1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第十节 导数的概念及运算 考纲传真 1.了解导数概念的实际背景 .2.通过函数图像直观理解导数的几何意义 .3.能根据导数的定义求函数 y C(C 为常数 )， y x， y 1x， y x2， y x3， y x的导数 .4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数 (对应学生用书第 30 页 ) 基础知识填充 1导数与导函数的概念 (1)当 x1趋于 x0，即 x 趋于 0 时，如果 平均变化率趋于一个固定的值 ，那么这个值就是函数 y f(x)在 x0点的瞬时变化率 在数学中，称瞬时变化率为函数 y f(x)在 x0点的导数，通常
2、用符号 f( x0)表示，记作 f( x0) limx1 x0f x1 f x0x1 x0 lim x0f x0 x f x0 x . (2)如果一个函数 f(x)在区间 (a， b)上的每一点 x处都有导数，导数值记为 f( x)： f( x) lim x0f x x f x x ，则 f( x)是关于 x 的函数，称 f( x)为 f(x)的导函数，通常也简称为导数 2导数的几何意义 函数 f(x)在点 x0处的导数 f( x0)的几何意义是曲线 y f(x)在点 (x0， f(x0)处的 切线的斜率 相应地，切线方程为 y f(x0) f( x0)(x x0) 3基本初等函数的导数公式
3、基本初等函数 导函数 y c(c 为常数 ) y 0 y x ( 常数 ) y x 1 y sin x y cos_x y cos x y sin_x y ex y ex y ax(a 0， a1) y axln_a y ln x y 1x y logax(a 0， a1) y 1xln a =【 ;精品教育资源文库 】 = y tan x y 1cos2x y cot x y 1sin2x 4导数的运算法则 若 f( x)， g( x)存在，则有 (1)f(x) g(x) f( x) g( x)； (2)f(x) g(x) f( x) g(x) f(x) g( x)； (3)? ?f xg
4、x f x g x f x g xg x 2 (g(x)0) 知识拓展 1曲线 y f(x)“ 在点 P(x0， y0)处的切线 ” 与 “ 过点 P(x0， y0)的切线 ” 的区别：前者 P(x0，y0)为切点，而后者 P(x0， y0)不一定为切点 2直线与二次曲线 (圆、椭圆、双曲线、抛物线 )相切只有一个公共点；直线与非二次曲线相切，公共点不一定只有一个 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正 误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)f( x0)与 (f(x0) 表示的意义相同 ( ) (2)求 f( x0)时，可先求 f(x0)再求 f( x0) ( ) (3)曲
5、线的切线与曲线不一定只有一个公共点 ( ) (4)若 f(a) a3 2ax x2，则 f( a) 3a2 2x.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (教材改编 )有一机器人的运动方程为 s(t) t2 3t(t 是时间， s 是位移 )，则该机器人在时刻 t 2 时的瞬时速度为 ( ) A 194 B 174 C 154 D 134 D 由题意知，机器人的速度方程为 v(t) s( t) 2t 3t2，故当 t 2 时，机器人的瞬时速度为 v(2) 22 322 134 . 3 (2016 天津高考 )已知函数 f(x) (2x 1)ex， f( x)为 f(x)的导函数，则
6、f(0) 的值为 _ 3 因为 f(x) (2x 1)ex， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 f( x) 2ex (2x 1)ex (2x 3)ex， 所以 f(0) 3e0 3. 4 (2017 全国卷 )曲线 y x2 1x在点 (1,2)处的切线方程为 _ x y 1 0 y 2x 1x2， y| x 1 1， 即曲线在点 (1,2)处的切线的斜率 k 1， 切线方程为 y 2 x 1， 即 x y 1 0. 5 (2015 全国卷 )已知函数 f(x) ax3 x 1 的图像在点 (1， f(1)处的切线过点 (2,7)，则 a _. 1 f( x) 3ax2 1， f(1)
7、3a 1. 又 f(1) a 2， 切线方程为 y (a 2) (3a 1)(x 1) 切线过点 (2,7)， 7 (a 2) 3a 1， 解得 a 1. (对应学生用书第 31 页 ) 导数的计算 求下列函数的导数： (1)y exln x； (2)y x? ?x2 1x 1x3 ； (3)y x sinx2cosx2； (4)y cos xex . 【导学号 ： 00090059】 解 (1)y (ex)ln x ex(ln x) exln x ex 1x ex? ?ln x 1x . (2) y x3 1 1x2， y 3x2 2x3. (3) y x 12sin x， y 1 12co
8、s x. (4)y ? ?cos xex xx cos x xx 2 sin x cos xex . =【 ;精品教育资源文库 】 = 规律方法 1.熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错 2如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导 变式训练 1 (1)已知函数 f(x)的导函数为 f( x)，且满足 f(x) 3x2 2x f(2) ，则f(5) ( ) A 2 B 4 C 6 D 8 (2)(2015 天津高考 )已知函数 f(x) axln x， x (0， ) ，
9、其中 a 为实数， f( x)为f(x)的导函数若 f(1) 3，则 a 的值为 _ (1)C (2)3 (1)f( x) 6x 2f(2) ， 令 x 2，得 f(2) 12. 再令 x 5，得 f(5) 65 2f(2) 30 24 6. (2)f( x) a? ?ln x x 1x a(1 ln x) 由于 f(1) a(1 ln 1) a，又 f(1) 3，所以 a 3. 导数的几何意义 角度 1 求切线方程 已知曲线 y 13x3 43. (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程 思路点拨 (1)点 P(2,4)是切点，先利用导数求切线斜
10、率，再利用点斜式写出 切线方程； (2)点 P(2,4)不一定是切点，先设切点坐标为 ? ?x0，13x3043 ，由此求出切线方程，再把点P(2,4)代入切线方程求 x0. 解 (1)根据已知得点 P(2,4)是切点且 y x2， 在点 P(2,4)处的切线的斜率为 y 4， 曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y 4 4(x 2)， 即 4x y 4 0. (2)设曲线 y 13x3 43与过点 P(2,4)的切线相切于点 A? ?x0，13x3043 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则切线的斜率为 y x20， 切线方程为 y ? ?13x3043 x20(x x0)， 即 y
11、x20 x 23x30 43. 点 P(2,4)在切线上， 4 2x20 23x30 43， 即 x30 3x20 4 0， x30 x20 4x20 4 0， x20(x0 1) 4(x0 1)(x0 1) 0， (x0 1)(x0 2)2 0，解得 x0 1 或 x0 2， 故所求的切线方程为 x y 2 0 或 4x y 4 0. 角度 2 求切点坐标 若曲线 y xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x y 1 0，则点 P 的坐标是_ (e， e) 由题意得 y ln x x 1x 1 ln x，直线 2x y 1 0 的斜率为 2.设 P(m，n)，则 1 ln m 2，解得
12、 m e，所以 n eln e e，即点 P 的坐标为 (e， e) 角度 3 求参数的值 (1)已知直线 y 12x b 与曲线 y 12x ln x 相切，则 b 的值为 ( ) A 2 B 1 C 12 D 1 (2)(2017 西宁复习检测 (一 )已知曲线 y x 1x 1在点 (3,2)处的切线与直线 ax y 1 0垂直，则 a ( ) A 2 B 2 C 12 D 12 (1)B (2)A (1)设切点坐标为 (x0， y0)， y 12 1x， 则 y| x x0 12 1x0，由 12 1x0 12得 x0 1，切点坐标为 ? ?1， 12 ，又切点 ? ?1， 12 在=
13、【 ;精品教育资源文库 】 = 直线 y 12x b 上，故 12 12 b，得 b 1. (2)由 y 2x 2得曲线在点 (3,2)处的切线斜率为 12，又切线与直线 ax y 1 0垂直，则 a 2，故选 A 规律方法 1.导数 f( x0)的几何意义就是函数 y f(x)在点 P(x0， y0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上，切线有可能和曲线还有其他的公共点 2曲线在点 P 处的切线是以点 P 为切点，曲线过点 P 的切线则点 P 不一定是切点，此时应先设出切点坐标 易错警示： 当曲线 y f(x)在点 (x0， f(x0)处的切线垂直于 x 轴时，函数在该点处的导数不存在， 切线方程是 x x0.
