1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 3 课时 导数与函数的综合应用 一、选择题 1某公司生产某种产品，固定成本为 20 000 元，每生产一单位产品，成本增加 100 元，已知总营业收入 R与年产量 x的年关系是 R R(x)? 400x 12x2， 0 x400 ，80 000， x400，则总利润最大时，年产量是 ( ) A 100 B 150 C 200 D 300 解析 由题意得，总成本函数为 C C(x) 20 000 100 x， 总利润 P(x)? 300x x22 20 000， 0 x400 ，60 000 100x， x400，又 P( x)? 300 x， 0 x400
2、 ， 100， x400， 令 P( x) 0，得 x 300，易知 x 300 时，总利润 P(x)最大 答案 D 2设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(2) 0，当 x0 时，有 xf x f xx2 0 的解集是 ( ) A ( 2,0) (2， ) B ( 2,0) (0,2) C ( ， 2) (2， ) D ( ， 2) (0,2) 解析 x0 时 ? ?f xx 0，此时 x2f(x)0. 又 f(x)为奇函数， h(x) x2f(x)也为奇函数 故 x2f(x)0 的解集为 ( ， 2) (0,2) 答案 D 3若关于 x 的不等式 x3 3x2 9x 2 m 对任意
3、 x 2,2恒成立，则 m 的取值范围是 ( ) A ( ， 7 B ( ， 20 C ( ， 0 D 12,7 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 令 f(x) x3 3x2 9x 2，则 f( x) 3x2 6x 9，令 f( x) 0 得 x 1 或 x 3(舍去 ) f( 1) 7， f( 2) 0， f(2) 20， f(x)的最小值为 f(2) 20，故 m 20. 答案 B 4 (2017 景德镇联考 )已知函数 f(x)的定义 域为 1,4，部分对应值如下表： x 1 0 2 3 4 f(x) 1 2 0 2 0 f(x)的导函数 y f( x)的图像如图所示当 10，则
4、a 的取值范围是 ( ) A (2， ) B (1， ) C ( ， 2) D ( ， 1) 解析 a 0 时，不符合题意， a0 时， f( x) 3ax2 6x. =【 ;精品教育资源文库 】 = 令 f( x) 0，得 x 0 或 x 2a. 若 a0，则由图像知 f(x)有负数零点，不符合题意 则 a0 知，此时必有 f? ?2a 0，即 a 8a3 3 4a2 10， 化简得 a24. 又 a0)，为使耗电量最小，则速度应定为 _ 解析 由 y x2 39x 40 0， 得 x 1 或 x 40， 由于 040 时， y0. 所以当 x 40 时， y 有最小值 答案 40 7已知函
5、数 y x3 3x c 的图像与 x 轴恰有两个公共点，则 c _. 解析 设 f(x) x3 3x c， 对 f(x)求导可得， f( x) 3x2 3， 令 f( x) 0，可得 x 1 ， 易知 f(x)在 ( ， 1)， (1， ) 上单调递增， 在 ( 1,1)上单调递减 若 f(1) 1 3 c 0，可知 c 2； 若 f( 1) 1 3 c 0，可得 c 2. 答案 2 或 2 8 (2017 长沙调研 )定义域为 R的可导函数 y f(x)的导函数为 f( x)，满足 f(x)f( x)，且 f(0) 1，则不等式 f xex 0，所以不等式的解集为 (0， ) 答案 (0，
6、) 三、解答题 9据环保部门侧定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比 ，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为 k(k0)现已知相距 18 km 的 A， B 两家化工厂 (污染源 )的污染强度分别为 a， b，它们连线上任意一点 C 处的污染指数 y 等于两化工厂对该处的污染指数之和设 AC x(km) (1)试将 y 表示为 x 的函数； (2)若 a 1，且 x 6 时， y 取得最小值，试求 b 的值 解 (1)设点 C 受 A 污染源污染程度为 kax2， 点 C 受 B 污染源污染程度为 kb x 2， 其中 k 为比例系数，且 k0，从而点 C 处受污染程度 y kax2 k
7、b x 2. (2)因为 a 1，所以， y kx2 kb x 2， y k? ? 2x3 2b x 3 ， 令 y 0，得 x 181 3 b， 又此时 x 6，解得 b 8，经验证符合题意，所以，污染源 B 的污染强度 b 的值为 8. 10 (2017 榆林月考 )已知函数 f(x) ln x x22 . (1)求函数 f(x)的单调递增区间； (2)证明：当 x1 时， f(x)0 得? x0，x2 x 10. 解得 01 时， F(x)1 时， f(x)1 时， f(x)0， g(x) 6x2 2x 1 的 200 恒成立，故 f( x)0 恒成立， 即 f(x)在定义域上单调递增，
8、无极值点 答案 A 12 (2017 山东省实验中学诊断 )若函数 f(x)在 R 上可导，且满足 f(x) xf( x)0，则 ( ) A 3f(1)f(3) C 3f(1) f(3) D f(1) f(3) 解析 由于 f(x)xf( x)，则 ? ?f xx xf x f xx2 f(3) 答案 B 13 (2017 安徽江南名校联考 )已知 x (0,2)，若关于 x 的不等式 xex0. 即 kx2 2x 对任意 x (0,2)恒成立，从而 k0 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 因此 由原不等式，得 k0，函数 f(x)在 (1,2)上单调递增，当x (0,1)时， f( x)
9、0. (1)求 f(x)的单调区间和极值； (2)证明：若 f(x)存在零点，则 f(x)在区间 (1， e上仅有一个零点 (1)解 由 f(x) x22 kln x(k0)， 得 x0 且 f( x) x kx x2 kx . 由 f( x) 0，解得 x k(负值舍去 ) f(x)与 f( x)在区间 (0， ) 上的情况如下： x (0， k) k ( k， ) f( x) 0 f(x) k ln k2 所以 f(x)的单调递减区间是 (0， k)，单调递增区间是 ( k， ) f(x)在 x k处取得极小值 f( k) k ln k2 . (2)证明 由 (1)知， f(x)在区间 (0， ) 上的最小值为 f( k) k ln k2 . 因为 f(x)存在零点，所以 k ln k2 0 ，从而 ke. 当 k e 时， f(x)在区间 (1， e)上单调递减，且 f( e) 0，所以 x e是 f(x)在区间(1， e上的唯一零点 当 ke 时， f(x)在区间 (0， e)上单调递减，且 f(1) 120， f( e) e k2 0， 所以 f(x)在区间 (1， e上仅有一 个零点 综上可知，若 f(x)存在零点，则 f(x)在区间 (1， e上仅有一个零点 .
