1、第3讲 导数的应用(二)一、选择题1若函数yf(x)可导，则“f(x)0有实根”是“f(x)有极值”的 ()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A2已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是 ()A(1,2) B(，3)(6，)C(3,6) D(，1)(2，)解析f(x)3x22ax(a6)，因为函数有极大值和极小值，所以f(x)0有两个不相等的实数根，所以4a243(a6)0，解得a3或a6.答案B3设f(x)是一个三次函数，f(x)为其导函数，如图所示的是yxf(x)的图象的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是 ()
2、Af(1)与f(1) Bf(1)与f(1)Cf(2)与f(2) Df(2)与f(2)解析由图象知f(2)f(2)0.x2时，yxf(x)0，f(x)0，yf(x)在(2，)上单调递增；同理f(x)在(，2)上单调递增，在(2,2)上单调递减，yf(x)的极大值为f(2)，极小值为f(2)，故选C.答案C4设aR，函数f(x)exaex的导函数是f(x)，且f(x)是奇函数若曲线yf(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为()Aln2 Bln2C. D.解析 f(x)exaex，这个函数是奇函数，因为函数f(x)在0处有定义，所以f(0)0，故只能是a1.此时f(x)exex，设切点的横坐标是
3、x0，则ex0ex0，即2(ex0)23ex020，即(ex02)(2ex01)0，只能是ex02，解得x0ln2.正确选项为A.答案 A 5设函数f(x)ax2bxc(a，b，cR)若x1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为yf(x)的图象是()解析若x1为函数f(x)ex的一个极值点，则易得ac.因选项A、B的函数为f(x)a(x1)2，则f(x)exf(x)exf(x)(ex)a(x1)(x3)ex，x1为函数f(x)ex的一个极值点，满足条件；选项C中，对称轴x0，且开口向下，a0，b0，f(1)2ab0，也满足条件；选项D中， 对称轴x1，且开口向上，a0，b2a，f(
4、1)2ab0，与 图矛盾，故答案选D.答案D6已知函数f(x)x32bx2cx1有两个极值点x1，x2，且x12，1，x21,2，则f(1)的取值范围是 ()A. B.C3,12 D.解析因为f(x)有两个极值点x1，x2，所以f(x)3x24bxc0有两个根x1，x2，且x12，1，x21,2，所以即画出可行域如图所示因为f(1)2bc，由图知经过点A(0，3)时，f(1)取得最小值3，经过点C(0，12)时，f(1)取得最大值12，所以f(1)的取值范围为3,12答案C二、填空题7函数f(x)x22ln x的最小值为_解析由f(x)2x0，得x21.又x0，所以x1.因为0x1时，f(x)
5、0，x1时f(x)0，所以当x1时，f(x)取极小值(极小值唯一)也即最小值f(1)1.答案18若f(x)x33ax23(a2)x1有极大值和极小值，则a的取值范围_解析f(x)3x26ax3(a2)，由已知条件0，即36a236(a2)0，解得a2.答案(，1)(2，)9已知函数f(x)mx3nx2的图象在点(1,2)处的切线恰好与直线3xy0平行，若f(x)在区间t，t1上单调递减，则实数t的取值范围是_解析由题意知，点(1,2)在函数f(x)的图象上，故mn2.又f(x)3mx22nx，则f(1)3，故3m2n3.联立解得：m1，n3，即f(x)x33x2，令f(x)3x26x0，解得2
6、x0，则t，t12,0，故t2且t10，所以t2，1答案2，110已知函数f(x)ln x，若函数f(x)在1，)上为增函数，则正实数a的取值范围为_解析f(x)ln x，f(x)(a0)，函数f(x)在1，)上为增函数，f(x)0对x1，)恒成立，ax10对x1，)恒成立，即a对x1，)恒成立，a1.答案1，)三、解答题11已知函数f(x)ax3bx2cx在点x0处取得极大值5，其导函数yf(x)的图象经过(1,0)，(2,0)点，如图所示(1)求x0的值；(2)求a，b，c的值解析(1)由f(x)随x变化的情况x(，1)1(1,2)2(2，)f(x)00可知当x1时f(x)取到极大值5，则
7、x01(2)f(x)3ax22bxc，a0由已知条件x1，x2为方程3ax22bxc0，的两根，因此解得a2，b9，c12.12某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解(1)因为x5时，y11，所以1011，a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y10(x6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)210(x3)(
8、x6)2,3x0)，且方程f(x)9x0的两根分别为1,4.(1)当a3且曲线yf(x)过原点时，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(，)内无极值点，求a的取值范围解由f(x)x3bx2cxd得f(x)ax22bxc.因为f(x)9xax22bxc9x0的两个根分别为1,4，所以(*)(1)当a3时，由(*)式得解得b3，c12.又因为曲线yf(x)过原点，所以d0.故f(x)x33x212x.(2)由于a0，所以f(x)x3bx2cxd在(，)内无极值点等价于f(x)ax22bxc0在(，)内恒成立由(*)式得2b95a，c4a.又(2b)24ac9(a1)(a9)，由得a1,9即a的取
9、值范围是1,914已知函数f(x)满足f(x)f(1)ex1f(0)xx2.(1)求f(x)的解析式及单调区间；(2)若f(x)x2axb，求(a1)b的最大值解(1)由已知得f(x)f(1)ex1f(0)x.所以f(1)f(1)f(0)1，即f(0)1.又f(0)f(1)e1，所以f(1)e.从而f(x)exxx2.由于f(x)ex1x，故当x(，0)时，f(x)0.从而，f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增(2)由已知条件得ex(a1)xb.(i)若a10，则对任意常数b，当x0，且x时，可得ex(a1)x0，设g(x)ex(a1)x，则g(x)ex(a1)当x(，ln(a1)时，g(x)0.从而g(x)在(，ln(a1)上单调递减，在(ln(a1)，)上单调递增故g(x)有最小值g(ln(a1)a1(a1)ln(a1)所以f(x)x2axb等价于ba1(a1)ln(a1)因此(a1)b(a1)2(a1)2ln(a1)设h(a)(a1)2(a1)2ln(a1)，则h(a)(a1)12ln(a1)所以h(a)在(1，e1)上单调递增，在(e1，)上单调递减，故h(a)在ae1处取得最大值从而h(a)，即(a1)b.当ae1，b时，式成立故f(x)x2axb.综上得，(a1)b的最大值为.
