1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 11 讲 函数与方程 考纲要求 考情分析 命题趋势 1结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数 2根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解 2017 江苏卷， 14 2016 天津卷， 8 1函数的零点问题是命题热点，经常考查函数零点存在的区间和零点个数的判断，难度不大 2函数零点性质的应用主要是利用函数的零点个数求参数的范围 分值： 5 8 分 1函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数 y f(x)，我们把使 _f(x) 0_成立的实数 x 叫做函数 y f(x)的零点 (2)三个等价关系 方程
2、 f(x) 0 有实数根 ?函数 y f(x)的图象与 _x 轴 _有交点 ?函数 y f(x)有 _零点 _. (3)函数零点的判定 (零点存在性定理 ) 如果函数 y f(x)在区间 a， b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_f(a) f(b)0)的 零点 0 0 0)的图象 与 x 轴的交点 (x1,0)， (x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 _两个 _ _一个 _ 无 3二分法 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)二分法的定义 对于在区间 a， b上连续不断且 _f(a) f(b)0. (3)正确当 b2 4ac0， f? ?12 1 12log212 1 12 32
3、0， f(1) 1 00， f(2) 1 2log22 10， f(b)0，又该函数是二次函数，且开口向上，可知两根分别在 (a， b)和 (b， c)内 二 判断函数零点的个数 判断函数零点个数的方法 (1)解方程法：令 f(x) 0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点 (2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间 a， b上是连 续不断的曲线，且f(a) f(b)0 的零点个数是 _2_. 解析 (1)由 f(x 2) f(x)，知函数 f(x)是周期为 2 的周期函数，且是偶函数，在同一坐标系中画出 y log3|x|和 y f(x)， x 3,3的图象，如图所示，由图可知零点个
4、数为 4. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)当 x0 时，令 f(x) 0，即 x2 2 0， x 2(舍 )或 x 2.当 x0 时， f(x) 2x 6 ln x，显然 f(x)在 (0， ) 上单调递增，又 f(1) 40，故f(x)在 (1,3)上存在唯一零点，即 f(x)在 (0， ) 上存在唯一零点， f(x)共有 2 个零点 三 函数零点的应用 函数零点应用问题的常见类型及解题策略 (1)已知函数零点存在求参数根据函数零点或方程的根求解参数应分三步： 判断函数的单调性； 利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式； 解不等式，即得参数的取值范围 (2)已知函数零点个数求参
5、数常利用数形结合法 (3)借助函数零点比较大小要比较 f(a)与 f(b)的大小，通常先比较 f(a)， f(b)与 0的大小 【例 3】 (1)若函数 f(x) 3ax 1 2a 在区间 ( 1,1)上存在一个零点，则实数 a 的取值范围是 ( B ) A ? ?15， B ( ， 1) ? ?15， C ? ? 1， 15 D ( ， 1) (2)已知函数 f(x)? 2x 1， x1 ，x 1， x1， 则函数 F(x) f(x) a2 a 1(a R)总有零点时， a 的取值范围是 ( A ) A ( ， 0) (1， ) B 1,2) C 1,0 (1,2 D 0,1 解析 (1)要
6、使函数在 ( 1,1)上存在一个零点，则有 f( 1) f(1)0，解得 a15或 a 1，解得 a1故选 A =【 ;精品教育资源文库 】 = 1函数 f(x) ln(x 1) 2x的一个零点所在的区间是 ( B ) A (0,1) B (1,2) C (2,3) D (3,4) 解析 因为 f(1) ln 2 20，所以 f(x)在 (1,2)上必存在零点，故选 B 2已知函数 f(x) 2x x， g(x) log3x x， h(x) x 1x的零点依次为 a， b， c，则( A ) A a0， 则函数 y f(f(x) 1 的零点个数为 _2_. 解析 当 x0 时， 01 时， f
7、(x) log2x0，所以 f(f(x) 1 log2(log2x) 1 0，得 log2x 2， x 4；当0a. 若存在实数 b，使函数 g(x) f(x) b 有两个零点，则 a 的取值范围是 _( ， 0)(1 ， ) _. 解析 当 a1 时， f(x)的图象如图 (2)所示 =【 ;精品教育资源文库 】 = 图 (1) 图 (2) 当 b (a2， a3时，函数 g(x) f(x) b 有两个零点，分别是 x1 3 b， x2 b.综上， a ( ， 0) (1， ) 易错点 不会借助图象解决方程根的范围或根的个数问题 错因分析：涉及方程根的个数问题，通常需要找出两个函数，看它们的
8、图象交点有几个 【例 1】 已知函数 f(x)? 0， x 0，?x 1x ， x0 ，则关于 x 的方程 (f(x)2 bf(x) c0 有 5 个不同实数根的充要条件是 ( ) A b0 B b 2 且 c2， t2 0， c 0. 由 t2 bt t(t b) 0，得 t1 b2， b0，且 a1) 在 R 上单调递减，且关于 x 的方程 |f(x)| 2 x 恰有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是( C ) A ? ?0， 23 B ? ?23， 43 =【 ;精品教育资源文库 】 = C ? ?13， 23 ? ?34 D ? ?13， 23 ? ?34 解析 要使函数 f(x
9、)在 R 上单调递减，只需? 3 4a2 0 ，00 时有一个交点；当直线 y 2 x 与 y x2 (4a 3)x 3a(x0，则 f(0) f(1) 20，故零点一定在区间 (2,3)内 3 f(x) 2sin x x 1 的零点个数为 ( B ) A 4 B 5 C 6 D 7 解析 令 f(x) 0，则 2sin x x 1，令 h(x) 2sin x， g(x) x 1，则 f(x) 2sin x x 1 的零点个数为两个函数 h(x)与 g(x)图象的交点个数 h(x) 2sin x的最小正周期 为 T 2 2，在同一坐标系中，画出两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点一共有
10、 5 个，所以 f(x) 2sin x x 1 的零点个数为 5. 4已知方程 |x2 a| x 2 0 有两个不等的实数根，则实数 a 的取值范围为 ( B ) A (0,4) B (4， ) C (0,2) D (2， ) 解析 依题意，知方程 |x2 a| x 2 有两个不等的实数根，即函数 y1 |x2 a|的图象与函数 y2 x 2 的图象有两个不同的交点如图，则 a2，即 a4，故选 B 5已知函数 f(x) e|x| |x|，若关于 x 的方程 f(x) k 有两个不同的实根，则实数 k的取值范围是 ( B ) A (0,1) B (1， ) C ( 1,0) D ( ， 1)
11、解析 因为 f( x) e| x| | x| e|x| |x| f(x)，故 f(x)是偶函数当 x0 时，f(x) ex x 是增函数，故 f(x) f(0) 1，由偶函数图象关于 y 轴对称，知 f(x)在 ( ，0)上是减函数，值域为 1， ) ，作出函数 y f(x)与 y k 的图象，如图所示 ，由图可知，实数 k 的取值范围是 (1， ) ，故选 B 6已知 f(x 1) f(x 1)， f(x) f( x 2)，方程 f(x) 0 在 0,1内有且只有一个=【 ;精品教育资源文库 】 = 根 x 12，则 f(x) 0 在区间 0,2 017内根的个数为 ( C ) A 2 01
12、5 B 1 008 C 2 017 D 1 009 解析 由 f(x 1) f(x 1)，可知 f(x 2) f(x)，所以函数 f(x)的周期是 2.由 f(x) f( x 2)可知函数 f(x)的图象关于直线 x 1 对称因为函数 f(x) 0 在 0,1内有且只有一个根 x 12，所以函数 f(x) 0 在区间 0,2 017内根的个数为 2 017，故选 C 二、填空题 7若二次函数 f(x) x2 2ax 4 在 (1， ) 上有两个零点，则实数 a 的取值范围为 ！ ?2， 52 #. 解析 依据二次函数的图象有 ? 0， 2a2 1，f?1?0，即? 4a2 160，a1，a0
13、时， f(x) 2 017x log2 017x，则在 R 上函数f(x)零点的个数为 _3_. 解析 函数 f(x)为 R 上的奇函数，因此 f(0) 0，当 x0 时， f(x) 2 017x log2 017x在区间 ? ?0， 12 017 内存在一个零点，又 f(x)为增函数 ，因此在 (0， ) 内有且仅有一个零点根据对称性可知函数在 ( ， 0)内有且仅有一零点，从而函数 f(x)在 R 上的零点的个数为 3. 9已知函数 f(x)? 2x a， x0 ，x2 3ax a， x0 有 3 个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 ！ ?49， 1 #. 解析 依题意，要使函数 f(x)有三个不同的零点，则当 x0 时，方程 2x a 0，即 2x a 必有一个根， 此时 00 时，方程 x2 3ax a 0 有两个不等的实根，即方程 x2 3ax a 0 有两个不等的正实根， 于是有? 9a2 4a0，3a0，a0，解得 a49，
