1、第十章概率第一节随机事件的概率【最新考纲】1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式1概率和频率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)为事件A出现的频率(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)2事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)BA(或AB)相
2、等关系若BA，且AB，那么称事件A与事件B相等AB并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)AB(或AB)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)AB(或AB)互斥事件若AB为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥AB对立事件若AB为不可能事件，AB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件AB 且AB3.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0P(A)1(2)必然事件的概率P(E)1(3)不可能事件的概率P(F)0(4)互斥事件概率的加法公式如果事件A与事件B互
3、斥，则P(AB)P(A)P(B)若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)1P(B)1(质疑夯基)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)事件发生的频率与概率是相同的()(2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值()(3)若随机事件A发生的概率为P(A)，则0P(A)1.()(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率()答案：(1)(2)(3)(4)2袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则恰有1个白球和全是白球；至少有1个白球和全是黑球；至少有1个白球和至少有2个白球；至少有1个白球和至少有1个黑球，在上述事件中，是对立事件的为()
4、A BC D解析：至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生中两事件是对立事件答案：B3(2017郑州调研)集合A2，3，B1，2，3，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是()A. B.C. D.解析：从A、B中各取一个数有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)共6种情况其中和为4的有两种情况(2，2)，(3，1)故所求事件的概率P.答案：C4(2016课标全国卷)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A. B.C. D.解析：先列出基本
5、事件，再利用古典概型概率公式求解从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄白紫、红白黄紫、红紫白黄、黄白红紫、黄紫红白、白紫红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄白紫、红白黄紫、黄紫红白、白紫红黄，共4种，故所求概率为P，故选C.答案：C5(2015江苏卷)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_解析：从4只球中随机一次摸出2只球有6种不同结果其中“颜色相同”为事件A，且A中只有1种结果P(A)，则所求事件的概率P(A)1P(A).答案：两点注意1频
6、率与概率有本质的区别，频率随着实验次数的改变而发生变化，频率是大量随机事件现象的客观规律，是一个常数2对立事件不仅两个事件不能同时发生，而且二者必有一个发生两种方法求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法1直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算2间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)1P(A)，即运用逆向思维(正难则反)一、选择题1有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向事件“甲向南”与事件“乙向南”是()A互斥但非对立事件B对立事件C相互独立事件 D以上都不对解析：由于每人一个
7、方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件答案：A2甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是()A. B.C. D.解析：乙不输包含两种情况：一是两人和棋，二是乙获胜，故所求概率为.答案：A3(2014课标全国卷改编)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为()A. B.C. D.解析：设两本不同的数学书为a1，a2，1本语文书为b.则在书架上的摆放方法有a1a2b，a1ba2，a2a1b，a2ba1，ba1a2，ba2a1，共6种，其中数学书相邻的有4种因此2本数学书相邻的概率P.答案：C4(201
8、6郑州模拟)某袋中有编号为1，2，3，4，5，6的6个球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是()A. B.C. D.解析：设a，b分别为甲、乙摸出球的编号由题意，摸球试验共有n6636种不同结果，满足ab的基本事件共有6种所以摸出编号不同的概率P1.答案：C5如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是()A. B.C. D.解析：设被污损的数字为x，则x甲(8889909192)90，x乙(8383879990x)，若x甲x
9、乙，则x8.若x甲x乙，则x可以为0，1，2，3，4，5，6，7，故P.答案：C6(2017广州一模)四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币若硬币正面朝上则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着，那么，没有相邻的两个人站起来的概率为()A.B. C.D.解析：本题主要考查事件与概率利用间落法，先计算有相邻的两个人站起来的概率四个人抛硬币，一共有2416种不同的情况，其中有相邻两个人同为正面需要站起来有4种情况，三个人需要站起来有4种情况，四个人都站起来有1种情况，所以有相邻的两个人站起来的概率P.故没有相邻的两个人站起来的概率P1.答案：B二、填
10、空题7给出下列三个命题，其中正确命题有_个有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率解析：错，不一定是10件次品；错，是频率而非概率；错，频率不等于概率，这是两个不同的概念答案：08(2014江苏卷)从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是_解析：取两个数的所有情况有：(1，2)，(1，3)，(1，6)，(2，3)，(2，6)，(3，6)，共6种情况乘积为6的情况有：(1，6)，(2，3)，共2种情况所求事件的概率为.答案：9抛
11、掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1、2、3、4、5、6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过2”，则P(AB)_解析：将事件AB分为：事件C“朝上一面的数为1、2”与事件D“朝上一面的数为3、5”则C、D互斥，且P(C)，P(D)，P(AB)P(CD)P(C)P(D).答案：三、解答题10(2015湖南卷)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖(1)用球的标号列出所有可能的摸出
12、结果；(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由解：(1)依题意，所有可能的摸出的结果是A1，a1，A1，a2，A1，b1，A1，b2，A2，a1，A2，a2，A2，b1，A2，b2，B，a1，B，a2，B，b1，B，b2(2)不正确理由如下： 由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为A1，a1，A1，a2，A2，a1，A2，a2，共4种，所以中奖的概率为P1，不中奖的概率为P21P1.由于P1P2.故这种说法不正确11某班选派5人，参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：获奖人数012345概率0.10.16xy0.2z(1)若获奖人数不超过2人的概率为0.56，求x的值；(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y、z的值解：记事件“在竞赛中，有k人获奖”为Ak(kN，k5)，则事件Ak彼此互斥(1)获奖人数不超过2人的概率为0.56.P(A0)P(A1)P(A2)0.10.16x0.56.解得x0.3.(2) 由获奖人数最多4人的概率为0.96，得P(A5)10.960.04，即z0.04.由获奖人数最少3人的概率为0.44，得P(A3)P(A4)P(A5)0.44，即y0.20.040.44.解得y0.2.11
