1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 5.1 平面向量的概念及线性运算 最新考纲 考情考向分析 1.了解向量的实际背景 2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义 3.理解向量的几何表示 4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义 . 主要考查平面向量的线性运算 (加法、减法、数乘向量 )及其几何意义、共线向量定理常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目偶尔会在解答题 中作为工具出现 . 1向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既
2、有 大小 ，又有 方向 的量；向量的大小叫作向量的 长度 (或称 模 ) 平面向量是自由向量 零向量 长度为 0 的向量；其方向是任意的 记作 0 单位向量 长度等于单位 1 的向量 非零向量 a 的单位向量为 a|a| 平行向量(共线向量 ) 表示两个向量的有向线段所在的直线平行 或 重合 0 与任一向量 平行 或共线 相等向量 长度 相等 且方向 相同 的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度 相等 且方向 相反 的向量 0 的相反向量为 0 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则 (或几何意义 ) 运算律 =【 ;精品教育资源文库 】 = 加法 求两个向量和的运算 (
3、3)交换律： a b b a； (4)结合律： (a b) c a (bc) 减法 求 a 与 b 的相反向量 b 的和的运算 a b a ( b) 数乘 求实数 与向量 a的积的运算 (6)| a| | |a|； (7)当 0 时， a 与 a的方向 相同 ；当 0 时， a 与 a 的方向 相反 ；当 0 时， a 0 (8) ( a)( )a； (9)( )a a a； (10) (a b) a b 3.向量共线的判定定理 a 是一个非零向量，若存在一个实数 ，使得 b a，则向量 b 与非零向量 a 共线 知识拓展 1一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向
4、量终点的向量，即 A1A2 A2A3 A3A4 ? An 1An A1An ，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量 2若 P 为线段 AB 的中点， O 为平面内任一点，则 OP 12(OA OB ) 3.OA OB OC ( ， 为实数 )，若点 A， B， C 共线，则 1. 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)向量与有向线段是一样的，因此 可以用有向线段来表示向量 ( ) (2)|a|与 |b|是否相等与 a， b 的方向无关 ( ) (3)若 a b， b c，则 a c.( ) (4)若向量 AB 与向量 CD 是共线向量，
5、则 A， B， C， D 四点在一条直线上 ( ) (5)当两个非零向量 a， b 共线时，一定有 b a，反之成立 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = (6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反 ( ) 题组二 教材改编 2已知 ?ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，且 OA a， OB b，则 DC _， BC _.(用 a， b 表示 ) 答案 b a a b 解析 如图， DC AB OB OA b a， BC OC OB OA OB a b. 3在平行四边形 ABCD 中，若 |AB AD | |AB AD |，则四边形 ABCD 的形状为 _ 答案 矩形 解析
6、 如图，因为 AB AD AC ， AB AD DB ，所以 |AC | |DB |. 由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形 ABCD 是矩形 题组三 易错自纠 4对于非零向量 a， b， “ a b 0” 是 “ a b” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条 件 D既不充分又不必要条件 答案 A 解析 若 a b 0，则 a b，所以 a b. 若 a b，则 a b 0 不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件 5设向量 a， b 不平行，向量 a b 与 a 2b 平行，则实数 _. 答案 12 解析 向量 a， b 不平行， a 2b 0，又向量 a b
7、与 a 2b 平行，则存在唯一的实数 ，使 a b (a 2b)成立，即 a b a 2 b，则? ，1 2 ， 解得 12. 6设 D， E 分别是 ABC 的边 AB， BC 上的点， AD 12AB， BE 23BC.若 DE 1AB 2AC ( 1， 2为实数 )，则 1 2的值为 _ 答案 12 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 DE DB BE 12AB 23BC 12AB 23(BA AC ) 16AB 23AC ， 1 16， 2 23，即 1 2 12. 题型一 平面向量的概念 1有下列命题： 两个相等向量，它们的起点相同，终点也相同； 若 |a| |b|，则 a b；
8、 若 |AB | |DC |，则四边形 ABCD 是平行四边形； 若 m n， n k，则 m k； 若 a b， b c，则 a c； 有向线段就是向量，向量就是有向线段其中，假命题的个数是 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 答案 C 解析 对于 ，两个相等向量，它们的起点相同，终点也相同， 正确；对于 ，若 |a|b|，方向不确定，则 a， b 不一定相等， 错误；对于 ，若 |AB | |DC |， AB ， DC 不一定相等， 四边形 ABCD 不一定是平行四边形， 错误；对于 ，若 m n， n k，则 m k， 正确；对于 ，若 a b， b c，当 b 0 时， a c 不
9、一定成立， 错误；对于 ，有向线段不是向 量，向量可以用有向线段表示， 错误综上，假命题是 ，共 4 个，故选 C. 2设 a0为单位向量， 若 a 为平面内的某个向量，则 a |a|a0； 若 a 与 a0平行，则 a|a|a0； 若 a 与 a0平行且 |a| 1，则 a a0.上述命题中，假命题的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 答案 D 解析 向量是既有大小又有方向的量， a 与 |a|a0 的模相同，但方向不一定相同，故 是假命题；若 a 与 a0平行，则 a 与 a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a|a|a0，故 也是假命题综上 所述，假命题的个数是
10、3. 思维升华 向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度 (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制 (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等 =【 ;精品教育资源文库 】 = (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度 (5)零向量的关键是长度是 0，规定零向量与任何向量共线 题型二 平面向量的线性运算 命题点 1 向量的线性运算 典例 (1)(2018 届贵州遵义航天高级中学一模 )如图所示，向量 OA a， OB b， OC c， A， B，C 在一条直线上，且 AC 3CB ，则 ( ) A c 32b 12a B c 32a 12b C c a 2b D c
11、 a 2b 答案 A 解析 由 AC 3CB ，可得 OC OA 3(OB OC )， 则 OC 32OB 12OA 32b 12a，故选 A. (2)(2017 青海西宁一模 )如图，在 ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 CD 2DB，点 E 在 AD 边上，且 AD 3AE，则用向量 AB ， AC 表示 CE 为 ( ) A.29AB 89AC B.29AB 89AC C.29AB 79AC D.29AB 79AC 答案 B 解析 由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得 CE AE AC 13AD AC 13(AB 13BC ) AC 13? ?AB 13?AC AB ? AC
12、 29AB 89AC . =【 ;精品教育资源文库 】 = 命题点 2 根据向量线性运算求参数 典例 (1)(2018 届河北省武邑中学调研 ) 如图，在平行四边形 ABCD 中， AC， BD 相交于点 O，E 为线段 AO 的中点若 BE BA BD ( ， R)，则 等于 ( ) A 1 B.34 C.23 D.12 答案 B 解析 E 为线段 AO 的中点， BE 12BA 12BO 12BA 12? ?12BD 12BA 14BD BA BD ， 12 14 34，故选 B. (2)在 ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且 BC 3CD ，点 O 在线段 CD 上 (与点
13、 C， D 不重合 )，若 AO xAB (1 x)AC ，则 x 的取值范围是 ( ) A.? ?0， 12 B.? ?0， 13 C.? ? 12， 0 D.? ? 13， 0 答案 D 解析 设 CO yBC ， AO AC CO AC yBC AC y(AC AB ) yAB (1 y)AC . BC 3CD ，点 O 在线段 CD 上 (与点 C， D 不重合 )， y ? ?0， 13 ， AO xAB (1 x)AC ， x y， x ? ? 13， 0 . 思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)向量加法或减法的几何意义向量加法和减法均适合三角形法则 (2)求已知向量的和一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则 (3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值 跟踪训练 (1)(2017 江西赣州二模 )如图，已知 AB a， AC b， DC 3BD ， AE 2EC ，则 DE 等于 ( ) A.34b 13a B.512a 34b C.34a 13b D.512b 34a 答案 D 解析 由平面向量的三角形法则可知， DE DC CE 34BC ? ? 13AC 34(AC AB
