1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 6.2 等差数列及其前 n 项和 最新考纲 考情考向分析 1.理解等差数列的概念 2.掌握等差数列的通项公式与前 n项和公式 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题 4.了解等差数列与一次函数的关系 . 以考查等差数列的通项、前 n 项和及性质为主，等差数列的证明也是考查的热点本节内容在高考中既可以以选择、填空的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查解答题往往与等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查 . 1等差数列的定义 从第 2 项起，每一项与 前一项的差是同一个常数 ，我们称这样的数列为等差数列，称这个常数
2、为等差数列的 公差 ，通常用字母 d 表示 2等差数列的通项公式 若首项是 a1，公差是 d，则这个等差数列的通项公式是 an a1 (n 1)d. 3等差中项 如果在 a 与 b 中间插入一个数 A，使 a， A， b 成等差数列，那么 A 叫作 a 与 b 的等差中项 4等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广： an am (n m)d(n， m N ) (2)若 an为等差数列，且 k l m n(k， l， m， n N )，则 ak al am an. (3)若 an是等差数 列，公差为 d，则 a2n也是等差数列，公差为 2d. (4)若 an， bn是等差数列，则 pan qb
3、n也是等差数列 (5)若 an是等差数列，公差为 d，则 ak， ak m， ak 2m， ?( k， m N )是公差为 md 的等差数列 (6)数列 Sm， S2m Sm， S3m S2m， ? 构成等差数列 5等差数列的前 n 项和公式 设等差数列 an的公差为 d，其前 n 项和 Sn n?a1 an?2 或 Sn na1 n?n 1?2 d. 6等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 =【 ;精品教育资源文库 】 = Sn d2n2 ? ?a1d2 n. 数列 an是等差数列 ?Sn An2 Bn(A， B 为常数 ) 7等差数列的前 n 项和的最值 在等差数列 an中， a10，
4、d0，则 Sn存在最 小 值 知识拓展 等差数列的四种判断方法 (1)定义法： an 1 an d(d 是常数 )?an是等差数列 (2)等差中项法： 2an 1 an an 2 (n N )?an是等差数列 (3)通项公式： an pn q(p， q 为常数 )?an是等差数列 (4)前 n 项和公式： Sn An2 Bn(A， B 为常数 )?an是等差数列 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列 ( ) (2)等差数列 an的单调性是由公差 d 决定的 ( ) (3)等差数
5、列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数 ( ) (4)已知等差数列 an的通项公式 an 3 2n，则它的公差为 2.( ) (5)数列 an为等差数列的充要条件是对任意 n N ，都有 2an 1 an an 2.( ) (6)已知数列 an的通项公式是 an pn q(其中 p， q 为常数 )，则数列 an一定是等差数列 ( ) 题组二 教材改编 2设数列 an是等差数列，其前 n 项和为 Sn，若 a6 2 且 S5 30，则 S8等于 ( ) A 31 B 32 C 33 D 34 答案 B 解析 由已知可得? a1 5d 2，5a1 10d 30， 解得 ? a1 263
6、，d 43， S8 8a1 872 d 32. =【 ;精品教育资源文库 】 = 3在等差数列 an中，若 a3 a4 a5 a6 a7 450，则 a2 a8 _. 答案 180 解析 由等差数列的性质，得 a3 a4 a5 a6 a7 5a5 450， a5 90， a2 a8 2a5 180. 题组三 易错自纠 4一个等差数列的首项为 125，从第 10 项起开始比 1 大，则这个 等差数列的公差 d 的取值范围是 ( ) A d875 B d1，a91 ， 即 ? 125 9d1，125 8d1 ，所以 8750， a7 a100，则当 n _时， an的前 n 项和最大 答案 8 解
7、析 因为数列 an是等差数列，且 a7 a8 a9 3a8 0，所以 a8 0.又 a7 a10 a8 a9 0，所以 a9 0.故当 n 8 时，其前 n 项和最大 6一物体从 1 960 m 的高空降落，如果第 1 秒降落 4.90 m，以后每秒比前一秒多降落 9.80 m，那么经过 _秒落到地面 答案 20 解析 设物体经过 t 秒降落到地面 物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为 4.90，公差为 9.80 的等差数列 所以 4.90t 12t(t 1)9.80 1 960， 即 4.90t2 1 960，解得 t 20. 题型一 等差数列基本量的运算 1 (2017 全国 )
8、记 Sn为等差数列 an的前 n 项和若 a4 a5 24， S6 48，则 an的公差=【 ;精品教育资源文库 】 = 为 ( ) A 1 B 2 C 4 D 8 答案 C 解析 设 an的公差为 d， 由? a4 a5 24，S6 48， 得 ? ?a1 3d? ?a1 4d? 24，6a1 652 d 48， 解得 d 4.故选 C. 2 (2016 全国 ) 已知等差数列 an前 9 项的和为 27， a10 8，则 a100等于 ( ) A 100 B 99 C 98 D 97 答案 C 解析 由等差数列性质，知 S9 9?a1 a9?2 92 a52 9a5 27，得 a5 3，而
9、 a10 8，因此公差d a10 a510 5 1， a100 a10 90d 98，故选 C. 思维升华 等差数列运算问题的通性通法 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项 a1和公差 d，然后由通项公式或前 n 项和公式转化为方程 (组 )求解 (2)等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a1， an， d， n， Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题 题型二 等差数列的判定与证明 典例 已知数列 an中， a1 35， an 2 1an 1(n2 ， n N )，数列 bn满足 bn 1an 1(n N ) (1)求证：数列 bn是等差数列； (2
10、)求数列 an中的最大项和最小项，并说明理由 (1)证明 因为 an 2 1an 1(n2 ， n N )， bn 1an 1(n N )， 所以 bn 1 bn 1an 1 1 1an 1 1?2 1an 1 1an 1 anan 1 1an 1 1. 又 b1 1a1 1 52. =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以数列 bn是以 52为首项， 1 为公差的等差数列 (2)解 由 (1)知 bn n 72，则 an 1 1bn 1 22n 7. 设 f(x) 1 22x 7， 则 f(x)在区间 ? ? ， 72 和 ? ?72， 上为减函数 所以当 n 3 时， an取得最小值 1，当
11、 n 4 时， an取得最大值 3. 引申探究 本例中，若将条件变为 a1 35， nan 1 (n 1)an n(n 1)，试求数列 an的通项公式 解 由已知可得 an 1n 1 ann 1，即 an 1n 1 ann 1，又 a1 35， ? ?ann 是以 a11 35为首项， 1 为公差的等差数列， ann 35 (n 1)1 n 25， an n2 25n. 思维升华 等差数列的四个判定方法 (1)定义法：证明对任意正整数 n 都有 an 1 an等于同一个常数 (2)等差中项法：证明对任意正整数 n 都有 2an 1 an an 2. (3)通项 公式法：得出 an pn q 后
12、，再根据定义判定数列 an为等差数列 (4)前 n 项和公式法：得出 Sn An2 Bn 后，再使用定义法证明数列 an为等差数列 跟踪训练 若数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足 an 2SnSn 1 0(n2) ， a1 12. (1)求证： ? ?1Sn是等差数列； (2)求数列 an的通项公式 (1)证明 当 n2 时，由 an 2SnSn 1 0， 得 Sn Sn 1 2SnSn 1， 所以 1Sn 1Sn 1 2， 又 1S1 1a1 2， 故 ? ?1Sn是首项为 2，公差为 2 的等差数列 (2)解 由 (1)可得 1Sn 2n， Sn 12n. 当 n2 时， =【 ;精
13、品教育资源文库 】 = an Sn Sn 1 12n 12?n 1? n 1 n2n?n 1? 12n?n 1?. 当 n 1 时， a1 12不适合上式 故 an? 12， n 1， 12n?n 1?， n2.题型三 等差数列性质的应用 命题点 1 等差数列项的性质 典例 (2018 届河北武邑中学调研 )数列 an满足 2an an 1 an 1(n2) ，且 a2 a4 a6 12，则 a3 a4 a5等于 ( ) A 9 B 10 C 11 D 12 答案 D 解析 数列 an满足 2an an 1 an 1(n2) ，则数列 an是等差数列，利用等差数列的性质可知， a3 a4 a5
14、 a2 a4 a6 12.故选 D. 命题点 2 等差数列前 n 项和的性质 典例 (1)设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S3 9， S6 36，则 a7 a8 a9等于 ( ) A 63 B 45 C 36 D 27 答案 B 解析 由 an是等差数列，得 S3， S6 S3， S9 S6为等差数列，即 2(S6 S3) S3 (S9 S6)， 得到 S9 S6 2S6 3S3 45，故选 B. (2)已知 Sn是等 差数列 an的前 n项和，若 a1 2 014， S2 0142 014 S2 0082 008 6，则 S2 018 _. 答案 6 054 解析 由等差数列的性
15、质可得 ? ?Snn 也为等差数列 设其公差为 d，则 S2 0142 014 S2 0082 008 6d 6， d 1. 故 S2 0182 018 S11 2 017d 2 014 2 017 3， S2 018 32 018 6 054. =【 ;精品教育资源文库 】 = 思维升华 等差数列的性质 (1)项的性质：在等差数列 an中， m n p q(m， n， p， q N )，则 am an ap aq. (2)和的性质：在等差数列 an中， Sn为其前 n 项和，则 S2n n(a1 a2n) ? n(an an 1)； S2n 1 (2n 1)an. 跟踪训练 (1)(2018 届南京调研 )记等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 am 10， S2m 1 110，则 m 的值为 _ 答案 6 解析 an是等差数列， S2m 1 a2m 1 a12 ×
