1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 26 讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例 解密考纲 本考点重点考查平面向量的数量积及其几何意义，往往借助于数量积求模长、夹角、面积等，多以选择题、填空题的形式考查，题目难度中等偏难 一、选择题 1已知向量 a (x 1,2)， b (2,1)，则 a b 的充要条件是 ( D ) A x 12 B x 1 C x 5 D x 0 解析 由向量垂直的充要条件，得 2(x 1) 2 0.解得 x 0. 2已知非零向量 a， b， |a| |b| |a b|，则 cos a， a b ( C ) A 12 B 12 C 32 D 32 解析 设 |a| |b
2、| |a b| 1，则 (a b)2 a2 2ab b2 1， ab 12， a (a b) a2 ab 1 12 32. |a b| a2 b2 2ab 1 1 1 3， cos a， a b321 332 . 3已知向量 |OA | 2， |OB | 4， OA OB 4，则以 OA ， OB 为邻边的平行四边形的面积为( A ) A 4 3 B 2 3 C 4 D 2 解析 因为 cos AOB OA OB|OA |OB | 424 12，所以 AOB 60 ， sin AOB 32 .所以所求的平行四边形的面积为 |OA | OB |sin AOB 4 3，故选 A 4 (2018 山
3、西四校二联 )已知平面向量 a， b 满足 a (a b) 3，且 |a| 2， |b| 1，则向量 a 与 b 夹角的正弦值为 ( D ) A 12 B 32 C 12 D 32 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 a (a b) a2 ab 22 21cos a， b 4 2cos a， b 3， cos a， b 12，又 a， b 0， ， sin a， b 1 cos2 a， b 32 ，故选 D 5 (2018 甘肃兰州模拟 )若 ABC 的三个内角 A， B， C 度数成等差数列，且 (AB AC ) BC 0，则 ABC 一定是 ( C ) A等腰直角三角形 B非等腰直角三
4、角形 C等边三角形 D钝角三角形 解析 因为 (AB AC ) BC 0，所以 (AB AC )( AC AB ) 0，所以 AC 2 AB 2 0，即 |AC | |AB |，又 A， B， C 度数成等差数列，故 2B A C，又 A B C ，所以 2B B，所以 3B ， B 3 ，故 ABC 是等边三角形 6 (2018 福建厦门模拟 )在 ABC 中， A 120 ， AB AC 1，则 |BC |的最小值是( C ) A 2 B 2 C 6 D 6 解析 由 AB AC |AB |AC |cos 120 12|AB |AC | 1，得 |AB |AC | 2， |BC |2 |A
5、C AB |2 AC 2 AB 2 2AB AC AC 2 AB 2 22| AC |AB | 2 6，当且仅当 |AC | |AB |时等号成立所以 |BC | 6，故选 C 二、填空题 7 (2016 全国卷 )设向量 a (m,1)， b (1,2)，且 |a b|2 |a|2 |b|2，则 m _ 2_. 解析 由 |a b|2 |a|2 |b|2得 a b 0，即 m 2 0， m 2. 8已知 A， B， C 为圆 O 上的三点，若 AO 12(AB AC )，则 AB 与 AC 的夹角为 _90 _. 解析 由 AO 12(AB AC )，可得 O 为 BC 的中点，故 BC 为
6、圆 O 的直径，所以 AB 与 AC 的夹角为 90. 9 (2017 江苏卷 )在平面直角坐标系 xOy 中， A( 12,0)， B(0,6)，点 P 在圆 O： x2y2 50 上若 PA PB 20 ，则点 P 的横坐标的取值范围是 _ 5 2， 1_. 解析 设 P(x， y)，则 PA PB ( 12 x， y)( x,6 y) x(x 12) y(y 6)20 ，又 x2 y2 50，所以 2x y 50 ，所以点 P 在直线 2x y 5 0 的上方 (包括直线上 )，又=【 ;精品教育资源文库 】 = 点 P 在圆 x2 y2 50 上，由? y 2x 5，x2 y2 50，
7、 解得 x 5 或 x 1，结合图象 (图略 )，可得 5 2 x1 ，故点 P 的横坐标的取值范围是 5 2， 1 三、解答题 10已知 |a| 4， |b| 8， a 与 b 的夹角是 120. (1)计算： |a b|， |4a 2b|； (2)当 k 为何值时， (a 2b) (ka b) 解析 由已知得， ab 48 ? ? 12 16. (1) |a b|2 a2 2ab b2 16 2 ( 16) 64 48， |a b| 4 3. |4a 2b|2 16a2 16ab 4b2 16 16 16 ( 16) 4 64 768， |4a 2b| 16 3. (2)( a 2b) (
8、ka b)， (a 2b)( ka b) 0， ka2 (2k 1)ab 2b2 0，即 16k 16(2k 1) 264 0. k 7.即 k 7 时， a 2b 与 ka b 垂直 11在 ABC 中，三内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，向量 m (cos(A B)， sin(A B)， n (cos B， sin B)，且 m n 35. (1)求 sin A 的值； (2)若 a 4 2， b 5，求角 B 的大小及向量 BA 在 BC 方向上的投影 解析 (1)由 m n 35， 得 cos(A B)cos B sin(A B)sin B 35，所以 cos A 3
9、5. 因为 0b，所以 AB，则 B 4. 由余弦定理得 (4 2)2 52 c2 25 c ? ? 35 ，解得 c 1， 故向量 BA 在 BC 方向上的投影为 |BA |cos B ccos B 1 22 22 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 12如图， O 是 ABC 内一点， AOB 150 ， AOC 120 ，向量 OA ， OB ， OC 的模分别为 2， 3， 4. (1)求 |OA OB OC |； (2)若 OC mOA nOB ，求实数 m， n 的值 解析 (1)由已知易知 OA OB |OA | OB |cos AOB 3， OA OC |OA | OC |cos AOC 4， OB OC 0， |OA OB OC |2 OA 2 OB 2 OC 2 2(OA OB OA OC OB OC ) 9， |OA OB OC | 3. (2)由 OC mOA nOB 可得 OA OC mOA 2 nOA OB ，且 OB OC mOB OA nOB 2， ? 4m 3n 4， 3m 3n 0， m n 4.
