1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 2.3 函数的奇偶性与周期性 最新考纲 考情考向分析 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义 . 2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性 3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性 . 以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度 . 1奇函数、偶函数的概念 图像关于 原点 对称的函数叫作奇函数 图像关于 y 轴 对称的函数叫作偶函数 2判断函数的奇偶性 判 断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是 (1)考察定
2、义域是否关于原点对称 (2)考察表达式 f( x)是否等于 f(x)或 f(x)： 若 f( x) f(x)，则 f(x)为奇函数； 若 f( x) f(x)，则 f(x)为偶函数； 若 f( x) f(x)且 f( x) f(x)，则 f(x)既是奇函数又是偶函数； 若 f( x) f(x)且 f( x) f(x)，则 f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既非奇非偶函数 3周期性 (1)周期函数：对于函数 y f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义 域内的任何值时，都有 f(x T) f(x)，那么就称函数 y f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期 (2)最小正周期：如
3、果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 最小 的正数，那么这个 最小正数 就叫作 f(x)的最小正周期 知识拓展 1函数奇偶性常用结论 (1)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x) f(|x|) =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性 (3)在公共定义域内有：奇 奇奇，偶 偶偶，奇 奇偶，偶 偶偶，奇 偶奇 2函数周期 性常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x： (1)若 f(x a) f(x)，则 T 2a(a0) (2)若 f(x a) 1f?x?，则 T 2a(a0) (3)若 f(x
4、a) 1f?x?，则 T 2a(a0) 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点 ( ) (2)若函数 y f(x a)是偶函数，则函数 y f(x)关于直线 x a 对称 ( ) (3)函数 f(x)在定义域上满足 f(x a) f(x)，则 f(x)是周期为 2a(a0)的周期函数 ( ) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件 ( ) (5)若 T 是函数的一个周期，则 nT(n Z， n0) 也是函数的周期 ( ) 题组二 教材改编 2已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当
5、 x 0 时， f(x) x(1 x)，则 f( 1)_. 答案 2 解析 f(1) 12 2，又 f(x)为奇函数， f( 1) f(1) 2. 3 设 f(x) 是 定 义 在 R 上 的 周 期 为 2 的 函 数 ， 当 x 1,1) 时， f(x) ? 4x2 2， 1 x 0，x， 0 x 1， 则 f ?32 _. 答案 1 解析 f ? ?32 f ? ? 12 4 ? ? 12 2 2 1. 4设奇函数 f(x)的定义域为 5,5，若当 x0,5 时， f(x)的图像如图所示，则不等式f(x) 0 的解集为 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 ( 2,0)(2,5 解
6、析 由图像可知，当 0 x 2 时， f(x) 0；当 2 x5 时， f(x) 0，又 f(x)是奇函数， 当 2 x 0 时， f(x) 0，当 5 x0. 综上， f(x) 0 的解集为 ( 2,0)(2,5 题组三 易错自纠 5已知 f(x) ax2 bx 是定义在 a 1,2a上的偶函数，那么 a b 的值是 ( ) A 13 B.13 C 12 D.12 答案 B 解析 依题意得 f( x) f(x)， b 0，又 a 1 2a， a 13， a b 13，故选 B. 6偶函数 y f(x)的图像关于直线 x 2 对称， f(3) 3，则 f( 1) _. 答案 3 解析 f(x)
7、为偶函数， f( 1) f(1) 又 f(x)的图像关于直线 x 2 对称， f(1) f(3) f( 1) 3. 题型一 判断函数的奇偶性 典例 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x) 3 x2 x2 3； (2)f(x) lg?1 x2?|x 2| 2； (3)f(x)? x2 x， x 0， x2 x， x 0. 解 (1)由? 3 x20 ，x2 30 ， 得 x2 3，解得 x 3， 即函数 f(x)的定义域为 3， 3， f(x) 3 x2 x2 3 0. =【 ;精品教育资源文库 】 = f( x) f(x)且 f( x) f(x)， 函数 f(x)既是奇函数又是偶函数 (2)由
8、? 1 x2 0，|x 2|2 ， 得定义域为 ( 1,0)(0,1) ，关于原点 对称 x 2 0， | x 2| 2 x， f(x) lg?1 x2? x . 又 f( x) lg1 ? x?2x lg?1 x2?x f(x)， 函数 f(x)为奇函数 (3)显然函数 f(x)的定义域为 ( ， 0)(0 ， ) ，关于原点对称 当 x 0 时， x 0， 则 f( x) ( x)2 x x2 x f(x)； 当 x 0 时， x 0， 则 f( x) ( x)2 x x2 x f(x)； 综上可知：对于定义域内的任意 x，总有 f( x) f(x)， 函数 f(x)为奇函数 思维升华 判
9、断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断 f(x)与 f( x)是否具有等量关系 在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式 f(x) f( x) 0(奇函数 )或f(x) f( x) 0(偶函数 )是否成立 跟踪训练 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 ( ) A y x sin 2x B y x2 cos x C y 2x 12x D y x2 sin x 答案 D 解析 对于 A， f( x) x sin 2( x) (x sin 2x) f(x)，为奇函数； 对于 B
10、， f( x) ( x)2 cos( x) x2 cos x f(x)，为偶函数； 对于 C， f( x) 2 x 12 x 2x 12x f(x)，为偶函数； 对于 D， y x2 sin x 既不是偶函数也不是奇函数， 故选 D. (2)函数 f(x) loga(2 x)， g(x) loga(2 x)(a0 且 a1) ，则函数 F(x) f(x) g(x)，G(x) f(x) g(x)的奇偶性是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A F(x)是奇函数， G(x)是奇函数 B F(x)是偶函数， G(x)是奇函数 C F(x)是偶函数， G(x)是偶函数 D F(x)是奇函数，
11、G(x)是偶函数 答案 B 解析 F(x)， G(x)定义域均为 ( 2,2)， 由已知 F( x) f( x) g( x) loga(2 x) loga(2 x) F(x)， G( x) f( x) g( x) loga(2 x) loga(2 x) G(x)， F(x)是偶函数， G(x)是奇函数 题型二 函数的周期性及其应用 1 (2017 西安一模 )奇函数 f(x)的定义域为 R，若 f(x 1)为偶函数，且 f(1) 2，则 f(4) f(5)的值为 ( ) A 2 B 1 C 1 D 2 答案 A 解析 f(x 1)为偶函数， f( x 1) f(x 1)，则 f( x) f(x
12、 2)， 又 y f(x)为奇函数，则 f( x) f(x) f(x 2)，且 f(0) 0. 从而 f(x 4) f(x 2) f(x)， y f(x)的周期为 4. f(4) f(5) f(0) f(1) 0 2 2. 2 (2017 山东 )已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x 4) f(x 2)若当 x 3,0时， f(x) 6 x，则 f(919) _. 答案 6 解析 f(x 4) f(x 2)， f(x 2) 4) f(x 2) 2)，即 f(x 6) f(x)， f(x)是周期为 6 的周期函数， f(919) f(1536 1) f(1) 又 f(x)是定义在
13、R 上的偶函数， f(1) f( 1) 6，即 f(919) 6. 3定义在 R 上的 函数 f(x)满足 f(x 6) f(x)，当 3 x0， =【 ;精品教育资源文库 】 = 其中是奇函数且在 (0,1)上是减函数的个数为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 (3)定义在实数集 R 上的函数 f(x)满足 f(x) f(x 2) 0，且 f(4 x) f(x)现有以下三个命题： 8 是函数 f(x)的一个周期； f(x)的图像关于直线 x 2 对称； f(x)是偶函数 其中正确命题的序号是 _ 解析 (1) 函数 f(x)的定义域为 R， f( x) 3 x ? ?13 x ? ?1
14、3 x 3x f(x)， 函数 f(x)是奇函数 函数 y ? ?13 x在 R 上是减函数， 函数 y ? ?13 x在 R 上是增函数 又 y 3x在 R 上是增函数， 函数 f(x) 3x ? ?13 x在 R 上是增函数 故选 B. (2)易知 中函数在 (0,1)上为增函数； 中函数不是奇函数；满足条件的函数为 . (3)由 f(x) f(x 2) 0 可得 f(x 4) f(x 2) f(x)， 函数 f(x)的周期是 4， 对；由 f(4 x) f(x)， 可得 f(2 x) f(2 x)， f(x)的图像关于直线 x 2 对称， 对； f(4 x) f( x)且 f(4 x) f(x)， f( x) f(x)， f(x)为偶函数， 对 答案 (1)B (2)B (3) 二、函数性质的综合应用 典例 2 (1)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，并且 f(x 3) 1f?x?，当 1 x3 时， f(x) cos x3 ，则 f(2 017) _. (2)函数 f(x) log2? ?x 2 018 ax 在 1， ) 上是增函数，则 a 的取值范围是 _ (3)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间 ( ， 0)上是增加的 若实数 a 满足 f(2|a 1|) f( 2)，则 a 的取值范围是 _
