1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 2 讲 命题及其关系、充分条件与必要条件 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.理解命题的概念 2了解 “ 若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系 3理解必要条件、充分条件与充要条件的意义 2017 全国卷 ， 3 2017 天津卷， 4 2017 北京卷， 6 2016 四川卷， 7 2016 浙江卷， 4 1.判断命题的真假 2写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题等 3常以函数、不等式等其他知识为载体，考查一个命题是另一个命题的什么条件 4考题多以选择 题、填空题形式出现 分值： 5 分 1命题的概念 在数学中用
2、语言、符号或式子表达的，可以 _判断真假 _的陈述句叫做命题，其中 _判断为真 _的语句叫做真命题， _判断为假 _的语句叫做假命题 2四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系 若原命题为：若 p 则 q，则逆命题为 _若 q，则 p_，否命题为 _若綈 p，则綈 q_，逆否命题为 _若綈 q，则綈 p_. (2)四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题，它们有 _相同 _的真假性； 两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性 _无关 _. 3充分条件与必要条件 (1)若 p?q，则 p 是 q 的 _充分 _条件， q 是 p 的 _必要 _条件 (2)若 p?q，且 q?/ p，
3、则 p 是 q 的 _充分不必要 _条件 (3)若 p?/ q，且 q?p，则 p 是 q 的 _必要不充分 _条件 (4)若 p?q，则 p 是 q 的 _充要 _条件 (5)若 p?/ q，且 q?/ p，则 p 是 q 的 _既不充分也不必要 _条件 (6)若 p 是 q 的充分不必要条件，则綈 q 是綈 p 的 _充分不必要 _条件 =【 ;精品教育资源文库 】 = 4用集合关系判断充分条件、必要条件 以 p： x A， q： x B 的形式出现 (1)若 p 是 q 的充分条件，则 A_?_B. (2)若 p 是 q 的必要条件，则 B_?_A. (3)若 p 是 q 的充分不必要条
4、件，则 A_ _B. (4)若 p 是 q 的必要不充分条件，则 B_ _A. (5)若 p 是 q 的充要条件，则 A_ _B. 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “ ”) (1)语句 x2 3x 2 0 是命题 ( ) (2)一个命题的逆命题与否命题，它们的真假没有关系 ( ) (3)命题 “ 若 p 不成立 ，则 q 不成立 ” 等价于 “ 若 q 成立，则 p 成立 ” ( ) (4)“ p 是 q 的充分不必要条件 ” 与 “ p 的充分不必要条件是 q” 表达的意义相同 ( ) 解析 (1)错误无法判断真假，故不是命题 (2)错误一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题 ，它们的真假
5、性相同 (3)正确一个命题与其逆否命题等价 (4)错误 “ p 是 q 的充分不必要条件 ” 即为 “ p?q 且 q?/ p” ， “ p 的充分不必要条件是 q” 即为 “ q?p 且 p?/ q ”. 2下列命题为真命题的是 ( A ) A若 1x 1y，则 x y B若 x2 1，则 x 1 C若 x y，则 x y D若 xb，则 a 1b 1” 的否命题是 ( C ) A若 ab，则 a 1 b 1 B若 ab，则 a 11，则 x21” 的否命题 B命题 “ 若 xy，则 x|y|” 的逆命题 C命题 “ 若 x 1，则 x2 x 2 0” 的否命题 D命题 “ 若 x21，则
6、x1” 的逆否命题 (4)已知命题 “ 若函数 f(x) ex mx 在 (0， ) 上是增函数，则 m1” ，则下 列结论正确的是 ( D ) A否命题是 “ 若函数 f(x) ex mx 在 (0， ) 上是减函数，则 m1” ，是真命题 B逆命题是 “ 若 m1 ，则函数 f(x) ex mx 在 (0， ) 上是增函数 ” ，是假命题 C逆否命题是 “ 若 m1，则函数 f(x) ex mx 在 (0， ) 上是减函数 ” ，是真命题 D逆否命题是 “ 若 m1，则函数 f(x) ex mx 在 (0， ) 上不是增函数 ” ，是真命题 解析 (1)根据否命题的定义可知，命题 “ 若
7、ab，则 a 1b 1” 的否命题应为 “ 若a b，则 a 1 b 1” (2)将原命题 的条件和结论否定，并互换位置即可由 x y 0 知 x 0 且 y 0，其否定是 x0 或 y0. (3)对于 A 项，否命题为 “ 若 x1 ，则 x21” ，易知当 x 2 时， x2 41，故 A 项为假命题；对于 B 项，逆命题为 “ 若 x|y|，则 xy” ，分析可知 B 项为真命题；对于选项 C，否命题为 “ 若 x1 ，则 x2 x 20” ，易知当 x 2 时， x2 x 2 0，故 C 项为假命题；对于 D 项，逆否命题为 “ 若 x1 ，则 x21” ，易知当 x 2 时， x2
8、41，故 D 项为假命题 (4)由 f(x) ex mx 在 (0， ) 上是增函数， 则 f( x) ex m0 恒成立， m1 ， 命题 “ 若函数 f(x) ex mx 在 (0， ) 上是增函数，则 m1” 是真命题， 其逆否命题是真命题 二 充分、必要条件的判断 =【 ;精品教育资源文库 】 = 充要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据 p?q， q?p 进行判断 (2)集合法：根据 p， q 成立的对应的集合之间的包含关系进行判断 (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断这个方法特别适合以否定形式给出的问题，常用的是逆否等价法 綈
9、q 是綈 p 的充分不必要条件 ?p 是 q 的充 分不必要条件； 綈 q 是綈 p 的必要不充分条件 ?p 是 q 的必要不充分条件； 綈 q 是綈 p 的充要条件 ?p 是 q 的充要条件 【例 2】 (1)“ a 2” 是 “ 函数 f(x) x2 2ax 3 在区间 2， ) 上为增函数 ” 的( A ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 (2)设 R，则 “| 120)，若 p 是 q 的充分不必要条件，则 m 的取值范围是 ( B ) A 21， ) B 9， ) C 19， ) D (0， ) (2)已知 P x|x2 8x 200 ，非空集
10、合 S x|1 m x1 m若 x P 是 x S 的必要条件，则 m 的取值范围为 _0,3_. 解析 (1)条件 p： 2 x10 ，条件 q： 1 m x m 1，又 p 是 q 的充分不必要条件，故有? 1 m 2，1 m10 ， 解得 m9. (2)由 x2 8x 200 得 2 x10 ， P x| 2 x10 ， 由 x P 是 x S 的必要条件，知 S?P，又集合 S 非空 则? 1 m1 m，1 m 2，1 m10 ， 0 m3. 当 0 m3 时， x P 是 x S 的必要条件，即所求m 的取值范围是 0,3 1 “ 直线 y x b 与圆 x2 y2 1 相交 ” 是
11、 “00)； q： x 12x 10.若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 m 的取值范围为 _(0,2_. 解析 由 |2x 1|0)，得 m0，得 x1. p 是 q 的充分不必要条件，又 m0， m 12 12， 03， 解得 23，即 m2. 易错点 2 不会 “ 正难则反 ” 错因分析：以否定形式给出的命题不易直接解决时，不要忘记了判断与之等价的逆否命题 【例 2】 已知条件甲： “ a b4” ，条件乙： “ a1 且 b3” ，则甲是乙的 _条件 解析 直接看甲、乙之间的推出关系易产生错误由逆 否命题与原命题的等价性可转化为判断 “ a 1 或 b 3” 是 “ a b 4”
12、 的什么条件易知应为既不充分也不必要条件 答案 既不充分也不必要 【跟踪训练 2】 (2018 福建南平一模 )“tan 3” 是 “ 3 ” 的 ( D ) A充要条件 B既不充分也不必要条件 C必要不充分条件 D充分不必要条件 解析 tan 3? 3 k( k Z)，故 “tan 3” 是 “ 3 ” 的充分不必要 条件，故选 D 课时达标 第 2 讲 解密考纲 考查命题及其相互关系、充分条件及必要条件的定义，与高中所学知识交汇考查，常以选择题、填空题的形式呈现，考卷中常排在靠前的位置 一、选择题 1 (2018 湖南衡阳五校联考 )命题 “ 若 x a2 b2，则 x2 ab” 的逆命题
13、是 ( D ) A若 x0，则方程 x2 x m 0 有实根 ” 的逆命题为真命题 C “ x 4” 是 “ x2 3x 4 0” 的充分条件 D命题 “ 若 m2 n2 0，则 m 0 且 n 0” 的否命题是 “ 若 m2 n20 ，则 m0 或 n0” 解析 命题 “ 若 x2 3x 4 0，则 x 4” 的逆否命题为 “ 若 x4 ，则 x2 3x 40” ，故 A 项正确；命题 “ 若 m0，则方程 x2 x m 0 有实根 ” 的逆命题为 “ 若方程 x2 x m 0=【 ;精品教育资源文库 】 = 有实根，则 m0” ，由 1 4m 0， 解得 m 14，是假命题，故 B 项错误
14、； x 4时， x2 3x 4 0，是充分条件，故 C 项正确；命题 “ 若 m2 n2 0，则 m 0 且 n 0” 的否命题是 “ 若 m2 n20 ，则 m0 或 n0” ，故 D 项正确，故选 B 3 (2018 山东淄博期中 )“ x(x 5)2 018 且 a b” 的逆否命题是 _若 a b2018 或 a b，则 a b_. 解析 若 a b2 018 或 a b，则 a9_. 解析 设 f(x) x2 mx 2m， 由 f(x) 0 有一根大于 3 一根小于 3，及 f(x)的图象得 f(3)9，即方程 x2 mx 2m 0 有两根，其中一根大于 3 一根小于 3 的充要条件是 m9. 9已知 “ 命题 p： (x m)23(x m)” 是 “ 命题 q： x2 3x 43(x m)，得 (x m)(x m 3)0，解得 xm 3.由 x2 3x 4m 3，所以 m 3 4 或 m1 ，解得 m 7 或 m1. 所以 m 的取值范围为 ( ， 7 1， ) 三、解答题 10写出命题 “ 已知 a， b R，若关于 x 的不等式 x2 ax b0 有实数解，则 a24 b”
