1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 67 讲 坐标系 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.理解坐标系的作用 2了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况 3能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化 4能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义 . 2017 全国卷 ， 22 2016 全国卷 ， 23 2016 北京卷， 11 极坐标与直角坐标在高考中主要考查平面 直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程 . 分值：
2、5 10分 1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x ， y) 是 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 任 意 一 点 ， 在 变 换 ：? x _ x， 0_，y _ y， 0_ 的作用下，点 P(x， y)对应到点 P( x ， y) ，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换 2极坐标系 (1)极坐标系的概念 极坐标系： 如图所示，在平面内取一个 _定点 _O，点 O 叫做极点， 自极点 O 引一条 _射线 _Ox，Ox 叫做极轴；再选定一个 _长度单位 _、一个 _角度单位 _(通常取弧度 )及其正方向 (通常取逆时针方向 )，这样就建立了一个极坐标系 极坐标： =【
3、;精品教育资源文库 】 = 一般地，没有特殊说明时，我们认为 0 ， 可取任意实数 点与极坐标的关系： 一般地，极坐标 ( ， )与 ( ， 2k)( k Z) 表示同一个点，特别地，极点 O的坐标为 (0， )( R) ，与直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有 _无数 _种表示 如果规定 0,0 0，所以 a 1. a 1 时，极点也为 C1， C2的公共点，且在 C3上所以 a 1. 1求双曲线 C： x2 y264 1 经过 ： ? x 3x，2y y 变换后所得曲线 C 的焦点坐标 解析 设曲线 C 上任意一点 P( x ， y) ，将? x 13x ，y 2y代入 x2 y264 1
4、 得x 29 4y264 1，化简得x 29 y 216 1，即x29y216 1 为曲线 C 的方程，可见仍是双曲线，则所=【 ;精品教育资源文库 】 = 求焦点坐标为 F1( 5,0)， F2(5,0) 2已知圆 O1和圆 O2的极坐标方程分别为 2， 2 2 2 cos ? ? 4 2. (1)把圆 O1和圆 O2的极坐标方程化为直角坐标 方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程 解析 (1)由 2 知 2 4，所以 x2 y2 4； 因为 2 2 2 cos? ? 4 2， 所以 2 2 2 ? ?cos cos 4 sin sin 4 2. 所以 x2 y2 2x 2y 2 0
5、. (2)将两圆直角坐标方程相减，得过两圆交点的直线方程为 x y 1. 化为极坐标方程为 cos sin 1，即 sin? ? 4 22 . 3在极坐标系中，求直线 sin? ? 4 2 被圆 4 截得的弦长 解析 由 sin? ? 4 2， 得 22 ( cos sin ) 2 可化为 x y 2 2 0. 圆 4 可化为 x2 y2 16， 由圆中的弦长公式得 2 r2 d2 2 42 ? ?2 22 2 4 3. 故所求弦长为 4 3. 4 (2017 全国卷 )在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线 C1的极坐标方程为 cos 4. (1)M
6、 为曲线 C1上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 |OM| |OP| 16，求点 P 的轨迹C2的直角坐标方程； (2)设点 A 的极坐标为 ? ?2， 3 ，点 B 在曲线 C2上，求 OAB 面积的最大值 解析 (1)设 P 的极坐标为 ( ， )( 0)， M 的极坐标为 ( 1， )( 10) 由题设知 |OP| ， |OM| 1 4cos . 由 |OM| OP| 16 得 C2的极坐标方程 4cos ( 0) 因此 C2的直角坐标方程为 (x 2)2 y2 4(x0) (2)设点 B 的极坐标为 ( B， )( B0)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 由题设知 |OA|
7、 2， B 4cos ，于是 OAB 的面积 S 12|OA| Bsin AOB 4cos ? ?sin? ? 3 2? ?sin? ?2 3 32 2 3. 当 12时， S 取得最大值 2 3. 所以 OAB 面积的最大值为 2 3. 易错点 忽略变量的取值范围 错因分析：忽略变量的取值范围，导致错误 【例 1】 求极坐标方程 2 2cos sin2 所对应的直角坐标方程 解析 由 2 2cos sin2 (sin 0) ，得 21 cos (cos 1) ， cos 2(cos 1) ， (*) x2 y2 x 2，化简得 y2 4x 4， 当 cos 1 时， (*)式不成立； 当 c
8、os 1 时，由 (*)式知 1， x cos 1. 综上可知， y2 4x 4(x 1)即为所求 【跟踪训练 1】 已知直线 l 的参数方程为? x tcos ，y 2 tsin (t 为参数， 0 0 得 |sin | 32 ， 0 ， 3 23 . =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)由 (*)知， t1 t22 2sin ，代入? x tcos ，y 2 tsin 中， 整理得 P1P2的中点的轨迹方程为? x sin 2 ，y 1 cos 2 ? 为参数， 3 23 . 课时达标 第 67 讲 解密考纲 高考中，主要涉及曲线的极坐标方程、曲线的参数方程、极坐标方程与直角坐标方程
9、的互化、参数方程与普通方程的互化，两种不同方式的方程的互化是考查的热点，常以解答题的形式出现 1求椭圆 x24 y2 1 经过伸缩变换? x 12x，y y后的曲线方程 解析 由? x 12x，y y得到? x 2x ，y y ， 代入 x24 y2 1，得 4x24 y2 1，即 x 2 y 2 1. 因此椭圆 x24 y2 1 经伸缩变换后得到的曲线方程是 x2 y2 1. 2在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 A 的极坐标为 ? ?2， 4 ，直线 l 的极坐标方程为 cos? ? 4 a，且点 A 在直线 l上 (1)求 a 的值 及直线
10、l 的直角坐标方程； (2)圆 C 的参数方程为? x 1 cos ，y sin ( 为参数 )，试判断直线 l 与圆 C 的位置关系 解析 (1)由点 A? ?2， 4 在直线 l 上，得 2cos? ? 4 4 a，则 a 2，故直线 l 的方程可化为 sin cos 2，得直线 l 的直角坐标方程为 x y 2 0. (2)圆 C 的普通方程为 (x 1)2 y2 1，圆心 C 到直线 l 的距离 d |1 0 2|12 12 121，所以直线 l 与圆 C 相交 3 (2018 海南模拟 )已知曲线 C1的极坐标方程为 6cos ，曲线 C2的极坐标方程为 4( R)，曲线 C1， C
11、2相交于 A， B 两点 (1)把曲线 C1， C2的极坐标方程转化为直角坐标方程； =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)求弦 AB 的长度 解析 (1)曲线 C2的直角坐标方程为 y x，曲线 C1： 6cos ， 即 2 6 cos ，所以 x2 y2 6x，即 (x 3)2 y2 9. (2) 圆心 (3,0)到直线的距离 d 3 22 ，圆 C1的半径 r 3， |AB| 2 r2 d2 3 2. 弦 AB 的长度为 3 2. 4在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C1的极坐标方程为 2 21 sin2 ，直线 l 的极坐标
12、方程为 42sin cos . (1)写出曲线 C1与直线 l 的直角坐标方程； (2)设 Q 为曲线 C1上一动点，求 Q 点到直线 l 的距离的最小值 解析 (1)根据 2 x2 y2， x cos ， y sin ，可得 C1的直角坐标方程为x2 2y2 2，直线 l 的直角坐标方程为 x 2y 4. (2)设 Q( 2cos ， sin )，则点 Q 到直线 l 的距离为 d | 2sin 2cos 4|3 ? ?2sin? ? 4 43 232 33 ， 当且仅当 4 2k 2 ，即 2k 4(k Z)时取等号 点 Q 到直线 l 的距离的最小值为 2 33 . 5 (2016 全国
13、卷 )在直角坐标系 xOy 中 ，圆 C 的方程为 (x 6)2 y2 25. (1)以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； (2)直线 l 的参数方程是? x tcos ，y tsin (t 为参数 )， l 与 C 交于 A， B 两点， | |AB 10，求 l 的斜率 解析 (1)由 x cos ， y sin ， 可得圆 C 的极坐标方程为 2 12 cos 11 0. (2)在 (1)中建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 ( R) 设 A， B 所对应的极径分别为 1， 2，将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 2 12 cos
14、11 0. 于是 1 2 12cos ， 1 2 11. |AB| | 1 2| ? 1 2?2 4 1 2 144cos 2 44. =【 ;精品教育资源文库 】 = 由 |AB| 10，得 cos2 38， tan 153 . 所以 l 的斜率为 153 或 153 . 6 (2017 全国卷 )在直角坐标系 xOy 中，直线 l1的参数方程为? x 2 t，y kt (t 为参数 )，直线 l2的参数方程为? x 2 m，y mk (m 为参数 )设 l1与 l2的交点为 P，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线 C. (1)写出 C 的普通方程； (2)以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立
