1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 6 讲 函数的奇偶性与周期性 考纲要求 考情分析 命题趋势 1结合具体函数，了解函数奇偶性的含义 2会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性 3了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性 2017 北京卷， 5 2017 天津卷， 6 2016 山东卷， 9 2016 江苏卷， 11 1对函数的奇偶性与周期性的考查主要有两种题型：一是判断函数的奇偶性与周期性；二是已知函数的奇偶性与周期性求值或范围，难度一般 2函数的单调性、奇偶性、周期性的综合应用，题型有根据性质判断图象 、解不等式、求方程根的个数等，难度较大 分值： 5 分 1偶函数、
2、奇函数的概念 一般地，如果对函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 _f( x) f(x)_，那么函数f(x)就叫做偶函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 _f( x) f(x)_，那么函数 f(x)就叫做奇函数 2奇、偶函数的图象特征 偶函数的图象关于 _y 轴 _对称，奇函数的图象关于 _原点 _对称 3函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x) f(|x|) (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性 (3)在公共定义域内有：奇 奇奇，偶 偶偶，奇 奇偶，偶 偶偶，奇 偶奇 4函数的
3、周期性 (1)对于函数 f(x)，如果存在一个 _非零常数 _T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 _f(x T) f(x)_，那么函数 f(x)就叫做周期函数， T 叫做这个函数的周期 (2)如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做=【 ;精品教育资源文库 】 = f(x)的 _最小 _正周期 5函数周期性的常 用结论 对 f(x)定义域内任一自变量 x 的值： (1)若 f(x a) f(x)，则 T 2a(a0)； (2)若 f(x a) 1f?x?，则 T 2a(a0)； (3)若 f(x a) 1f?x?，则 T 2a(a0) 6函数的对
4、称性与周期性的关系 (1)如果函数 f(x)(x D)在定义域内有两条对称轴 x a， x b(a0 时， f(x) x2 1x，则 f( 1) ( A ) A 2 B 0 C 1 D 2 解析 f(x)为奇函数， f( 1) f(1) 2，故选 A 4已知 f(x)在 R 上是奇函数，且满足 f(x 4) f(x)，当 x (0,2)时， f(x) 2x2，则f(2 015) ( A ) A 2 B 2 C 8 D 8 解析 由 f(x 4) f(x)， f(x)的周期为 4， f(2 015) f(5034 3) f(3) f( 1)， 又函 数为奇函数， f( 1) f(1) 21 2
5、2，故选 A 5若 f(x) ln(e3x 1) ax 是偶函数，则 a ！ 32 #. 解析 函数 f(x) ln(e3x 1) ax 为偶函数，故 f( x) f(x)，即 ln(e 3x 1) axln(e3x 1) ax， 故 ln e 3x 1e3x 1 2ax，即 ln e 3x 2ax，则 3x 2ax， a 32. 一 函数奇偶性的判断 函数奇偶性的判断方法 (1)判 断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据 f( x)与 f(x)的关系作出判断 (2)分段函数指在定义域的不同子集上有不同对应关系的函数分段函数奇偶性的
6、判断，要分别从 x0 或 x0. 解析 (1)由? 1 x0 ，1 x1 x0 ，得定义域为 ( 1,1，关于原点不对称，故 f(x)为非奇非偶函数 (2)由? 1 x20，|x 2|2 ， 得定义域为 ( 1,0) (0,1)，关于原点对称 x 20，则 f( x) ( x)2 x x2 x f(x)； 当 x0 时， xa2 9，解得 2 20 时 ， f(x)0， 所以 g(x)在 (0， ) 上单调递增 ， 且 g(x)0.又 a g( log25.1) g(log25.1)， b g(20.8)， c g(3)， 20.80，所以不是奇函数， 所以 B 项错； C 项， f(x) 2
7、 x 2x f(x)， f(x)是偶函数，所以 C 项错； D 项， f(x) x3 1 不过原点，所以 f(x)是非奇非偶函数，所以 D 项错只有 A 项，满足定义域关于原点对称，并且 f( x) f(x)，是奇函数 2已知 f(x) 3ax2 bx 5a b 是偶函数，且其定义域为 6a 1， a，则 a b ( A ) A 17 B 1 C 1 D 7 解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以 6a 1 a 0，所以 a 17.又因为 f(x)为偶函数，所以 3a( x)2 bx 5a b 3ax2 bx 5a b，得 b 0，所以 a b 17，故选 A 3若函数 f(x)(x R)
8、是奇函数，函数 g(x)(x R)是偶函数，则 ( C ) A函数 f(g(x)是奇函数 B函数 g(f(x)是奇函数 C函数 f(x) g(x)是奇函数 D函数 f(x) g(x)是奇函数 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 令 h(x) f(x) g(x)， 函数 f(x)是奇函数，函数 g(x)是偶函数， f( x) f(x)， g( x) g(x)， h( x) f( x) g( x) f(x) g(x) h(x)， h(x)f(x) g(x)是奇函数，故选 C 4 (2018 重庆模拟 )已知函数 y f(x)是奇函数，当 x0 时， f(x) lg x，则 f? ?f? ?11
9、00 ( D ) A 1lg 2 B 1lg 2 C lg 2 D lg 2 解析 因为当 x0 时， f(x) lg x，所以 f? ?1100 lg 1100 2， 则 f? ?f? ?1100 f( 2) f(2) lg 2. 5 (2018 河南南阳模拟 )函数 f(x)是周期为 4 的偶函数，当 x 0,2时， f(x) x 1，则不等式 xf(x)0 在 1,3上的解集为 ( C ) A (1,3) B ( 1,1) C ( 1,0) (1,3) D ( 1,0) (0,1) 解析 f(x)的图象如图 当 x 1,0)时，由 xf(x)0 得 x ( 1,0)； 当 x 0,1)时
10、， xf(x)0 无解； 当 x 1,3时，由 xf(x)0 得 x (1,3) 故 x ( 1,0) (1,3) 6已知 f(x)是偶函数，且 f(x)在 0， ) 上是增函数，如果 f(ax 1) f(x 2)在 x ? ?12， 1 时恒成立，则实数 a 的取值范围是 ( D ) A 2,1 B 5,0 C 5,1 D 2,0 解析 因为 f(x)是偶函数，在 0， ) 上是增函数，如果 f(ax 1) f(x 2)在 x?12， 1 时恒成立，则 |ax 1|2 x，即 x 2 ax 12 x.由 ax 12 x，得 ax1 x，a 1x 1，而 1x 1 在 x 1 时取得最小值 0
11、，故 a0. 同理， x 2 ax 1 时， a 2，所以a 的取 值范围是 2,0 =【 ;精品教育资源文库 】 = 二、填空题 7已知偶函数 f(x)在 0， ) 上单调递减，若 f(2x 1)f? ?53 成立，则 x 的取值范围是 ！ ? ? 13， 43 #. 解析 因为偶函数 f(x)在区间 (0， ) 上单调递减，所以由 f(2x 1)f? ?53 ，得 f(|2x 1|)f? ?53 ， |2x 1|f(3x 6)成立的 x 的取值范围是 _( ，2) (3， ) _. 解析 函数 f(x) x1 |x|为奇函数，当 x0 时， f(x) 1 11 x，可得 f(x)在 (0， )上单调递增，由奇函数的性质，可得 f(x)在 R 上单调递增，则由 f(x2 2x)f(3x 6)，可得 x2 2x3x 6，解得 x3. 三、解答题 10已知函数 f(x)? x2 2x， x0，0， x 0，x2 mx， x0， 所以 f( x) ( x)2 2( x) x2 2x， 又 f(x)为奇函数，所以 f( x) f(x)， 于是当 x0 时， f(x) x2 2x x2 mx，所以 m 2. (2)要使 f(x)在 1， a 2上单调递增，
