1、G单元 立体几何 G1空间几何体的结构8G1，G62013北京卷 如图12，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有()图12A3个 B4个C5个 D6个8B解析 设棱长为1，BD1，BP，D1P.联结AD1，B1D1，CD1，得ABD1CBD1B1BD1，ABD1CBD1B1BD1，且cosABD1，联结AP，PC，PB1，则有ABPCBPB1BP，APCPB1P，同理DPA1PC1P1，P到各顶点的距离的不同取值有4个18G1，G4，G52013广东卷 如图14(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F是BC
2、的中点，AF与DE交于点G，将ABF沿AF折起，得到如图14(2)所示的三棱锥ABCF，其中BC.图14(1)证明：DE平面BCF；(2)证明：CF平面ABF；(3)当AD时，求三棱锥FDEG的体积18解：G2空间几何体的三视图和直观图10G2，G72013北京卷 某四棱锥的三视图如图13所示，该四棱锥的体积为_图13103解析 正视图的长为3，侧视图的长为3，因此，该四棱锥底面是边长为3的正方形，且高为1，因此V(33)13.18G2，G42013福建卷 如图13，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABDC，ABAD，BC5，DC3，AD4，PAD60.(1)当正视方向与向量的方向相同
3、时，画出四棱锥PABCD的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若M为PA的中点，求证：DM平面PBC；(3)求三棱锥DPBC的体积图1318解：(1)在梯形ABCD中，过点C作CEAB，垂足为E.由已知得，四边形ADCE为矩形，AECD3，在RtBEC中，由BC5，CE4，依勾股定理得BE3，从而AB6.又由PD平面ABCD得，PDAD.从而在RtPDA中，由AD4，PAD60，得PD4 .正视图如图所示(2)方法一：取PB中点N，联结MN，CN.在PAB中，M是PA中点，MNAB，MNAB3.又CDAB，CD3，MNCD，MNCD，四边形MNCD为平行四边形，DMCN.又DM平面P
4、BC，CN平面PBC，DM平面PBC.方法二：取AB的中点E，联结ME，DE.在梯形ABCD中，BECD，且BECD，四边形BCDE为平行四边形，DEBC.又DE平面PBC，BC平面PBC，DE平面PBC.又在PAB中，MEPB，ME平面PBC，PB平面PBC，ME平面PBC.又DEMEE，平面DME平面PBC.又DM平面DME，DM平面PBC.(3)VDPBCVPDBCSDBCPD，又SDBC6，PD4 ，所以VDPBC8 .6G22013广东卷 某三棱锥的三视图如图12所示，则该三棱锥的体积是()图12A. B. C. D16B解析 由三视图得三棱锥的高是2，底面是一个腰为1的等腰直角三角
5、形，故体积是112，选B.5G22013广东卷 执行如图11所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是()图11A1 B2 C4 D7 5C解析 13，s101，i2；23，s112，i3；s224，i4；43，故输出s4，选C.7G22013湖南卷 已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于()A. B1C. D.7D解析 由题可知，其俯视图恰好是正方形，而侧视图和正视图则应该都是正方体的对角面，故面积为，选D.8G22013江西卷 一几何体的三视图如图12所示，则该几何体的体积为()图12A2009 B20018C14
6、09 D140188A解析 该几何体上面是半圆柱，下面是长方体，半圆柱体积为3229，长方体体积为1054200.故选A.13G22013辽宁卷 某几何体的三视图如图13所示，则该几何体的体积是_图13131616解析 由三视图可知该几何体是一个圆柱里面挖去了一个长方体，所以该几何体的体积为V44161616.9G22013新课标全国卷 一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()图139A解析 在空间直角坐标系Oxyz中画出三棱锥，由已知可知三
7、棱锥OABC为题中所描叙的四面体，而其在zOx平面上的投影为正方形EBDO，故选A.图144G22013山东卷 一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图11所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是()图11A4 ，8 B4 ，C4(1)， D8，84B解析 由正视图知该几何体的高为2，底面边长为2，斜高为，侧面积424 ，体积为222.12G22013陕西卷 某几何体的三视图如图12所示，则其表面积为_图12123解析 由三视图得该几何体为半径为1的半个球，则表面积为半球面底面圆，代入数据计算为S412123.11G22013新课标全国卷 某几何体的三视图如图13所示，则该几何体的
8、体积为()图13A168 B88C1616 D81611A解析 该空间几何体的下半部分是一个底面半径为2，母线长为4的半圆柱，上半部分是一个底面边长为2、高为4的正四棱柱这个空间几何体的体积是44224168.5G22013浙江卷 已知某几何体的三视图(单位： cm)如图11所示，则该几何体的体积是()图11A108 cm3 B100 cm3C92 cm3 D84 cm35B解析 此直观图是由一个长方体挖去一个三棱锥而得，如图所示其体积为3663441088100(cm3)所以选择B.19G2和G52013重庆卷 如图14所示，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，PA2 ，BCCD2，ACB
9、ACD.(1)求证：BD平面PAC；(2)若侧棱PC上的点F满足PF7FC，求三棱锥PBDF的体积图1419解：(1)证明：因为BCCD，即BCD为等腰三角形，又ACBACD，故BDAC.因为PA底面ABCD，所以PABD，从而BD与平面PAC内两条相交直线PA，AC都垂直，所以BD平面PAC.(2)三棱锥PBCD的底面BCD的面积SBCDBCCDsinBCD22sin.由PA底面ABCD，得VPBCDSBCDPA2 2.由PF7FC，得三棱锥FBCD的高为PA，故VFBCDSBCDPA2 ，所以VPBDFVPBCDVFBCD2.8G2和G72013重庆卷 某几何体的三视图如图13所示，则该几
10、何体的表面积为()图13A180 B200 C220 D2408D解析 该几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，其腰为5的等腰梯形，所以底面面积和为(28)4240.四个侧面的面积和为(2852)10200，所以该直四棱柱的表面积为S40200240，故选D.G3平面的基本性质、空间两条直线G4空间中的平行关系17G4，G5，G72013北京卷 如图15，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.图1517证明：(1
11、)因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE，所以ABED为平行四边形，所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABAD，而且ABED为平行四边形，所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，所以PACD.又因为ADPAA，所以CD平面PAD，所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF，所以CDEF，所以CD平面BEF，所以平面BEF平面PCD.18G2，G42013福建卷 如图13，在四棱锥PABCD中，PD平面
12、ABCD，ABDC，ABAD，BC5，DC3，AD4，PAD60.(1)当正视方向与向量的方向相同时，画出四棱锥PABCD的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若M为PA的中点，求证：DM平面PBC；(3)求三棱锥DPBC的体积图1318解：(1)在梯形ABCD中，过点C作CEAB，垂足为E.由已知得，四边形ADCE为矩形，AECD3，在RtBEC中，由BC5，CE4，依勾股定理得BE3，从而AB6.又由PD平面ABCD得，PDAD.从而在RtPDA中，由AD4，PAD60，得PD4 .正视图如图所示(2)方法一：取PB中点N，联结MN，CN.在PAB中，M是PA中点，MNAB，MN
13、AB3.又CDAB，CD3，MNCD，MNCD，四边形MNCD为平行四边形，DMCN.又DM平面PBC，CN平面PBC，DM平面PBC.方法二：取AB的中点E，联结ME，DE.在梯形ABCD中，BECD，且BECD，四边形BCDE为平行四边形，DEBC.又DE平面PBC，BC平面PBC，DE平面PBC.又在PAB中，MEPB，ME平面PBC，PB平面PBC，ME平面PBC.又DEMEE，平面DME平面PBC.又DM平面DME，DM平面PBC.(3)VDPBCVPDBCSDBCPD，又SDBC6，PD4 ，所以VDPBC8 .18G1，G4，G52013广东卷 如图14(1)，在边长为1的等边三
14、角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将ABF沿AF折起，得到如图14(2)所示的三棱锥ABCF，其中BC.图14(1)证明：DE平面BCF；(2)证明：CF平面ABF；(3)当AD时，求三棱锥FDEG的体积18解：8G4、G52013广东卷 设l为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A若l，l，则B若l，l，则C若l，l，则D若，l，则l8B解析 根据空间平行、垂直关系的判定和性质，易知选B.16G4，G52013江苏卷 如图12，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB.过A作AFSB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，
15、SC的中点求证：(1)平面EFG平面ABC；(2)BCSA.图1216证明：(1)因为ASAB，AFSB，垂足为F，所以F是SB的中点又因为E是SA的中点，所以EFAB.因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.同理EG平面ABC.又EFEGE，所以平面EFG平面ABC.(2)因为平面SAB平面SBC，且交线为SB，又AF平面SAB，AFSB，所以AF平面SBC.因为BC平面SBC，所以AFBC.又因为ABBC，AFABA，AF，AB平面SAB，所以BC平面SAB.因为SA平面SAB，所以BCSA.15G42013江西卷 如图15所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且
16、ABCD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_图15154解析 直线EF与正方体左右两个面平行，与其他四个面相交图1418G4，G52013辽宁卷 如图14，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点(1)求证：BC平面PAC；(2)设Q为PA的中点，G为AOC的重心，求证：QG平面PBC.18证明：(1)由AB是圆O的直径，得ACBC.由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC.又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC.(2)联结OG并延长交AC于M，联结QM，QO，由G为AOC的重心，得M为AC中点，由Q为PA中点，得QMPC.又O
17、为AB中点，得OMBC.因为QMMOM，QM平面QMO.MO平面QMO，BCPCC，BC平面PBC，PC平面PBC，所以平面QMO平面PBC.因为QG平面QMO，所以QG平面PBC.18G4，G7，G112013新课标全国卷 如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点(1)证明：BC1平面A1CD；(2)设AA1ACCB2，AB2，求三棱锥CA1DE的体积图1718解：(1)证明：联结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，联结DF，则BC1DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.图18(2)因为ABCA1B1C1是直三棱柱
18、，所以AA1CD.由已知ACCB，D为AB的中点，所以CDAB.又AA1ABA，于是CD平面ABB1A1.由AA1ACCB2，AB2 得ACB90，CD，A1D，DE，A1E3，故A1D2DE2A1E2，即DEA1D.所以VCA1DE1.19G4，G52013山东卷 如图15，四棱锥PABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点(1)求证：CE平面PAD；(2)求证：平面EFG平面EMN.图1619证明：(1)证法一：取PA的中点H，联结EH，DH.因为E为PB的中点，所以EHAB，EHAB.又ABCD，CDAB，所以EHCD
19、，EHCD.因此四边形DCEH是平行四边形所以CEDH.又DH平面PAD，CE平面PAD，因此CE平面PAD.证法二：联结CF.因为F为AB的中点，所以AFAB.又CDAB，所以AFCD.又AFCD，所以四边形AFCD为平行四边形因此CFAD.又CF平面PAD，所以CF平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA.又EF平面PAD，所以EF平面PAD.因为CFEFF，故平面CEF平面PAD.又CE平面CEF，所以CE平面PAD.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA.又ABPA，所以ABEF.同理可证ABFG.又EFFGF，EF平面EFG，FG平面EFG，因此AB平
20、面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MNCD.又ABCD，所以MNAB，因此MN平面EFG.又MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN.18G4，G112013陕西卷 如图15，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O底面ABCD，ABAA1.图15(1)证明：平面A1BD平面CD1B1；(2)求三棱柱ABDA1B1D1的体积18解： (1)证明：由题设知，BB1瘙綊DD1，四边形BB1D1D是平行四边形，BDB1D1.又BD平面CD1B1，BD平面CD1B1.A1D1瘙綊B1C1瘙綊BC，四边形A1BCD1是平行四边形，A1BD1C.又A1B平面C
21、D1B1，A1B平面CD1B1.又BDA1BB，平面A1BD平面CD1B1.(2)A1O平面ABCD，A1O是三棱柱ABDA1B1D1的高又AOAC1，AA1，A1O1，又SABD1，VABDA1B1D1SABDA1O1.19G4，G5，G7，G112013四川卷 图18如图18，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABAC2AA12，BAC120，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l平面ADD1A1；(2)设(1)中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1QC1D的体积
22、(锥体体积公式：VSh，其中S为底面面积，h为高)19解：(1)如图，在平面ABC内，过点P作直线lBC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l平面A1BC.由已知，ABAC，D是BC的中点，所以，BCAD，则直线lAD.因此AA1平面ABC，所以AA1直线l.又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交，所以直线l平面ADD1A1.(2)过D作DEAC于E.因为AA1平面ABC，所以DEAA1.又因为AC，AA1在平面AA1C1C内，且AC与AA1相交，所以DE平面AA1C1C.由ABAC2，BAC120，有AD1，DAC60，所以在A
23、CD中，DEAD.又SA1QC1A1C1AA11，所以VA1QC1DVDA1QC1DESA1QC11.因此三棱锥A1QC1D的体积是.17G4，G5、G112013天津卷 如图13所示，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱A1A底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点(1)证明EF平面A1CD；(2)证明平面A1CD平面A1ABB1；(3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值图1317解：(1)证明：如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ACA1C1，且ACA1C1，联结ED，在ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DEAC且DEAC，又因为F为A1C1的
24、中点，可得A1FDE，且A1FDE，即四边形A1DEF为平行四边形，所以EFDA1.又EF平面A1CD，DA1平面A1CD，所以，EF平面A1CD.(2)证明：由于底面ABC是正三角形，D为AB的中点，故CDAB，又由于侧棱AA1底面ABC，CD平面ABC，所以A1ACD，又A1AABA，因此CD平面A1ABB1，而CD平面A1CD，所以平面A1CD平面A1ABB1.(3)在平面A1ABB1内，过点B作BGA1D交直线A1D于点G，联结CG，由于平面A1CD平面A1ABB1，而直线A1D是平面A1CD与平面A1ABB1的交线，故BG平面A1CD，由此得BCG为直线BC与平面A1CD所成的角设三
25、棱柱各棱长为a，可得A1D，由A1ADBGD，易得BG.在RtBGC中，sinBCG.所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.4G4，G52013浙江卷 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面()A若m，n，则mnB若m，m，则C若mn，m，则nD若m，则m4C解析 对于选项C，若mn，m，易得n.所以选择C.G5空间中的垂直关系图1518G52013安徽卷 如图15，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，已知PBPD2，PA.(1)证明：PCBD；(2)若E为PA的中点，求三棱锥PBCE的体积18解：(1)证明：联结AC，交BD于O点，联结PO.因为底面ABCD
26、是菱形，所以ACBD，BODO.由PBPD知，POBD.再由POACO知，BD面APC，又PC平面APC，因此BDPC.(2)因为E是PA的中点，所以VPBCEVCPEBVCPABVBAPC.由PBPDABAD2知，ABDPBD.因为BAD60，所以POAO，AC2，BO1.又PA，故PO2AO2PA2，即POAC.故SAPCPOAC3.由(1)知，BO面APC，因此VPBCEVBAPCSAPCBO.17G4，G5，G72013北京卷 如图15，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点求证：(1)PA底面ABCD；(2
27、)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.图1517证明：(1)因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE，所以ABED为平行四边形，所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABAD，而且ABED为平行四边形，所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，所以PACD.又因为ADPAA，所以CD平面PAD，所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF，所以CDEF，所以CD平面BEF，所以平面BEF平面PCD.19
28、G5、G112013全国卷 如图13所示，四棱锥PABCD中，ABCBAD90，BC2AD，PAB和PAD都是边长为2的等边三角形图13(1)证明：PBCD；(2)求点A到平面PCD的距离19解：(1)证明：取BC的中点E，联结DE，则四边形ABED为正方形过P作PO平面ABCD，垂足为O.联结OA，OB，OD，OE.由PAB和PAD都是等边三角形知PAPBPD，所以OAOBOD，即点O为正方形ABED对角线的交点故OEBD，从而PBOE.因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OECD.因此PBCD.(2)取PD的中点F，联结OF，则OFPB.由(1)知，PBCD，故OFCD.又ODBD，O
29、P，故POD为等腰三角形，因此OFPD.又PDCDD，所以OF平面PCD.因为AECD，CD平面PCD，AE平面PCD，所以AE平面PCD.因此O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离，而OFPB1，所以点A到平面PCD的距离为1.18G1，G4，G52013广东卷 如图14(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将ABF沿AF折起，得到如图14(2)所示的三棱锥ABCF，其中BC.图14(1)证明：DE平面BCF；(2)证明：CF平面ABF；(3)当AD时，求三棱锥FDEG的体积18解：8G4、G52013广东卷 设l
30、为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A若l，l，则B若l，l，则C若l，l，则D若，l，则l8B解析 根据空间平行、垂直关系的判定和性质，易知选B.16G4，G52013江苏卷 如图12，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB.过A作AFSB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点求证：(1)平面EFG平面ABC；(2)BCSA.图1216证明：(1)因为ASAB，AFSB，垂足为F，所以F是SB的中点又因为E是SA的中点，所以EFAB.因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.同理EG平面ABC.又EFEGE，所以平面EFG平面ABC.(2
31、)因为平面SAB平面SBC，且交线为SB，又AF平面SAB，AFSB，所以AF平面SBC.因为BC平面SBC，所以AFBC.又因为ABBC，AFABA，AF，AB平面SAB，所以BC平面SAB.因为SA平面SAB，所以BCSA.19G5，G72013江西卷 如图17所示，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD，ADAB，AB2，AD，AA13，E为CD上一点，DE1，EC3.(1)证明：BE平面BB1C1C；(2)求点B1到平面EA1C1的距离图1719解：(1)证明：过B作CD的垂线交CD于F，则BFAD，EFABDE1，FC2.在RtBEF中，BE.在RtCFB中，BC.在BEC中，
32、因为BE2BC29EC2，故BEBC.由BB1平面ABCD得BEBB1.所以BE平面BB1C1C.(2)三棱锥EA1B1C1的体积VAA1SA1B1C1.在RtA1D1C1中，A1C13 .同理，EC13 ，A1E2 .故SA1C1E3 .设点B1到平面EA1C1的距离为d，则三棱锥B1A1C1E的体积VdSA1C1Ed，从而d，d.图1418G4，G52013辽宁卷 如图14，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点(1)求证：BC平面PAC；(2)设Q为PA的中点，G为AOC的重心，求证：QG平面PBC.18证明：(1)由AB是圆O的直径，得ACBC.由PA平面ABC，BC
33、平面ABC，得PABC.又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC.(2)联结OG并延长交AC于M，联结QM，QO，由G为AOC的重心，得M为AC中点，由Q为PA中点，得QMPC.又O为AB中点，得OMBC.因为QMMOM，QM平面QMO.MO平面QMO，BCPCC，BC平面PBC，PC平面PBC，所以平面QMO平面PBC.因为QG平面QMO，所以QG平面PBC.19G4，G52013山东卷 如图15，四棱锥PABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点(1)求证：CE平面PAD；(2)求证：平面EFG平
34、面EMN.图1619证明：(1)证法一：取PA的中点H，联结EH，DH.因为E为PB的中点，所以EHAB，EHAB.又ABCD，CDAB，所以EHCD，EHCD.因此四边形DCEH是平行四边形所以CEDH.又DH平面PAD，CE平面PAD，因此CE平面PAD.证法二：联结CF.因为F为AB的中点，所以AFAB.又CDAB，所以AFCD.又AFCD，所以四边形AFCD为平行四边形因此CFAD.又CF平面PAD，所以CF平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA.又EF平面PAD，所以EF平面PAD.因为CFEFF，故平面CEF平面PAD.又CE平面CEF，所以CE平面PAD.(2
35、)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA.又ABPA，所以ABEF.同理可证ABFG.又EFFGF，EF平面EFG，FG平面EFG，因此AB平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MNCD.又ABCD，所以MNAB，因此MN平面EFG.又MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN.19G4，G5，G7，G112013四川卷 图18如图18，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABAC2AA12，BAC120，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l平面AD
36、D1A1；(2)设(1)中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1QC1D的体积(锥体体积公式：VSh，其中S为底面面积，h为高)19解：(1)如图，在平面ABC内，过点P作直线lBC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l平面A1BC.由已知，ABAC，D是BC的中点，所以，BCAD，则直线lAD.因此AA1平面ABC，所以AA1直线l.又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交，所以直线l平面ADD1A1.(2)过D作DEAC于E.因为AA1平面ABC，所以DEAA1.又因为AC，AA1在平面AA1C1C内，且AC与AA1相交，所以DE平
37、面AA1C1C.由ABAC2，BAC120，有AD1，DAC60，所以在ACD中，DEAD.又SA1QC1A1C1AA11，所以VA1QC1DVDA1QC1DESA1QC11.因此三棱锥A1QC1D的体积是.17G4，G5、G112013天津卷 如图13所示，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱A1A底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点(1)证明EF平面A1CD；(2)证明平面A1CD平面A1ABB1；(3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值图1317解：(1)证明：如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ACA1C1，且ACA1C1，联结ED，在ABC中，因为
38、D，E分别为AB，BC的中点，所以DEAC且DEAC，又因为F为A1C1的中点，可得A1FDE，且A1FDE，即四边形A1DEF为平行四边形，所以EFDA1.又EF平面A1CD，DA1平面A1CD，所以，EF平面A1CD.(2)证明：由于底面ABC是正三角形，D为AB的中点，故CDAB，又由于侧棱AA1底面ABC，CD平面ABC，所以A1ACD，又A1AABA，因此CD平面A1ABB1，而CD平面A1CD，所以平面A1CD平面A1ABB1.(3)在平面A1ABB1内，过点B作BGA1D交直线A1D于点G，联结CG，由于平面A1CD平面A1ABB1，而直线A1D是平面A1CD与平面A1ABB1的
39、交线，故BG平面A1CD，由此得BCG为直线BC与平面A1CD所成的角设三棱柱各棱长为a，可得A1D，由A1ADBGD，易得BG.在RtBGC中，sinBCG.所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.19G52013新课标全国卷 如图15所示，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160.(1)证明：ABA1C；(2)若ABCB2，A1C，求三棱柱ABCA1B1C1的体积图1519解：(1)取AB的中点O，联结OC，OA1，A1B，因为CACB，所以OCAB.由于ABAA1，BAA160，故AA1B为等边三角形，所以OA1AB.因为OCOA1O，所以AB平面OA1C.又A1C平面OA1C，故ABA1C.(2)由题设知ABC与AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OCOA1.又A1C，则A1C2OC2OA，故OA1OC.因为OCABO，所以OA1平面ABC，OA1为三棱柱ABCA1B1C1的高又ABC的面积SABC，故三棱柱ABCA1B1C1的体积VSABCOA13.4G4，G52013浙江卷 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面()A若m，n，则mnB若m，m，则
