1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 9 讲 第 1 时 直线与圆锥曲线 基础巩固题组 (建议用时： 40 分钟 ) 一、选择题 1.过抛物线 y2 2x 的焦点作一条直线与抛物线交于 A， B 两点 ， 它们的横坐标之和等于 2，则这 样的直线 ( ) A.有且只有一条 B.有且只有两条 C.有且只有三条 D.有且只有四条 解析 通径 2p 2， 又 |AB| x1 x2 p， |AB| 3 2p， 故这样的直线有且只有两条 . 答案 B 2.直线 y bax 3 与双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的交 点个数是 ( ) A.1 B.2 C.1 或 2 D.0 解析 因为直线
2、 y bax 3 与双曲线的渐近线 y bax 平行 ， 所以它与双曲线只有 1 个交点 . 答案 A 3.经过椭圆 x22 y2 1 的一个焦点作倾斜角为 45 的直线 l， 交椭圆于 A， B 两点 ， 设 O 为坐标原点 ， 则 OA OB 等于 ( ) A. 3 B. 13 C. 13或 3 D. 13 解析 依题意 ， 当直线 l 经过椭圆的右焦点 (1， 0)时 ， 其方程为 y 0 tan 45 (x 1)，即 y x 1， 代入椭圆方程 x22 y2 1 并整理得 3x2 4x 0， 解得 x 0 或 x 43， 所以两个交点坐标分别为 (0， 1)， ? ?43， 13 ，
3、OA OB 13， 同理 ， 直线 l 经过椭圆的左焦点时 ，也可得 OA OB 13. 答案 B 4.抛物线 y x2到直线 x y 2 0 的最短距离为 ( ) A. 2 B.7 28 C.2 2 D.5 26 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 设 抛 物 线上 一点 的 坐 标 为 (x， y)， 则 d |x y 2|2 | x2 x 2|2 ? ? ?x 122 742 ， x12时 ， dmin7 28 . 答案 B 5.(2017 石家庄调研 )椭圆 ax2 by2 1 与直线 y 1 x 交于 A， B 两点 ， 过原点与线段 AB中点的直线的斜率为 32 ， 则 ab的
4、值为 ( ) A. 32 B.2 33 C.9 32 D.2 327 解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 线段 AB 中点 M(x0， y0)， 由题设 kOM y0x0 32 . 由?ax21 by21 1，ax22 by22 1， 得（ y2 y1）（ y2 y1）（ x2 x1）（ x2 x1） ab. 又 y2 y1x2 x1 1， y2 y1x2 x1 2y02x0 32 . 所以 ab 32 . 答案 A 二、填空题 6. (2017 西安调研 )已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(a b 0)， F( 2， 0)为其右焦点 ， 过 F 且垂直于 x 轴的直线与
5、椭圆相交所得的弦长为 2.则椭圆 C 的方程为 _. 解析 由题意得?c 2，b2a 1，a2 b2 c2，解得 ?a 2，b 2， 椭圆 C 的方程为x24y22 1. 答案 x24y22 1 7.已知抛物线 y ax2(a 0)的 焦点到准线的 距离为 2， 则直线 y x 1 截抛物线所得的弦长等于 _. 解析 由题设知 p 12a 2， a 14. 抛物线方程为 y 14x2， 焦点为 F(0， 1)， 准线为 y 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 联立?y 14x2，y x 1，消去 x， 整理得 y2 6y 1 0， y1 y2 6， 直线过焦点 F， 所 得弦 |AB| |
6、AF| |BF| y1 1 y2 1 8. 答案 8 8.过椭圆 x216y24 1 内一点 P(3， 1)， 且被这点平分的弦所在直线的方程是 _. 解析 设直线与椭圆交于 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点 ， 由于 A， B 两点均在椭圆上 ， 故 x2116y214 1，x2216y224 1， 两式相减得 （ x1 x2）（ x1 x2）16 （ y1 y2）（ y1 y2）4 0. 又 P 是 A， B 的中点 ， x1 x2 6， y1 y2 2， kAB y1 y2x1 x2 34. 直线 AB 的方程为 y 1 34(x 3). 即 3x 4y 13 0. 答案 3
7、x 4y 13 0 三、解答题 9.设 F1， F2分别是椭圆 E： x2a2y2b2 1(a b 0)的左、右焦点 ， 过 F1且斜率为 1 的直线 l与 E 相交于 A， B 两点 ， 且 |AF2|， |AB|， |BF2|成等差 数列 . (1)求 E 的离心率； (2)设点 P(0， 1)满足 |PA| |PB|， 求 E 的方程 . 解 (1)由椭圆定义知 |AF2| |BF2| |AB| 4a， 又 2|AB| |AF2| |BF2|， 得 |AB| 43a， l 的方程为 y x c， 其中 c a2 b2. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 A， B 两点的
8、坐标满足方程组?y x c，x2a2y2b2 1，消去 y， 化简得 (a2 b2)x2 2a2cx a2(c2 b2) 0， 则 x1 x2 2a2ca2 b2， x1x2a2（ c2 b2）a2 b2 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 因为直线 AB 的斜率为 1， 所以 |AB| 2|x2 x1| 2（ x1 x2） 2 4x1x2， 即 43a 4ab2a2 b2，故 a2 2b2， 所以 E 的离心率 e ca a2 b2a 22 . (2)设 AB 的中点为 N(x0， y0)， 由 (1)知 x0 x1 x22 a2ca2 b22c3 ， y0 x0 cc3. 由 |PA|
9、|PB|， 得 kPN 1， 即 y0 1x0 1， 得 c 3， 从而 a 3 2， b 3. 故椭圆 E 的方程为 x218y29 1. 10.已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的一个顶点为 A(2， 0)， 离心率为 22 .直线 y k(x 1)与椭圆 C 交于不同的两点 M， N. (1)求椭圆 C 的方程； (2)当 AMN 的面积为 103 时 ， 求 k 的值 . 解 (1)由题意得?a 2，ca22 ，a2 b2 c2.解得 b 2， 所以椭圆 C 的方程为 x24y22 1. (2)由?y k（ x 1） ，x24y22 1，得 (1 2k2)x2 4k2x 2
10、k2 4 0. 设点 M， N 的坐标分别为 (x1， y1)， (x2， y2)， 则 y1 k(x1 1)， y2 k(x2 1)， x1 x2 4k21 2k2， x1x22k2 41 2k2， 所以 |MN| （ x2 x1） 2（ y2 y1） 2 （ 1 k2） （ x1 x2） 2 4x1x2 2 （ 1 k2）（ 4 6k2）1 2k2 =【 ;精品教育资源文库 】 = 又因为点 A(2， 0)到直线 y k(x 1)的距离 d |k|1 k2， 所以 AMN 的面积为 S 12|MN| d |k| 4 6k21 2k2 ， 由|k| 4 6k21 2k2 103 ， 解得 k
11、 1. 能力提升题组 (建议用时： 25 分钟 ) 11.已知椭圆 x24y2b2 1(0 b 2)的 左、右焦点分别为 F1， F2， 过 F1的直线 l 交椭圆于 A， B两点 ， 若 |BF2| |AF2|的最大值为 5， 则 b 的值是 ( ) A.1 B. 2 C.32 D. 3 解析 由椭圆的方程 ， 可知长半轴长为 a 2， 由椭圆的定义 ， 可知 |AF2| |BF2| |AB|4a 8， 所以 |AB| 8 (|AF2| |BF2|)3. 由椭 圆的性质 ，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即 2b2a 3， 可求得 b2 3， 即 b 3. 答案 D 12.(2016 四川卷
12、 )设 O 为坐标原点 ， P 是以 F 为焦点的抛物线 y2 2px(p0)上任意一点 ，M 是线段 PF 上的点 ， 且 |PM| 2|MF|， 则直线 OM 的斜率的最大值是 ( ) A. 33 B.23 C. 22 D.1 解析 如图所示 ， 设 P(x0， y0)(y00)， 则 y20 2px0， 即 x0 y202p. 设 M(x ， y )， 由 PM 2MF ， 得?x x0 2? ?p2 x ，y y0 2（ 0 y ） ，解之得 x p x03 ， 且 y y03. 直线 OM 的斜率 k yx y0p y02p 2p2p2y0 y0又 y0 2p2y0 2 2p， 当且
13、仅当 y0 2p 时取等号 . k 2p2 2p 22 ， 则 k 的最大值为 22 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 C 13.设抛物线 y2 8x 的焦点为 F， 准线为 l， P 为抛物线上一点 ， PA l， A 为垂足 .如果直线 AF 的斜率为 3， 那么 |PF| _. 解析 直线 AF 的方程为 y 3(x 2)， 联立 ?y 3x 2 3，x 2， 得 y 4 3， 所以 P(6，4 3).由抛物线的性质可知 |PF| 6 2 8. 答案 8 14.已知抛物线 C： y2 2px(p0)的焦点为 F， 直线 y 4 与 y 轴的交点为 P， 与 C 的交点为Q， 且
14、 |QF| 54|PQ|. (1)求 C 的方程； (2)过 F 的直线 l 与 C 相交 于 A， B 两点 ， 若 AB 的垂直平分线 l 与 C 相交于 M， N 两点 ，且 A， M， B， N 四点在同一圆上 ， 求 l 的方程 . 解 (1)设 Q(x0， 4)， 代入 y2 2px 得 x0 8p. 所以 |PQ| 8p， |QF| p2 x0 p2 8p. 由题设得 p2 8p 54 8p， 解得 p 2(舍去 )或 p 2. 所以 C 的方程为 y2 4x. (2)依题意知 l 与坐标轴不垂直 ， 故可设 l 的方程为 x my 1(m0). 代入 y2 4x 得 y24my
15、 4 0. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 y1 y2 4m， y1y2 4. 故 AB 的中点为 D(2m2 1， 2m)， |AB| m2 1|y1 y2| 4(m2 1). 又 l 的斜率为 m， 所以 l 的方程为 x 1my 2m2 3. 将上式代入 y2 4x， 并整理得 y2 4my 4(2m2 3) 0. 设 M(x3， y3)， N(x4， y4)， 则 y3 y4 4m， y3y4 4(2m2 3). 故 MN 的中点为 E? ?2m2 2m2 3， 2m ， |MN| 1 1m2|y3 y4| 4（ m2 1） 2m2 1m2 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 由于 MN 垂直平分 AB， 故 A， M， B， N 四点在同一圆上等价于 |AE| |BE| 12|MN|， 从而 14|AB|2 |DE|2 14|MN|2， 即 4(m2 1)2 ? ?2m 2m2 ? ?2m2 22 4（ m2 1） 2（ 2m2 1）m4 . 化简得 m2 1 0， 解得 m 1 或 m 1. 所求直线 l 的方程为 x y 1 0 或 x y 1 0.
