1、2022年6月8日振动力学1多自由度系统振动多自由度系统振动2022年6月8日振动力学2 频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形回顾：回顾：（1）两个例子）两个例子系统存在刚体运动，柔度矩阵系统存在刚体运动，柔度矩阵 F 不存在，刚度矩阵奇异不存在，刚度矩阵奇异 （2）多自由度系统的自由振动）多自由度系统的自由振动 刚度矩阵半正定，刚度矩阵半正定， ，系统，系统为半正定系统，存在为半正定系统，存在 f ( t ) = a t + b 的刚体模态的刚体模态0 K零固有频率的情形零固有频率的情形 1I2Ikm1m2k1k2m3多自由度系统振动多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
2、频率方程的零根和重根情形2022年6月8日振动力学302 MK n 自由度系统：自由度系统： 0MXKXnR X广义特征值问题：广义特征值问题： 2()0KM有非零解的充要条件：有非零解的充要条件： 00 KK为奇异矩阵是零固有频率存在的充要条件，满足此条件时系为奇异矩阵是零固有频率存在的充要条件，满足此条件时系统的刚度矩阵统的刚度矩阵 K 是半正定的是半正定的 0K0当半正定系统按刚体振型运动时，不发生弹性变形，因此不产当半正定系统按刚体振型运动时，不发生弹性变形，因此不产生弹性恢复力生弹性恢复力多自由度系统振动多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2022年
3、6月8日振动力学4假定系统中假定系统中 01相应的主坐标方程：相应的主坐标方程： 01 px batxp1由初始条件决定由初始条件决定 表明此主振动为随时间匀速增大的刚体位移表明此主振动为随时间匀速增大的刚体位移 系统的刚体自由度可以利用模态的正交性条件消除系统的刚体自由度可以利用模态的正交性条件消除 01111 ppppxkxm 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2022年6月8日振动力学5设设 为与为与 对应的刚体位移模态对应的刚体位移模态 ) 1 (正交性条件正交性条件 )(0)()(jijTi M要求：要求：)2(0)()1(niiT
4、 M ：除刚体位移之外的其它模态：除刚体位移之外的其它模态 )2()(nii 设设)2(nixpi 为与为与 所对应的主坐标所对应的主坐标)2()(nii )2(0)()1(nixpiiTM令：令： nipiix2)(X系统消除刚体位移后的自由振动系统消除刚体位移后的自由振动 可得约束条件：可得约束条件： 0)1( MXT利用此约束条件可消去系统的一个自由度，得到不含刚利用此约束条件可消去系统的一个自由度，得到不含刚体位移的缩减系统，缩减系统的刚度矩阵是非奇异的体位移的缩减系统，缩减系统的刚度矩阵是非奇异的 右乘右乘 ：pix01多自由度系统振动多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形频
5、率方程的零根和重根情形2022年6月8日振动力学6例：四自由度系统例：四自由度系统初始条件初始条件：TX00000TvvX000求系统响应求系统响应mmkkmkm多自由度系统振动多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2022年6月8日振动力学7TX00000TvvX000mmkkmkm解：解：方法一方法一动力方程动力方程 :0110012100121001100000000000043214321xxxxkxxxxmmmm 0MXKX021mk)22(22mk223mk)22(24固有频率固有频率 :奇异矩阵奇异矩阵多自由度系统振动多自由度系统振动 / 频率方程
6、的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2022年6月8日振动力学8模态矩阵模态矩阵 ：1111)21 (1)21 (12112111111正则模态：正则模态： 1111222212121122221(12)(12)11222211112222mN令：令：NNXX 0NNXX正则模态方程：正则模态方程：TNNNNNxxxx4321X模态初始条件：模态初始条件： TNN0000)0(01XXTNNvm0101 )0(01 XX02 NiiNixx )41( i多自由度系统振动多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2022年6月8日振动力学0NNXXTNN0000)
7、0(01XXTNNvm0101 )0(01 XX021mk)22(22mk223mk)22(2401（1）1i时时01Nx batxN10)0(1NxvmxN)0(1vma0bvtm （2）1i时时4 , 3 , 2,sin)0(cos)0(itxtxxiiNiiNiNi02NxtvmxN333sin04Nx)41(02 ixxNiiNi 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2022年6月8日振动力学10vtmxN102NxtvmxN333sin04NxTNNNNNxxxx4321X物理空间响应：物理空间响应： NNXX Tttvm0sin10
8、33333333331sin1sin12sin1sinttttvtttt多自由度系统振动多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2022年6月8日振动力学11解：解：方法二：利用约束条件方法二：利用约束条件0110012100121001100000000000043214321xxxxkxxxxmmmm 0)1( MXT1111)21 (1)21 (1211211111104321xxxx4321xxxx 0110121103000000432432xxxkxxxmmm 代入方程，整理：代入方程，整理： mmkkmkm非奇异非奇异奇异奇异消去了一个消去了一个系统
9、自由度系统自由度多自由度系统振动多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2022年6月8日振动力学120110121103000000432432xxxkxxxmmm mk)22(22mk223mk)22(24固有频率：固有频率：021方法一：方法一：mk)22(22mk223mk)22(24方法一：方法一： 1111222212121122221(12)(12)11222211112222Nm221122122)21 (122)21 (222112221N正则模态：正则模态： 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形
10、2022年6月8日振动力学130110121103000000432432xxxkxxxmmm mk)22(22mk223mk)22(241212122221(12)(12)122221112222Nm模态空间：模态空间： TN000)0(XTNvm010)0( X初始条件：初始条件：02NxtvmxN333sin04Nx物理空间：物理空间： TNNtttvsin1sin1sin12333333XX4321xxxxt33sin1x1响应：响应：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2022年6月8日振动力学14 ttttvxxxx33333333
11、4321sin1sin1sin1sin12矩阵形式：矩阵形式： ttttttttvxxxx333333334321sin1sin1sin1sin12方法一结果：方法一结果：消除了刚体位移消除了刚体位移tx331sin1 tx332sin1 tx333sin1 tx334sin1 思考：思考： 两组坐标是否相同？两组坐标是否相同？多自由度系统振动多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2022年6月8日振动力学15 系统存在刚体模态的条件系统存在刚体模态的条件mmkkmkm0110012100121001100000000000043214321xxxxkxxxxm
12、mmm 021mk)22(22mk223mk)22(24奇异奇异1111)21 (1)21 (12112111111（1）对应频率为零）对应频率为零（2）对应振型元素全相等）对应振型元素全相等刚体模态：各个广义坐标刚体模态：各个广义坐标上不产生弹性变形，刚度上不产生弹性变形，刚度阵奇异阵奇异多自由度系统振动多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2022年6月8日振动力学16111）（第一阶主振型：第一阶主振型：122）（第二阶主振型：第二阶主振型：m2m2kkkx1x2mkmk581. 1,21虽然第一阶振型元素全相等，虽然第一阶振型元素全相等，但所对应的固有频
13、率不为零，但所对应的固有频率不为零，因此不存在刚体模态因此不存在刚体模态00322002121xxkkkkxxmm 非奇异非奇异多自由度系统振动多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2022年6月8日振动力学17系统存在刚体模态的条件系统存在刚体模态的条件某阶固有频率为零某阶固有频率为零或刚度矩阵奇异或刚度矩阵奇异所对应的振型元所对应的振型元素全相等素全相等多自由度系统振动多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2022年6月8日振动力学18 频率方程的重根情形频率方程的重根情形在前面引入振型矩阵（或模态矩阵）的概念时，曾假设所有的
14、在前面引入振型矩阵（或模态矩阵）的概念时，曾假设所有的特征值都是特征方程的单根特征值都是特征方程的单根 复杂的系统中会出现某些特征根彼此很接近甚至相等的情况复杂的系统中会出现某些特征根彼此很接近甚至相等的情况 工程背景之一工程背景之一：柔性航天结构柔性航天结构如何求出系统固有频率出现重根时的相互正交的主振型？如何求出系统固有频率出现重根时的相互正交的主振型？刚度矩阵奇异刚度矩阵奇异21例如：例如：n自由度系统中自由度系统中)2()1(多自由度系统振动多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2022年6月8日振动力学19假使假使 是是 r 重根重根 2122221r
15、 其余其余 都是单根都是单根 221,nr21()0KM212代入特征值问题：代入特征值问题： 特征矩阵秩：特征矩阵秩：rnrank21MKn 个方程中只有个方程中只有 n - r 个是独立的个是独立的 例如当例如当 是单根时，是单根时， r=1,21n 个方程中只有个方程中只有 n 1 个是独立的个是独立的 r = 2为简单计，令：为简单计，令：211则计算则计算 对应的模态时，对应的模态时， 中有中有2个是不独立的个是不独立的方程方程21()0KM多自由度系统振动多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2022年6月8日振动力学20212个不独立个不独立21(
16、)0KM(n)(4)(3)(2)(1)固有频率：固有频率：2( )()0iiKMni1n4321所有所有i满足：满足：20KM模态：模态：2()0KM(1)(2)3()(njj或或与与正交正交)3()(njj与与相互正交相互正交)3()(nii多自由度系统振动多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2022年6月8日振动力学21(n)(4)(3)(2)(1)n4321(1)(2)3()(njj或或与与正交正交)3()(njj与与相互正交相互正交)3()(nii证明：证明：(1)满足：满足：(1)2(1)1()0KM(1)21(1)MK满足：满足：)( j)(2)(
17、jjjMK2( )()0jjKM)()1(21)()(jTjTiMK)( j转置右乘转置右乘T)1(左乘左乘)()1(2)()1(jTjjTMK两式相减：两式相减：0)()()1(221jTjM0)()1(jTM0)()1(jTK同理同理(2)(i和和nj3不等不等多自由度系统振动多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2022年6月8日振动力学22(n)(4)(3)(2)(1)n4321(1)(2)3()(njj或或与与正交正交)3()(njj与与相互正交相互正交)3()(nii保证了主质量阵和主刚度阵中非对角线上的一些元素为零保证了主质量阵和主刚度阵中非对角线
18、上的一些元素为零 如何处理如何处理之间的问题？之间的问题？(2)(1)、21)2()2()1 ()1 (ppTTmmMM21)2()2()1()1(ppTTkkKK0)1 ()2()2()1 (MMTT0)1()2()2()1(KKTT332100000000?00?ppppTmmmmM432100000000?00?ppppTkkkkK例如：四自由度系统例如：四自由度系统4321多自由度系统振动多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2022年6月8日振动力学nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnmkmkmkmkmkmkmkmk)()( )( )(
19、)( )()(,221,211,2211,222,2212,211 ,2211 ,2,121,111,121,122,1212,11112111任意给定任意给定两组线性独立的值两组线性独立的值)1()1(1nn、)2()2(1nn、和和 nn、1求解相互正交的求解相互正交的的方法的方法(2)(1)、21计算计算1对应的模态时，对应的模态时， 中有中有2个是不独立的方程个是不独立的方程 21()0KM将将 的最后两个元素的最后两个元素 的有关项移至等号右端的有关项移至等号右端 ：nn、1可解出其余可解出其余 n 2 个个 （i=1n-2，j=1,2）的两组解的两组解 )( ji)2()1(ii、
20、例如：例如： 01)1 ()1 (1nn10)2()2(1nnn-2个方程个方程多自由度系统振动多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2022年6月8日振动力学2401)1 ()1 (1nn10)2()2(1nn)2()1(ii、第第 1、第、第 2 阶模态阶模态 ：TnTn 1001)2(2)2(2)2(1)2()1(2)1(2)1(1)1(（不是唯一的）（不是唯一的）为保证它们之间满足正交性条件为保证它们之间满足正交性条件 （不正交）（不正交）令令：)1()2()2(cnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnmkmkmkmkmkmkmkmk)()
21、( )( )()( )()(, 221, 211, 2211, 222, 2212, 211 , 2211 , 2, 121, 111, 121, 122, 1212, 11112111)2(也是如下方程的解：也是如下方程的解：21线性叠加原理线性叠加原理多自由度系统振动多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2022年6月8日振动力学25正交，需满足：正交，需满足：)2()1(、0)2()1(MT0)()1()2()1(cTM)1()1()2()1(MMTTcc 得到后，即可得到相互正交的得到后，即可得到相互正交的)2()1(、)2()1(11MTpm01)1(
22、)1(1nn10)2()2(1nn)2()1(ii、第第 1、第、第 2 阶模态阶模态 ：TnTn 1001)2(2)2(2)2(1)2()1(2)1(2)1(1)1(（不是唯一的）（不是唯一的）为保证它们之间满足正交性条件为保证它们之间满足正交性条件 （不正交）（不正交）令令：)1()2()2(c21多自由度系统振动多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2022年6月8日振动力学26相互正交相互正交)2()1(、又分别与又分别与 相互正交相互正交)2()1(、)3()(njj模态矩阵：模态矩阵： nnnR,)()3()2()1(可使质量矩阵及刚度矩阵同时对角化
23、可使质量矩阵及刚度矩阵同时对角化 pTMMpTKK模态叠加法得以实施，可将模态叠加法得以实施，可将n自由度系统转换成自由度系统转换成n个单自由度系统个单自由度系统主质量矩阵主质量矩阵主刚度矩阵主刚度矩阵对角阵对角阵)1()2()2(c正交正交多自由度系统振动多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2022年6月8日振动力学27例：四自由度系统例：四自由度系统求：系统模态矩阵求：系统模态矩阵x1mmmmkkkkkkkkkx2x3x4多自由度系统振动多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2022年6月8日振动力学28解：解：系统运动微分
24、方程：系统运动微分方程： 0MXKXmmmm000000000000Mkkkkkkkkkkkkkk304034K4321xxxxXmk21mk322mk5242321、对应于对应于的主振型：的主振型：T 1111 )1(T 1010)2(02MK由由2()0KM由由 x1mmmmkkkkkkkkkx2x3x4重根重根多自由度系统振动多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2022年6月8日振动力学29mk52423对于对于 得到：得到： 2()0KM代入代入 000021011111012111114321第第 3 个方程显然不独立，第四个方程可个方程显然不独立，
25、第四个方程可由第一个方程乘以由第一个方程乘以 2 再减去第二个方程再减去第二个方程得到，故也不独立得到，故也不独立 划去后两个方程，将前两个方程写为：划去后两个方程，将前两个方程写为： 00011121114321431210111211143432110011021则有：则有：431021多自由度系统振动多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2022年6月8日振动力学3043432110011021T 1111 )1(T 1010)2()3()4(对应对应2423 的主振型的主振型 不难验证不难验证 都关于都关于 M 和和 K 相互正交相互正交)3()4()1
26、()2(mmmmmmT4200220000200004MkkkkkkT20100010100000600004K但但 、 之间不正交之间不正交 )3()4(02)4()3( mTM010)4()3(kTK多自由度系统振动多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2022年6月8日振动力学3143432110011021T 1111 )1(T 1010)2()3()4(对应对应2423 的主振型的主振型 不难验证不难验证 都关于都关于 M 和和 K 相互正交相互正交)3()4()1()2(但但 、 之间不正交之间不正交 )3()4(02)4()3( mTM010)4(
27、)3(kTK)4()3(、)4()3(、为从为从得到相互正交的得到相互正交的)3()3(选取选取)4()3()4()3()4(cc并令并令MT)3(左乘左乘(3)(4)(3)(3)1TTcMM 解得：解得： T 1111)4()3()4(第第4阶主振型：阶主振型： 0)4()3( MT（注：（注： ）多自由度系统振动多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2022年6月8日振动力学321011110110111101)4()3()2()1 (mmmmT4000020000200004MkkkkT200000100000600004K模态矩阵：模态矩阵：可以验证，有
28、：可以验证，有：T 1111 )1(T 1010)2(T 1111)4(T0101)3(多自由度系统振动多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形2022年6月8日振动力学33多自由度系统振动多自由度系统振动2022年6月8日振动力学34多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2022年6月8日振动力学35回顾：回顾：单自由度系统：单自由度系统： 系统对简谐力激励的响应系统对简谐力激励的响应tieFkxxcxm0 tFcos0 x 为复数变量，分别与为复数变量，分别与 和和 相对应相对应 tFsin0设：设：tiexx 0)
29、(FHx icmkH21)(复频响复频响应函数应函数 kmc2引入：引入：0s)2()1 (2112222sssisk222)2()1 (1)(sss2112)(sstgs )(0tiekFx系统响应：系统响应：iek1多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2022年6月8日振动力学36 系统对简谐力激励的响应系统对简谐力激励的响应多自由度系统受到外力激励所产生的运动为多自由度系统受到外力激励所产生的运动为受迫运动受迫运动 设设 n 自由度系统沿各个广义坐标均受到自由度系统沿各个广义坐标均受到频率和相位相同频率和相位相同的广义的广义简谐力的激励简谐力
30、的激励 系统受迫振动方程：系统受迫振动方程： tie0FKXXM nRXnnRKM，10nRFTnFFF002010F实部和虚部分别为余弦或正旋激励的响应实部和虚部分别为余弦或正旋激励的响应：外部激励频率：外部激励频率0F：广义激励力幅值列阵：广义激励力幅值列阵复数列阵复数列阵多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2022年6月8日振动力学370HFX 受迫振动方程：受迫振动方程： tie0FKXXM nRXtieXX 稳态解：稳态解：nRX振幅列向量振幅列向量TnXXX21X简谐激励下，系统稳态响应也为简谐响应，并且振动频率简谐激励下，系统稳态响应
31、也为简谐响应，并且振动频率为外部激励的频率，但是各个自由度上的振幅各不相同为外部激励的频率，但是各个自由度上的振幅各不相同02)(FXMK记记 12)(MKH多自由度系统的多自由度系统的幅频响应矩阵幅频响应矩阵 tie0HFX 工程中：工程中：)(2MK阻抗矩阵阻抗矩阵12)(MKH导纳矩阵导纳矩阵多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2022年6月8日振动力学38H 的物理意义：的物理意义： 沿沿 i 坐标的投影式：坐标的投影式： jnjijiFHX01tie0FKXXM nRXtieXX 02)(FXMK12)(MKH0HFX tie0HFX H
32、ij的物理意义为仅沿的物理意义为仅沿 j 坐标作用频率为坐标作用频率为 的单位幅度简谐力的单位幅度简谐力时，沿时，沿 i 坐标所引起的受迫振动的复振幅坐标所引起的受迫振动的复振幅12)(MKHMKMK22)(adj02MK当外部激励频率接近系统任一阶固有频率时：当外部激励频率接近系统任一阶固有频率时：受迫振动振幅无限增大，共振受迫振动振幅无限增大，共振 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2022年6月8日振动力学39 动力吸振器动力吸振器许多机器或部件由于许多机器或部件由于旋转部分的质量偏心而产生强迫振动旋转部分的质量偏心而产生强迫振动，为，为减
33、小这种振动有时可以采用减小这种振动有时可以采用动力吸振器动力吸振器tmekxxcxMsin2 mxc2k2kteMkctmesin2xMkcxtem回顾：回顾：偏心质量系统偏心质量系统等效模型等效模型1等效模型等效模型20F主系统主系统多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2022年6月8日振动力学40动力吸振器动力吸振器x1x2m2k1m1k2ctFsin0c1x1k1m1tFsin0111mk主系统固有频率：主系统固有频率：忽略主系统阻尼忽略主系统阻尼为抑制主系统的振动，在主系统上附加一个为抑制主系统的振动，在主系统上附加一个弹簧弹簧-质量系统质
34、量系统222mk动力吸振器的无动力吸振器的无阻尼固有频率：阻尼固有频率：通过调节动力吸振器的参数大小，通过调节动力吸振器的参数大小，以达到抑制主系统振动的目的以达到抑制主系统振动的目的单自由度单自由度两自由度两自由度多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2022年6月8日41有阻尼的动力吸振器系统有阻尼的动力吸振器系统弹簧弹簧 k2m1、 k1：质量和刚度质量和刚度阻尼动力吸振器参数：阻尼动力吸振器参数：质量质量 m2阻尼阻尼 cx1x2m2k1m1k2ctFsin0系统强迫振动方程：系统强迫振动方程：0sin 0002122221212121tFx
35、xkkkkkxxccccxxmm 主系统参数：主系统参数：简谐外部激励：简谐外部激励tFsin0多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2022年6月8日振动力学42系统的强迫振动方程：系统的强迫振动方程：0sin 0002122221212121tFxxkkkkkxxccccxxmm 无阻尼动力吸振器无阻尼动力吸振器利用直接法利用直接法tsinXX 稳态响应振幅：稳态响应振幅： 00122222212121Fmkkkmkkxxx1x2m2k1m1k2ctFsin0 21xxX主质量振幅主质量振幅吸振器振幅吸振器振幅外部激励频率外部激励频率多自由度系统
36、振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2022年6月8日振动力学43主系统不再振动主系统不再振动 00122222212121Fmkkkmkkxx22220)(kmkF：系统特征多项式：系统特征多项式)(222222121)()(kmkmkk212221221421)(kkmkmkmkmm22mk 时时01 x此时此时22)(k202kFx 吸振器振幅吸振器振幅主系统上受到的激振力恰好被来自吸振器的弹性恢复力平衡主系统上受到的激振力恰好被来自吸振器的弹性恢复力平衡x1x2m2k1m1k2tFsin0MK2)(外部激励频率等于外部激励频率等于吸振器的固有频率吸振器
37、的固有频率多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2022年6月8日振动力学44无阻尼动力吸振器无阻尼动力吸振器左图：第一阶模态响应左图：第一阶模态响应中间：动力吸振器中间：动力吸振器右图：第二阶模态响应右图：第二阶模态响应多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2022年6月8日振动力学45无阻尼动力吸振器无阻尼动力吸振器多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2022年6月8日振动力学46吸振器参数吸振器参数 k2、m2 一般选为：一般选为： 00122222212
38、121Fmkkkmkkxx22220)(kmkF212221221421)()(kkmkmkmkmm22mk当当 时时01 x202kFx 反共振反共振记：记：22110/mkmk使吸振器的固有频率和使吸振器的固有频率和主系统的固有频率相等主系统的固有频率相等1212mmkk 1)2()(2421sskk0/sx1x2m2k1m1k2tFsin0多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2022年6月8日振动力学22110/mkmk1212mmkk 1)2()(2421sskk0/s421222, 1s ：两自由度系统的固有频率：两自由度系统的固有频率2
39、1、011/s022/s 00122222212121Fmkkkmkkxx22220)(kmkF212221221421)()(kkmkmkmkmm22mk当当 时时01 x202kFx 反共振反共振x1x2m2k1m1k2tFsin00)(2MK多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2022年6月8日振动力学48 00122222212121Fmkkkmkkxx22220)(kmkF22mk当当 时时01 x202kFx 反共振反共振22110/mkmk1212mmkk 1)2()(2421sskk0/s421222, 1s011/s022/s)(
40、代入代入并设并设100/kFx 1)2(124201 sssxx1)2(12402 ssxxx1x2m2k1m1k2tFsin0主质量静变形主质量静变形多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2022年6月8日振动力学4922mk当当 时时01 x202kFx 反共振反共振22110/mkmk1212mmkk0/s011/s022/s100/kFx 1)2(124201 sssxx1)2(12402 ssxx反共振点反共振点01/ xx02/ xx0123-6-4-2024s共振点共振点311. 12s共振点共振点762. 01s1s3 . 0 x1x
41、2m2k1m1k2tFsin0虽然虽然2211mkmk出现反共振，但是在反出现反共振，但是在反共振的两旁存在两个共共振的两旁存在两个共振点振点多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2022年6月8日振动力学50反共振点反共振点01/ xx02/ xx0123-6-4-2024s共振点共振点311. 12s共振点共振点762. 01s1s3 . 0为了允许激励频率为了允许激励频率 在在 附近有一定范围的变化附近有一定范围的变化1ss1、s2 应当相距远些应当相距远些x1x2m2k1m1k2tFsin0多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的
42、受迫振动多自由度系统的受迫振动2022年6月8日振动力学511212mmkk反共振点反共振点0123-6-4-2024s共振点共振点311. 12s共振点共振点762. 01s1s00.10.20.30.40.50.60.70.80.40.60.811.21.41.61.822.22.4421222, 1ss随随 变化曲线变化曲线当当 值较大时，值较大时，s1、s2 相距较远相距较远k2、m2 变大变大动力吸振器变得笨拙动力吸振器变得笨拙措施：采用阻尼动力吸振器措施：采用阻尼动力吸振器多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2022年6月8日振动力学5
43、2系统的强迫振动方程：系统的强迫振动方程：0sin 0002122221212121tFxxkkkkkxxccccxxmm 有阻尼动力吸振器有阻尼动力吸振器采用直接法：采用直接法：tiexxxx 2121稳态响应振幅（复振幅）：稳态响应振幅（复振幅）： 0)()(0122222212121Ficmkickickicmkkxxx1x2m2k1m1k2ctFsin0tieF0多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2022年6月8日振动力学53稳态响应振幅（复振幅）：稳态响应振幅（复振幅）： 0)()(0122222212121Ficmkickickicm
44、kkxx ickicmkF22220)(222222121)()()(ickicmkicmkk )()(22211222222211mmkicmkmkmk 主系统复振幅：主系统复振幅：)()()(2221122222221122201mmkicmkmkmkicmkFx 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2022年6月8日振动力学54主系统复振幅：主系统复振幅：)()()(2221122222221122201mmkicmkmkmkicmkFx 取模，得实振幅：取模，得实振幅：22221122222222112222201)()()()(mmkcm
45、kmkmkcmkFx 引入符号：引入符号：02001222110102,mcsmmmkmkkFaast 222222222222221)1()2()(1()2()(ssssssssxst 无量纲表达：无量纲表达：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2022年6月8日振动力学55222222222222221)1()2()(1()2()(ssssssssxst 0.60.70.80.911.11.21.30246810121416stx1s0 1 . 0 32. 0 201 1 取：取：10kFst110mk22mka12mm0a0s022mc多自由
46、度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2022年6月8日振动力学560.60.70.80.911.11.21.30246810121416stx1s分析：分析：0 当当 时，系统中无阻尼，两个共振频率点时，系统中无阻尼，两个共振频率点 s=0.895，1.12当当 s=1 时，反共振，主系统振幅为零时，反共振，主系统振幅为零0 1 . 0 32. 0 201 1 取：取：10kFst110mk22mka12mm0a0s022mc多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2022年6月8日振动力学570.60.70.8
47、0.911.11.21.30246810121416stx1s 当当 时，系统变成单自由度系统，共振点时，系统变成单自由度系统，共振点 s=0.9760 1 . 0 32. 0 201 1 取：取：10kFst110mk22mka12mm0a0s022mc多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2022年6月8日振动力学580.60.70.80.911.11.21.30246810121416stx1s10. 0 当当 和和 时，可见当时，可见当 s1 时，主系统振幅并不为零，但时，主系统振幅并不为零，但是和无阻尼系统的两个共振振幅相比，共振振幅明显下
48、降是和无阻尼系统的两个共振振幅相比，共振振幅明显下降32. 0 0 1 . 0 32. 0 201 1 取：取：10kFst110mk22mka12mm0a0s022mc多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2022年6月8日振动力学59stx1s无论阻尼取多少，所有曲线都过无论阻尼取多少，所有曲线都过 S、T 两点两点0.60.70.80.911.11.21.30246810121416实际设计有阻尼动力吸振器时，一般选取适当的实际设计有阻尼动力吸振器时，一般选取适当的 m2 与与 k2，使曲线在，使曲线在 S 和和 T 点有相同的幅值，并且适当选
49、取阻尼，使曲线在点有相同的幅值，并且适当选取阻尼，使曲线在 S、T 两点具有水平切线两点具有水平切线ST0 1 . 0 32. 0 201 1 取：取：10kFst110mk22mka12mm0a0s022mc多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2022年6月8日振动力学60 模态叠加法模态叠加法模态叠加法可用于分析多自由度系统的受迫振动模态叠加法可用于分析多自由度系统的受迫振动 前面讨论的外部激励为简谐激励，因此可采用前面讨论的外部激励为简谐激励，因此可采用tieXX 直接法进行求解直接法进行求解 当外部激励不是简谐激励时，则不能用直接法，此时可
50、采当外部激励不是简谐激励时，则不能用直接法，此时可采用模态叠加法用模态叠加法下面先用模态叠加法对简谐激励的多自由度系统的受迫振下面先用模态叠加法对简谐激励的多自由度系统的受迫振动进行求解，以进一步阐述多自由度系统的共振特性动进行求解，以进一步阐述多自由度系统的共振特性然后采用模态叠加法对任意外部激励时系统的响应进行求解然后采用模态叠加法对任意外部激励时系统的响应进行求解多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动2022年6月8日振动力学61简谐激励时的情况简谐激励时的情况 n自由度系统：自由度系统：tie0FKXXM nRXpXX tipppppeFXK
