1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第十一节 导数与函数的单调性 考纲传真 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间 (其中多项式函数不超过三次 ) (对应学生用书第 32 页 ) 基础知识填充 函数的导数与单调性的关系 函数 y f(x)在某个区间内可导，则 (1)若 f( x) 0，则 f(x)在这个区间内 是增加的 ； (2)若 f( x) 0，则 f(x)在这个区间内 是减少的 ； (3)若 f( x) 0，则 f(x)在这个区间内是 常数函数 知识拓展 1在某区间内 f( x)0(f( x)0.( ) (2)如果函数在某个区间内恒有 f( x) 0，
2、则函数 f(x)在此区间上没有单调性 ( ) (3)f( x) 0 是 f(x)为增函数的充要条件 ( ) 答案 (1) (2) (3) 2 f(x) x3 6x2的单调递减区间为 ( ) A (0,4) B (0,2) C (4， ) D ( ， 0) A f( x) 3x2 12x 3x(x 4)，由 f( x)0，故选项 D 正确 故选 D (对应学生用书第 32 页 ) 判断或证明函数的单调性 已知函数 f(x) ln x ax2 (2 a)x.讨论 f(x)的单调性 解 f(x)的定义域为 (0， ) f( x) 1x 2ax 2 a x axx . 若 a0 ，则 f( x) 0.
3、 所以 f(x)在 (0， ) 上单调递增 若 a 0，则由 f( x) 0，得 x 1a， 且当 x ? ?0， 1a 时， f( x) 0， 当 x ? ?1a， 时， f( x) 0. 所以 f(x)在 ? ?0， 1a 上单调递增， 在 ? ?1a， 上单调递减 综上所述，当 a 0 时， 函数 f(x)在 (0， ) 上单调递增； 当 a 0 时，函数 f(x)在 ? ?0， 1a 上单调递增， 在 ? ?1a， 上单调递减 规律方法 用导数证明函数 f(x)在 (a， b)内的单调性的步骤 一求：求 f( x)； 二定：确认 f( x)在 (a， b)内的符号； =【 ;精品教育资
4、源文库 】 = 三结论：作出结论： f( x) 0 时为增函数； f( x) 0 时为减函数 易错警示： 研究 含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论 变式训练 1 (2016 四川高考节选 )设函数 f(x) ax2 a ln x， g(x) 1x eex，其中 aR， e 2.718? 为自然对数的底数 (1)讨论 f(x)的单调性； (2)证明：当 x1 时， g(x)0. 【导学号： 00090064】 解 (1)由题意得 f( x) 2ax 1x 2ax2 1x (x0). 2 分 当 a0 时， f( x)0 时，由 f( x) 0 有 x 12a，
5、 当 x ? ?0， 12a 时， f( x)0， f(x)单调递增 . 7 分 (2)证明：令 s(x) ex 1 x，则 s( x) ex 1 1. 9 分 当 x1 时， s( x)0，所以 ex 1x， 从而 g(x) 1x 1ex 10. 12 分 求函数的单调区间 (2016 天津高考节选 )设函数 f(x) x3 ax b， x R，其中 a， b R.求 f(x)的单调区间 解 由 f(x) x3 ax b，可得 f( x) 3x2 A 下面分两种情况讨论： 当 a0 时，有 f( x) 3x2 a0 恒成立， 所以 f(x)的单调递增区间为 ( ， ). 5 分 当 a 0
6、时，令 f( x) 0，解得 x 3a3 或 x 3a3 . 当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表： x ? ? ， 3a3 3a3 ? ? 3a3 ， 3a3 3a3 ? ?3a3 ， f( x) 0 0 =【 ;精品教育资源文库 】 = f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以 f(x)的单调递减区间为 ? ? 3a3 ， 3a3 ，单调递增区间为 ? ? ， 3a3 ，?3a3 ， . 12 分 规律方法 求函数单调区间的步骤： (1)确定函数 f(x)的定义域； (2)求 f( x)； (3)在定义域内解不等式 f( x) 0，得单调递增区间；
7、(4)在定义域内解不等式 f( x) 0，得单调递减区间 变式训练 2 已知函数 f(x) ( x2 2x)ex， x R， e 为自然对数的底数，则函数 f(x)的单调递增区间为 _ ( 2， 2) 因为 f(x) ( x2 2x)ex， 所以 f( x) ( 2x 2)ex ( x2 2x)ex ( x2 2)ex. 令 f( x) 0，即 ( x2 2)ex 0， 因为 ex 0，所以 x2 2 0，解得 2 x 2， 所以函数 f(x)的单调递增区间为 ( 2， 2) 已知函数的单调性求参数 已知函数 f(x) x3 ax 1.若 f(x)在 R 上为增函数，求实数 a 的取值范围 解
8、 因为 f(x)在 ( ， ) 上是增函数， 所以 f( x) 3x2 a0 在 ( ， ) 上恒成立， 即 a3 x2对 x R 恒成立 因为 3x20 ，所以只需 a0. 又因为 a 0 时， f( x) 3x20 ， f(x) x3 1 在 R 上是增函数，所以 a0 ，即实数 a的取值范围为 ( ， 0 母题探究 1 (变换条件 )函数 f(x)不变，若 f(x)在区间 (1， ) 上为增函数，求 a 的取值范围 解 因为 f( x) 3x2 a，且 f(x)在区间 (1， ) 上为增函数，所以 f( x)0 在(1， ) 上恒成立，即 3x2 a0 在 (1， ) 上恒成立， 所以
9、a3 x2在 (1， ) 上恒成立，所以 a3 ，即 a 的取值范围为 ( ， 3 母 题探究 2 (变换条件 )函数 f(x)不变，若 f(x)在区间 ( 1,1)上为减函数，试求 a 的取值范围 解 由 f( x) 3x2 a0 在 ( 1,1)上恒成立，得 a3 x2在 ( 1,1)上恒成立 =【 ;精品教育资源文库 】 = 因为 1 x 1，所以 3x2 3，所以 a3. 即当 a 的取值范围为 3， ) 时， f(x)在 (1,1)上为减函数 母题探究 3 (变换条件 )函数 f(x)不变，若 f(x)在区间 ( 1,1)上不单调，求 a 的取值范围 解 f(x) x3 ax 1，
10、f( x) 3x2 A 由 f( x) 0，得 x 3a3 (a0) f(x)在区间 ( 1,1)上不单调， 0 3a3 1，得 0 a 3，即 a 的取值范围为 (0,3) 规律方法 根据函数单调性求参数的一般方法 (1)利用集合间的包含关系处理： y f(x)在 (a， b)上单调，则区间 (a， b)是相应单调区间的子集 (2)转化为不等式的恒成立问题，即 “ 若函数单调递增，则 f( x)0 ；若函数单调递减，则 f( x)0” 来求解 易错警示： (1)f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x (a， b)都有 f ( x)0 ，且在 (a，b)内的任一非空子区间上 f( x)不恒为
11、 0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解 (2)函数在其区间上不具有单调性，但可在子区间上具有单调性，如迁移 3 中利用了 3a3 (0,1)来求解 变式训练 3 已知函数 f(x) ln x， g(x) 12ax2 2x(a0) (1)若函数 h(x) f(x) g(x)在 1,4上是减少的，求 a 的取值范围； (2)若函数 h(x) f(x) g(x)存在单调递减区间，求 a 的取 值范围 . 【导学号： 00090065】 解 (1)h(x) ln x 12ax2 2x， x (0， ) ， 所以 h( x) 1x ax 2， 由 h(x)在 1,4上是减少的得， 当 x 1,4
12、时， h( x) 1x ax 20 恒成立， 即 a 1x2 2x恒成立令 G(x) 1x2 2x， 所以 a G(x)max，而 G(x) ? ?1x 1 2 1， =【 ;精品教育资源文库 】 = 因为 x 1,4，所以 1x ? ?14， 1 ， 所以 G(x)max 716(此时 x 4)， 所以 a 716，即 a 的取值范围是 ? ? 716， . (2)h( x) 1x ax 2，由于 h(x)在 (0， ) 上存在单调递减区间， 所以当 x (0， ) 时， 1x ax 2 0 有解， 即 a 1x2 2x有解 设 G(x) 1x2 2x，所以只要 a G(x)min即可 而 G(x) ? ?1x 1 2 1，所以 G(x)min 1. 所以 a 1.
