围是 ?
10、? 3， 32 . 10. 某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数 f(x)在 0， 1上有意义 ， 且 f(0)f(1)， 如果对于任意不同的 x1， x2 0， 1， 都有 |f(x1) f(x2)|0)的图象与 x 轴有两个不同的交点 ， 若 f(c)0， 且 00. (1) 求证： 1a是 f(x) 0 的一个根； (2) 试比较 1a与 c 的大小； (3) 求证： 20， 由 00， 知 f? ?1a 0 与 f? ?1a 0 矛盾 ， 1ac. 1a c， 1ac. (3) 证明：由 f(c) 0， 得 ac2 bc c 0， 即 ac b 1 0， b 1 ac.又 a0，c
11、0， b0， b 2， 212764 (n N*)成立 ， 其初始值至少应取_ 答案： 8 解析：左边 1 12 14 ? 12n 11 12n1 12 2 12n 1， 代入验证可知 n 的最小值是 8. 9. 用数学归纳法证明： 121 3223 5 ? n2（ 2n 1）（ 2n 1） n（ n 1）2（ 2n 1） ；当 推证n k 1 等式也成立时 ， 用上归纳假设后需要证明的等式是 _ 答案： k（ k 1）2（ 2k 1） （ k 1）2（ 2k 1）（ 2k 3） （ k 1）（ k 2）2（ 2k 3） 解析：当 n k 1 时 ， 121 3223 5 ? k2（ 2k 1
12、）（ 2k 1） （ k 1） 2（ 2k 1）（ 2k 3） k（ k 1）2（ 2k 1） （ k 1） 2（ 2k 1）（ 2k 3） ， 故 只 需 证 明k（ k 1）2（ 2k 1） （ k 1） 2（ 2k 1）（ 2k 3） （ k 1）（ k 2）2（ 2k 3） 即可 10. 若数列 an的通项公式 an 1（ n 1） 2，记 cn 2(1 a1) (1 a2) ?(1 an)，试通过计算 c1， c2， c3的值 ， 推测 cn _ 答案： n 2n 1 解析： c1 2(1 a1) 2 ? ?1 14 32， c2 2(1 a1)(1 a2) 2 ? ?1 14 ?
13、?1 19 43， c3 2(1 a1)(1 a2)(1 a3) 2 ? ?1 14 ? ?1 19 ? ?1 116 54， 故由归纳推理得 cn n 2n 1. 二、 解答题 11. 已知数列 an满足 an 1 12 an(n N*)， a1 12.试通过求 a2， a3， a4的值猜想 an的表达式 ， 并用数学归纳法加以证明 解： a2 12 a1 12 12 23， a3 12 a2 12 23 34， a4 12 a3 12 34 45. 猜想： an nn 1(n N*) =【 ;精品教育资源文库 】 = 用数学归纳法证明如下： 当 n 1 时 ， 左边 a1 12， 右边 1
14、1 1 12， 所以等式成立； 假设 n k 时等式成立 ， 即 ak kk 1， 则当 n k 1 时 ， ak 1 12 ak 12 kk 1 k 1k 2 k 1（ k 1） 1， 所以当 n k 1 时等式也成立 由 得 ， 当 n N*时等式都成立 12. 是否存在常数 a， b， c， 使等式 1(n 2 12) 2(n2 22) ? n(n2 n2) an4 bn2 c 对一切正整数 n 成立？证明你的结论 解：分别用 n 1， 2， 3 代入解方程组?a b c 0，16a 4b c 3，81a 9b c 18?a 14，b 14，c 0.下面用数学归纳法证明 当 n 1 时
15、， 由上可知等式成立； 假设当 n k 时 ， 等式成立 ， 则当 n k 1 时 ， 左边 1(k 1)2 12 2(k 1)2 22 ? k(k 1)2 k2 (k 1)(k 1)2 (k 1)2 1(k 2 12) 2(k2 22) ? k(k2 k2) 1(2k 1) 2(2k 1) ? k(2k 1) 14k4 ? ? 14 k2 (2k 1) 2(2k 1) ? k(2k 1) 14(k 1)4 14(k 1)2， 当 n k 1 时 ， 等式成立 由 得等式对一切的 n N*均成立 13. 已知 (x 1)n a0 a1(x 1) a2(x 1)2 a3(x 1)3 ? an(x 1)n(其中 n N*)，Sn a1 a2 a3 ? an. (1) 求 Sn； (2) 求证：当 n4 时 ， Sn(n 2)2n 2n2. (1) 解：取 x
