1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 9.2 两条直线的位置关系 最新考纲 考情考向分析 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离 . 以考查两条直线的位置关系、两点间的距离、点到直线的距离、两条直线的交点坐标为主，有时也会与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特别是距离公式，是高考考查的重点 . 1两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 两条直线平行： () 对于两条不重合的直线 l1， l2，若其斜率分别为 k
2、1， k2，则有 l1 l2?k1 k2. () 当直线 l1， l2不重合且斜率都不存在时， l1 l2. 两条直线垂直： () 如果两条直线 l1， l2的斜率存在，设为 k1， k2，则有 l1 l2?k1 k2 1. () 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为 0 时， l1 l2. (2)两条直线的交点 直线 l1： A1x B1y C1 0， l2： A2x B2y C2 0，则 l1 与 l2 的交点坐标就是方程组? A1x B1y C1 0，A2x B2y C2 0 的解 2几种距离 (1)两点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)之间的距离 |P1P2| ?x
3、2 x1?2 ?y2 y1?2. (2)点 P0(x0， y0)到直线 l： Ax By C 0 的距离 =【 ;精品教育资源文库 】 = d |Ax0 By0 C|A2 B2 . (3)两条平行线 Ax By C1 0 与 Ax By C2 0(其中 C1 C2)间的距离 d |C1 C2|A2 B2 . 知识拓展 1直线系方程 (1)与直线 Ax By C 0 平行的直线系方程是 Ax By m 0(m R 且 m C) (2)与直线 Ax By C 0 垂直的直线系方程是 Bx Ay n 0(n R) 2两直线平行或重合的充要条件 直线 l1： A1x B1y C1 0 与直线 l2：
4、A2x B2y C2 0 平行或重合的充要条件是 A1B2 A2B10. 3两直线垂直的充要条件 直线 l1： A1x B1y C1 0 与直线 l2： A2x B2y C2 0 垂直的充要条件是 A1A2 B1B2 0. 4过直线 l1： A1x B1y C1 0 与 l2： A2x B2y C2 0 的交点的直线系方程为 A1x B1y C1 (A2x B2y C2) 0( R)，但不包括 l2. 5点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式 (2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且 x， y 的系数对应相等 题组一 思考辨析 1
5、判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)当直线 l1和 l2斜率都存在时，一定有 k1 k2?l1 l2.( ) (2)如果两条直线 l1与 l2垂直，则它 们的斜率之积一定为 1.( ) (3)已知直线 l1： A1x B1y C1 0， l2： A2x B2y C2 0(A1， B1， C1， A2， B2， C2为常数 )，若直线 l1 l2，则 A1A2 B1B2 0.( ) (4)点 P(x0， y0)到直线 y kx b 的距离为 |kx0 b|1 k2 .( ) (5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离 ( ) (6)若点 A， B 关于
6、直线 l： y kx b(k0) 对称，则直线 AB 的斜率等于 1k，且线段 AB 的中点在直线 l 上 ( ) 题组二 教材改编 2已知点 (a,2)(a0)到直线 l： x y 3 0 的距离为 1，则 a 等于 ( ) A. 2 B 2 2 C. 2 1 D. 2 1 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 C 解析 由题意得 |a 2 3|1 1 1. 解得 a 1 2或 a 1 2. a0， a 1 2. 3已知 P( 2， m)， Q(m,4)，且直线 PQ 垂直于直线 x y 1 0，则 m . 答案 1 解析 由题意知 m 4 2 m 1，所以 m 4 2 m， 所以 m 1
7、. 题组三 易错自纠 4 (2017 郑州调研 )直线 2x (m 1)y 4 0 与直线 mx 3y 2 0 平行，则 m 等于 ( ) A 2 B 3 C 2 或 3 D 2 或 3 答案 C 解析 直线 2x (m 1)y 4 0 与直线 mx 3y 2 0 平行，则有 2m m 13 4 2，故 m 2或 3.故选 C. 5 直线 2x 2y 1 0， x y 2 0 之间的距离是 答案 3 24 解析 先将 2x 2y 1 0 化为 x y 12 0， 则两平行线间的距离为 d ? ?2 122 3 24 . 6若直线 (3a 2)x (1 4a)y 8 0 与 (5a 2)x (a
8、 4)y 7 0 垂直，则 a . 答案 0 或 1 解析 由两直线垂直的充要条件， 得 (3a 2)(5a 2) (1 4a)(a 4) 0，解得 a 0 或 a 1. 题型一 两条直线的位置关系 典例 (2018 青岛模拟 )已知两条直线 l1： ax by 4 0 和 l2： (a 1)x y b 0，求满足下列条件的 a， b 的值 (1)l1 l2，且 l1过点 ( 3， 1)； (2)l1 l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 (1)由已知可得 l2的斜率存在，且 k2 1 a. 若 k2 0，则 1 a 0， a 1. l1 l2，直线 l
9、1的斜率 k1必不存在，即 b 0. 又 l1过点 ( 3， 1)， 3a 4 0，即 a 43(矛盾 )， 此种情况不存在， k20 ，即 k1， k2都存在且不为 0. k2 1 a， k1 ab， l1 l2， k1k2 1，即 ab(1 a) 1.(*) 又 l1过点 ( 3， 1)， 3a b 4 0.(*) 由 (*)(*)联立，解得 a 2， b 2. (2) l2的斜率存在， l1 l2， 直线 l1的斜率存在， k1 k2，即 ab 1 a， 又 坐标原点到这两条直线的距离相等，且 l1 l2， l1， l2在 y 轴上的截距互为相反数，即 4b b， 联立 ，解得? a 2
10、，b 2 或 ? a 23，b 2. a 2， b 2 或 a 23， b 2. 思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况同时还要注意 x， y 的系数不能同时为零这一隐含条件 (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论 跟踪训练 已知直线 l1： ax 2y 6 0 和直线 l2： x (a 1)y a2 1 0. (1)试判断 l1与 l2是否平行； (2)当 l1 l2时，求 a 的值 解 (1)方法一 当 a 1 时， l1： x 2y 6 0， l2： x 0， l1不平行于 l2； 当
11、 a 0 时， l1： y 3， l2： x y 1 0， l1不平行于 l2； =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 a1 且 a0 时，两直线可化为 l1： y a2x 3， l2： y 11 ax (a 1)， l1 l2? a211 a， 3 ?a 1?，解得 a 1， 综上可知，当 a 1 时， l1 l2. 方法二 由 A1B2 A2B1 0， 得 a(a 1) 12 0， 由 A1C2 A2C10 ， 得 a(a2 1) 160 ， l1 l2? a?a 1? 12 0，a?a2 1? 160 ， ? a2 a 2 0，a?a2 1?6 ， 可得 a 1， 故当 a 1 时， l
12、1 l2. (2)方法一 当 a 1 时， l1： x 2y 6 0， l2： x 0， l1与 l2不垂直，故 a 1 不成立； 当 a 0 时， l1： y 3， l2： x y 1 0， l1不垂直于 l2， 故 a 0 不成立； 当 a1 且 a0 时， l1： y a2x 3， l2： y 11 ax (a 1)， 由 ? ? a2 11 a 1，得 a 23. 方法二 由 A1A2 B1B2 0，得 a 2(a 1) 0， 可得 a 23. 题型二 两直线的交点与距离问题 1已知直线 y kx 2k 1 与直线 y 12x 2 的交点位于第一象限，则实数 k 的取值范围是 答案 ?
13、 ? 16， 12 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 方法一 由方程组? y kx 2k 1，y 12x 2， 解得? x 2 4k2k 1，y 6k 12k 1.(若 2k 1 0，即 k 12，则两直线平行 ) 交点坐标为 ? ?2 4k2k 1， 6k 12k 1 . 又 交点位于第一象限， ? 2 4k2k 1 0，6k 12k 1 0，解得 16 k 12. 方法二 如图，已知直线 y 12x 2 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A(4,0)， B(0,2) 而直线方程 y kx 2k 1 可变形为 y 1 k(x 2)，表示这是一条过定点 P( 2,1)，斜率为 k 的动直线
14、 两直线的交点在第一象限， 两直线的交点必在线段 AB 上 (不包括端点 )， 动直线的斜率 k 需满足 kPA k kPB. kPA 16， kPB 12. 16 k 12. 2若直线 l过点 P( 1,2)且到点 A(2,3)和点 B( 4,5)的距离相等，则直线 l的方程为 答案 x 3y 5 0 或 x 1 解析 方法一 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y 2 k(x 1)，即 kx y k 2 0. =【 ;精品教育资源文库 】 = 由题意知 |2k 3 k 2|k2 1 | 4k 5 k 2|k2 1 ， 即 |3k 1| | 3k 3|， k 13. 直线 l 的
15、方程为 y 2 13(x 1)，即 x 3y 5 0. 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x 1，也符合题意 方法二 当 AB l 时，有 k kAB 13， 直线 l 的方程为 y 2 13(x 1)， 即 x 3y 5 0. 当 l 过 AB 的中点时， AB 的中点为 ( 1,4) 直线 l 的方程为 x 1. 故所求直线 l 的方程为 x 3y 5 0 或 x 1. 思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法 先求出两直线的 交点坐标，再结合其他条件写出直线方程 (2)利用距离公式应注意： 点 P(x0， y0)到直线 x a 的距离 d |x0 a|，到直线 y b 的距离 d |y0 b|； 两平行线间的距离公式要把两直线方程中 x， y 的系数化为相等
