1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 20 讲 三角函数的图象与性质 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.能画出 y sin x， y cos x， ytan x 的图象，了解三角函数的周期性 2理解正弦函数、余弦函数在区间0,2 上的性质 (如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴的交点等 )，理解正切函数在区间 ? ? 2 ， 2 内的单调性 3了解函数 y Asin(x )的物理意义；能画出 y Asin(x )的图象，了解参数 A， ， 对函数图象变化的影 响 4了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题 2017 全国卷 ， 9 2017 全国卷 ，
2、14 2017 全国卷 ， 6 2017 山东卷， 16 2017 天津卷， 7 2017 浙江卷， 18 1.三角函数的性质是高考的必考内容，常与三角函数的图象结合，主要考查三角函数的周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性 2高考中常以选择、填空题的形式考查三角函数关系式、三角函数诱导公式、三角函数的奇偶性及对称性，属于中低档题 3以解答题的形式考查三角函数的单调性、最值， 常与平面向量、解三角形及三角恒等变换相结合 分值： 5 12 分 1 “ 五点法 ” 作图的原理 在确定正弦函数 y sin x 在 0,2 上的图象形状时，起关键作用的五个点是_(0,0)_， ！ ? ? 2 ， 1 #
3、， _( ， 0)_， ? ?32 ， 1 ， _(2 ， 0)_ 2三角函数的图象和性质 函数 性质 y sin x y cos x y tan x 定义域 R R ?x|x k 2 ！ (k Z) # 一个 周期的 图象 =【 ;精品教育资源文库 】 = 值域 _ 1,1_ _ 1,1_ ！ R # 对称性 对称轴： ！ x k 2(k Z) #； 对称中心： (k ， 0)(k Z) 对称轴： x k( k Z)； 对称中心： ！ ?k 2 ， 0 (k Z) # 对称中心： ?k2 ， 0 (k Z) 函数 性质 y sin x y cos x y tan x 周期 _2 _ _2 _
4、 _ _ 单调性 单调增区间： ！ ? 2 2k ， # ? 2 2k (k Z)； 单调减区间： ！ ? 2 2k ， ?32 2k (k Z) # 单调增区间： ！ ( 2k ， 2k)( k Z) #； 单调减区间： ！ (2k ， 2k)( k Z) # 单调增区间： ！ ? 2 k ， ? 2 k (kZ) # 奇偶性 _奇函数 _ _偶函数 _ _奇函数 _ 3用五点画 y Asin(x )一个周期内的简图 用五点画 y Asin(x )一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示 . x ！ # ！ 2 # ！ # ！ 32 # ！ 2 # x _0_ ！ 2 _ _ ！ _2
5、 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = # 32 # yAsin(x ) 0 A 0 A 0 4函数 y sin x 与 y Asin(x )的图象间的变换关系 5函数 y Asin(x )的有关概念及物理量 yAsin(x )(A0， 0，x 0， ) 表示一个振动量时 ) 振幅 周期 频率 相位 初相 _A_ T ！ 2 # f ！ 2 # _x _ _ _ 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “”) (1)把 y sin x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 12，所得图象对应的函数解析式为 y sin 12x.( ) (2)正弦函数 y sin x 的图象在 0,2 上的五个
6、关键点是 (0,0)， ? ? 2 ， 1 ， ( ， 0)，?32 ， 1 ， (2 ， 0) ( ) (3)利用图象变换作图时 “ 先平移，后伸缩 ” 与 “ 先伸缩，后平移 ” 中平移的长度一致 ( ) (4)由图象求解析式时，振幅 A 的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点=【 ;精品教育资源文库 】 = 的值确定的 ( ) 解析 (1)错误横坐标缩短，周期变小， 变大，故变换后，所得图象的解析式为 y sin 2x. (2)正确由正弦函数 y sin x 的图象易知 (3)错误 “ 先平移，后伸缩 ” 的平移单位长度为 | |，而 “ 先伸缩，后平移 ” 的平移单位长度为
7、| | ( 0)故当 1 时平移的长度不相等 (4)正确振幅 A 的值是由最大值 M 与最小值 m 确定的， 其中 A M m2 . 2函数 y cos x(x R)的图象向左平移 2 个单位长度后，得到函数 y g(x)的图象，则 g(x)的解析式应为 g(x) ( A ) A sin x B sin x C cos x D cos x 解析 y cos x 向左平移 2个单位长度 y cos?x 2 sin x. 3将函数 y sin? ?2x 6 的图象向右平移 4 个单位长度后得到的函数图象的对称轴是( B ) A x k2 56 ， k Z B x k2 512 ， k Z C x
8、k2 6 ， k Z D x k 12， k Z 解析 y sin? ?2x 6 的图象向右平移 4 个单位长度， 得 y sin? ?2? ?x 4 6 sin? ?2x 3 .令 2x 3 2 k ， k Z，得 x512 k2 ， k Z. 4已知函数 f(x) sin(x )( 0)的图象如图所示，则 ！ 32 #. 解析 由图知， T4 23 3 3 ， T 43 .即 2 43 ，故 32. =【 ;精品教育资源文库 】 = 5 (2017 全国卷 )函数 f(x) sin2x 3cos x 34? ?x ? ?0， 2 的最大值是 _1_. 解析 依题意， f(x) sin2x
9、3cos x 34 cos2x 3cos x 14 ? ?cos x 32 2 1，因为 x ? ?0， 2 ，所以 cos x 0,1，因此当 cos x 32 时， f(x)max 1. 一 三角函数图象的变换 三角函数图象的几种变换 (1)平移变换： 沿 x 轴平移：由 y f(x)变为 y f(x )时， “ 左加右减 ” ，即 0，左移； 0，上移； k0， 2 0， 20， 0)的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是 ( C ) A A 3， T 43 ， 6 B A 1， T 43 ， 34 C A 1， T 43 ， 34 D A 1， T 43 ， 6 解析 (1)因为 T
10、2 1112 512 ， 所以 T . 又 T 2 ( 0)，所以 2 ，所以 2. 又 2 512 2 2k( k Z)，且 20)的单调区间时，要视 “ x ” 为一个整体，通过解不等式求解但如果 0，函数 f(x) sin? ?x 4 在 ? ? 2 ， 上单调递减，则 的取值范围是 ( A ) A ? ?12， 54 B ? ?12， 34 C ? ?0， 12 D 0,2 解析 由 20 得， 2 40， 0， R)，则 “ f(x)是奇函数 ”是 “ 2 ” 的 ( B ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 (2)函数 f(x) sin?
11、?x 4 的图象的一条对称轴是 ( C ) A x 4 B x 2 C x 4 D x 2 (3)设函数 f(x) Asin(x )(A， ， 是常数， A0， 0)若 f(x)在区间 ? ? 6 ， 2上具有单调性，且 f? ? 2 f? ?23 f? ? 6 ，则 f(x)的最小正周期为 _ _. 解析 (1)f(x)是奇函数时， 2 k( k Z)； 2 时， f(x) Acos? ?x 2 Asin x ，为奇函数，所以 “ f(x)是奇函数 ” 是 “ 2 ” 的必要不充分条件 (2) 正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令 x 4 k 2 ， k Z， x k 34 ， k Z.取 k 1，则 x 4. (3)记 f(x)的最小正周期为 T.由题意知 T2 2 6 3.
