1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 27 讲 数系的扩充与复数的引入 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.理解复数的基本概念 2理解复数相等的充要条件 3了解复数的代数表示法及其几何意义 4会进行复数代数形式的四则运算 5了解复数代数形式的加、减运算的几何意义 . 2017 全国卷 ， 1 2017 全国卷 ， 2 2017 山东卷， 2 2017 天津卷， 9 2016 全国卷 ， 2 复数的概念 (如实部、虚部、纯虚数、共轭复数、复数的模 )及复数的四则运算 (特别是除法运算 )是高考考查的主要内容，复数的几何意义常与解析几何知识交汇命 题 . 分值： 5 分 1复数的有关概念 (1)复数
2、的概念：形如 a bi(a， b R)的数叫做复数，其中 a， b 分别是它的 _实部 _和 _虚部 _.若 _b 0_，则 a bi 为实数；若 b0 ，则 a bi 为虚数；若 _a 0，且 b0 _，则 a bi 为纯虚数 (2)复数相等： a bi c di?_a c 且 b d_(a， b， c， d R) (3)共轭复数： a bi 与 c di 共轭 ?_a c 且 b d_(a， b， c， d R) (4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面 _x 轴 _叫做实轴， _y轴除去原点 _叫做虚轴实轴上的点都表示 _实数 _；除原点外，虚轴上的点都表示 _纯虚数 _
3、；各象限内的点都表示 _非纯虚数 _.复数集用 C 表示 (5)复数的模：向量 OZ 的模 r 做复数 z a bi 的模，记作 _|z|_或 _|a bi|_，即 |z| |a bi| _ a2 b2_. 2复数的几何意义 (1)复数 z a bi 一一对应 复平面内的点 Z(a， b)(a， b R) (2)复 数 z a bi 一一对应 _平面向量 OZ _(a， b R) 3复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1 a bi， z2 c di(a， b， c， d R)，则： 加法： z1 z2 (a bi) (c di) _(a c) (b d)i_； 减法： z1
4、z2 (a bi) (c di) _(a c) (b d)i_； 乘法： z1 z2 (a bi)( c di) _(ac bd) (ad bc)i_； =【 ;精品教育资源文库 】 = 除法： z1z2 a bic di _?ac bd? ?bc ad?ic2 d2 _(c di0) (2)复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1， z2， z3 C，有 z1 z2 _z2 z1_， (z1 z2) z3 _z1 (z2 z3)_. 4 i 乘方的周期性 in? 1， n 4k，i， n 4k 1， 1， n 4k 2， i， n 4k 3，其中 k Z. 5共轭复数与
5、模的关系 z z |z|2 | z |2. 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “”) (1)若 a C，则 a20.( ) (2)在实数范围内的两个数能比较大小，因而在复数范围内的两个数也能比较大小 ( ) (3)一个复数的实部为 0，则此复数必为纯虚数 ( ) (4)复数的模就是复数在复平面内对应向量的模 ( ) 解析 (1)错误若 a i，则 a2 10， b0)，则 z 的共轭复数 z a bi.它对应的点为 ( a， b)，是第三象限的点，即图中的 B 点 (3)由已知得 A( 1,2)， B(1， 1)， C(3， 2)， OC xOA yOB ， (3， 2) x( 1,2) y
6、(1， 1) ( x y,2x y)， ? x y 3，2x y 2， 解得 ? x 1，y 4， 故 x y 5. 三 复数的代数形式运算 (1)复数的乘法复数的乘法类似于多项式 的四则运算，可将含有虚数单位 i 的看作一类同类项，不含 i 的看作另一类同类项，分别合并即可 (2)复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把 i 的幂写成最简形式 【例 3】 (1)(2016 全国卷 )设 (1 i)x 1 yi，其中 x， y 是实数，则 |x yi|( B ) A 1 B 2 C 3 D 2 (2)(2016 全国卷 )若 z 1 2i，则 4iz z 1 ( C
7、) A 1 B 1 C i D i (3)若 a 为实数，且 (2 ai)(a 2i) 4i，则 a ( B ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 1 B 0 C 1 D 2 解析 (1) x， y R， (1 i)x 1 yi， x xi 1 yi， ? x 1，y 1， |x yi| |1 i| 12 12 2.故选 B (2) z z (1 2i)(1 2i) 5， 4iz z 1 4i4 i.故选 C (3) (2 ai)(a 2i) 4i，即 4a (a2 4)i 4i， ? 4a 0，a2 4 4， 解得 a 0. 1 (2017 北京卷 )若复数 (1 i)(a i)在复平面
8、内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是 ( B ) A ( ， 1) B ( ， 1) C (1， ) D ( 1， ) 解析 因为 z (1 i)(a i) a 1 (1 a)i，所以它在复平面内对应的点为 (a 1,1 a)，又此点在第二象限，所以? a 10， 解得 a0，解得 m5. 【跟踪训练 1】 使不等式 (m2 4m 3)i 10m2 (m2 3m)i 成立的实数 m _3_. 解析 (m2 4m 3)i 10m2 (m2 3m)i， ? m2 4m 3 0，m2 3m 0，10m2，解得 m 3. 课时达标 第 27 讲 解密考纲 复数的计算以选择题或填空题的形式出现
9、，主要考查复数的概念和复数代数形式的四则运算 一、选择题 1 (2017 全国卷 )3 i1 i ( D ) A 1 2i B 1 2i C 2 i D 2 i =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 3 i1 i ?3 i?1 i?1 i?1 i? 4 2i2 2 i，故选 D 2 (2017 全国卷 )设复数 z 满足 (1 i)z 2i，则 |z| ( C ) A 12 B 22 C 2 D 2 解析 z 2i1 i 2i?1 i?1 i?1 i? i(1 i) 1 i，所以 |z| 2. 3 i 是虚数单位，若 2 i1 i a bi(a， b R)，则 lg(a b)的值是 ( C
10、) A 2 B 1 C 0 D 12 解析 ?2 i?1 i?1 i?1 i? 3 i2 32 12i a bi， ? a 32，b 12， lg(a b) lg 1 0，故选 C 4 (2018 甘肃兰州模拟 )已知复数 z (a2 1) (a 1)i(a R)是纯虚数，则 a( C ) A 0 B 1 C 1 D 1 解析 由题意得? a2 1 0，a 10 ， 解得 a 1. 5满足 z iz i(i 为虚数单位 )的复数 z ( B ) A 12 12i B 12 12i C 12 12i D 12 12i 解析 去掉分母，得 z i zi，所以 (1 i)z i， 解得 z i1 i
11、 12 12i，故选 B 6已知复数 z 1 ai(a R)(i 是虚数单位 )，zz 3545i，则 a ( B ) A 2 B 2 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 2 D 12 解析 由题意可得 1 ai1 ai 35 45i，即 ?1 ai?21 a2 1 a2 2ai1 a2 3545i， 1 a21 a235， 2a1 a245， a 2，故选 B 二、填空题 7 (2017 浙江卷 )已知 a， b R， (a bi)2 3 4i(i 是虚数单位 )，则 a2 b2 _5_，ab _2_. 解析 (a bi)2 a2 b2 2abi 3 4i， ? a2 b2 3，2ab 4
12、， ? a 2，b 1 或 ? a 2，b 1， a2 b2 5， ab 2. 8在复平面上，复数 3?2 i?2对应的点到原点的距离为 _35_. 解析 由题意可知 ? ?3?2 i?2 3|2 i|2 35. 9若复数 z 满足 (1 2i)z |3 4i|(i 为虚数单位 )，则复数 z _1 2i_. 解析 (1 2i)z |3 4i| 5， z 51 2i 5?1 2i?1 2i?1 2i? 1 2i. 三、解答题 10计算： (1)? 1 i?2 i?i3 ； (2)?1 2i?2 3?1 i?2 i ； (3) 1 i?1 i?2 1 i?1 i?2； (4)1 3i? 3 i?
13、2. 解析 (1)? 1 i?2 i?i3 3 i i ? 3 i?i ii 1 3i. (2)?1 2i?2 3?1 i?2 i 3 4i 3 3i2 i i2 ii?2 i?5 1525i. (3) 1 i?1 i?2 1 i?1 i?2 1 i2i 1 i 2i 1 i 2 1 i2 1. (4)1 3i? 3 i?2 ? 3 i? i? 3 i?2 i3 i i? 3 i? 3 i? 3 i? 1 3i4 14 34 i. 11已知 z 是复数， z 2i， z2 i均为实数 (i 为虚数单位 )，且复数 (z ai)2在复平面=【 ;精品教育资源文库 】 = 上对应的点在第一象限，求
14、实数 a 的取值范围 解析 设 z x yi(x， y R)，则 z 2i x (y 2)i，由题意得 y 2. z2 i x 2i2 i 15(x 2i)(2 i) 15(2x 2) 15(x 4)i. 由题意得 x 4， z 4 2i. (z ai)2 (12 4a a2) 8(a 2)i. 由于 (z ai)2在复平面上对应的点在第一象限， ? 12 4a a20，8?a 2?0， 解得 2a6. 实数 a 的取值范围是 (2,6) 12复数 z1 3a 5 (10 a2)i， z2 21 a (2a 5)i，若 z 1 z2是实数，求实数 a 的值 解析 z 1 z2 3a 5 (a2 10)i 21 a (2a 5)i ? ?3a 5 21 a (a2 10) (2a 5)i a 13?a 5?a 1? (a2 2a 15)i. z 1 z2是实数， a2 2a 15 0，解得 a 5 或 a 3. a 50 ， a 5，故 a 3.
