1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 2 课时 定点、定值、范围、最值问题 一、选择题 1设抛物线 y2 8x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是 ( ) A.? ? 12， 12 B 2,2 C 1,1 D 4,4 解析 Q( 2,0)，设直线 l 的方程为 y k(x 2)，代入抛物线方程，消去 y 整理得 k2x2 (4k2 8)x 4k2 0，由 (4k2 8)2 4k24 k2 64(1 k2)0 ，解得 1 k1. 答案 C 2 (2017 石家庄模拟 )已知 P 为双曲线 C： x29y216 1 上的点，点 M 满
2、足 |OM| 1，且 OM PM 0，则当 |PM|取得最小值时点 P 到双曲线 C 的渐近线的距离为 ( ) A.95 B.125 C 4 D 5 解析 由 OM PM 0，得 OM PM，根据勾股定理，求 |MP|的最小值可以转化为求 |OP|的最小值，当 |OP|取得最小值时，点 P 的位置为双曲线的顶点 (3,0) ，而双曲线的渐近线为 4x3 y 0， 所求的距离 d 125 ，故选 B. 答案 B 3已知椭圆 C 的方程为 x216y2m2 1(m 0)，如果直线 y22 x 与椭圆的一个交点 M 在 x 轴上的射影恰好是 椭圆的右焦点 F，则 m 的值为 ( ) A 2 B 2
3、2 C 8 D 2 3 解析 根据已知条件得 c 16 m2， 则点 ( 16 m2， 22 16 m2)在椭圆 x216y2m2 1(m0)上 ， 16 m216 16 m22m2 1， 可得 m 2 2. 答案 B =【 ;精品教育资源文库 】 = 4若双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的渐近线与抛物线 y x2 2 有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是 ( ) A 3， ) B (3， ) C (1,3 D (1,3) 解析 依题意可知双曲线渐近线方程为 y bax，与抛物线方程联立消去 y 得 x2 bax 2 0. 渐近线与抛物线有交点， b2a2 80 ，求得 b
4、28 a2， c a2 b23 a， e ca3. 答案 A 5 (2017 宝鸡一模 )斜率为 1 的直线 l 与椭圆 x24 y2 1 相交于 A， B 两点，则 |AB|的最大值为 ( ) A 2 B.4 55 C.4 105 D.8 105 解析 设 A， B 两点的坐标分别为 (x1， y1)， (x2， y2)， 直线 l 的方程为 y x t，由? x2 4y2 4，y x t 消去 y， 得 5x2 8tx 4(t2 1) 0， 则 x1 x2 85t， x1x2 t25 . |AB| 1 k2|x1 x2| 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 2 ? ? 85t 2 4 t
5、25 4 25 5 t2， 当 t 0 时， |AB|max 4 105 . 答案 C 二、填空题 6已知双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的一条渐近线方程是 y 3x，它的一个焦点与抛物线 y2 16x 的焦点相同，则双曲线的方程为 _ 解析 由条件知双曲线的焦点为 (4,0)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以? a2 b2 16，ba 3，解得 a 2， b 2 3， 故双曲线方程为 x24y212 1. 答案 x24y212 1 7已知动点 P(x， y)在椭圆 x225y216 1 上，若 A 点坐标为 (3,0)， |AM| 1，且 PM AM 0，则 |PM|
6、的最小值是 _ 解析 PM AM 0， AM PM. |PM|2 |AP|2 |AM|2 |AP|2 1， 椭圆右顶点到右焦点 A 的距离最小， 故 |AP|min 2， |PM|min 3. 答案 3 8 (2017 平顶山模拟 )若双曲线 x2 y2b2 1(b 0)的一条渐近线与圆 x2 (y 2)2 1 至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是 _ 解析 双曲线的渐近线方程为 y bx，则有 |0 2|1 b21 ，解得 b23 ，则 e2 1 b24 ， e 1， 1 e2. 答案 (1,2 三、解答题 9.如图，椭圆 E： x2a2y2b2 1(ab0)的离 心率是22 ，点
7、P(0,1)在短轴 CD 上，且 PC PD1. (1)求椭圆 E 的方程； (2)设 O为坐标原点，过点 P的动直线与椭圆交于 A， B两点是否存在常数 ，使得 OA OB=【 ;精品教育资源文库 】 = PA PB为定值？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由 解 (1)由已知，点 C， D 的坐标分别为 (0， b)， (0， b) 又点 P 的坐标为 (0,1)，且 PC PD 1， 于是? 1 b2 1，ca22 ，a2 b2 c2.解得 a 2， b 2. 所以椭圆 E 方程为 x24y22 1. (2)当直线 AB 的斜率存在时， 设直线 AB 的方程为 y kx 1， A， B
8、 的坐标分别为 (x1， y1)， (x2， y2) 联立? x24y22 1，y kx 1，得 (2k2 1)x2 4kx 2 0. 其判别式 (4k)2 8(2k2 1)0， 所以， x1 x2 4k2k2 1， x1x2 22k2 1. 从而， OA OB PA PB x1x2 y1y2 x1x2 (y1 1)(y2 1) (1 )(1 k2)x1x2 k(x1 x2) 1 2 k2 2 2k2 1 12k2 1 2. 所以，当 1 时， 12k2 1 2 3. 此时， OA OB PA PB 3 为定值 当直线 AB 斜率不存在时，直线 AB 即为直线 CD， 此时 OA OB PA
9、PB OC OD PC PD 2 1 3， 故存在常数 1，使得 OA OB PA PB为定值 3. 10 (2016 浙江卷 )如图，设椭圆 x2a2 y2 1(a 1) =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求直线 y kx 1 被椭圆截得的线段长 (用 a， k 表示 )； (2)若任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点，求椭圆离心率的取值范围 解 (1)设直线 y kx 1 被椭圆截得的线段为 AM，由? y kx 1，x2a2 y2 1， 得 (1 a2k2)x22a2kx 0. 故 x1 0， x2 2a2k1 a2k2， 因此 |AM| 1 k2|x1 x2
10、| 2a2|k|1 a2k2 1 k2. (2)假设圆与椭圆的公共点有 4 个，由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 P，Q，满足 |AP| |AQ|. 记直线 AP， AQ 的斜率分别为 k1， k2，且 k1， k2 0， k1 k2. 由 (1)知 |AP| 2a2|k1| 1 k211 a2k21 ， |AQ|2a2|k2| 1 k221 a2k22 ， 故 2a2|k1| 1 k211 a2k21 2a2|k2| 1 k221 a2k22 ， 所以 (k21 k22)1 k21 k22 a2(2 a2)k21k22 0. 由于 k1 k2， k1， k2 0 得 1 k21
11、 k22 a2(2 a2)k21k22 0， 因此 ? ?1k21 1 ? ?1k22 1 1 a2(a2 2)， 因为 式关于 k1， k2的方程有解的充要条件是 1 a2(a2 2) 1，所以 a 2. 因此，任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点的充要条件为 1 a 2， 由 e ca a2 1a 得，所求离心率的取值范围是 ?0， 22 . 11 (2016 湖南师大附中月考 )设双曲线 C： x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的一条渐近线与抛物线y2 x 的一个交点的横坐标为 x0，若 x0 1，则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是 ( ) A.? ?1
12、， 62 B ( 2， ) C (1， 2) D.? ?62 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 不妨联立 y bax 与 y2 x 的方程，消去 y 得 b2a2x2 x，由 x0 1 知b2a2 1，即c2 a2a2 1，故 e2 2，又 e 1，所以 1 e 2，故选 C. 答案 C 12 (2017 河南省八市质检 )已知双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的离心率为 2，它的两条渐近线与抛物线 y2 2px(p 0)的准线分别交于 A， B 两点， O 为坐标原点若 AOB 的面积为 3，则抛物线的准线方程为 ( ) A x 2 B x 2 C x 1 D x 1
13、 解析 因为 e ca 2，所以 c 2a， b 3a，双曲线的渐近线方程为 y 3x，又抛物线的准线方程为 x p2，联立双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程得A? ? p2， 3p2 ， B? ? p2， 3p2 ，在 AOB 中， |AB| 3p，点 O 到 AB 的距离为 p2，所以12 3pp2 3，所以 p 2，所以抛物线的准线方程为 x 1，故选 D. 答案 D 13 (2017 合肥诊断 )若点 O 和点 F 分别为椭圆 x29y28 1 的中点和左焦点，点 P 为椭圆上的任一点，则 OP FP的最小值为 _ 解析 点 P 为椭圆 x29y28 1 上的任意一点，设 P(x，
14、y)( 3 x3 ， 2 2 y2 2)，依题意得左焦点 F( 1,0)， OP (x， y)， FP (x 1， y)， OP FP x(x 1) y2 x2 x 72 8x29 19?x 922 234. 3 x3 ， 32 x 92 152 ， 94 ? ?x 92 2 2254 ， 14 19? ?x 92 2 22536 ， 6 19? ?x 92 2 234 12 ，即 6 OP FP12 ，故最小值为 6. 答案 6 14 (2017 衡水中学高三联考 )已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(a b 0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线 3x 4y 6 0 与圆
15、x2 (y b)2 a2相切 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求椭圆 C 的方程； (2)已知过椭圆 C 的左顶点 A 的两条直线 l1， l2分别交椭圆 C 于 M， N 两点，且 l1 l2，求证：直线 MN 过定点，并求出定点坐标； (3)在 (2)的条件下求 AMN 面积的最大值 解 (1)由题意，得? a 2b，|4b 6|5 a，? a 2，b 1， 即 C： x24 y2 1. (2)由题意得直线 l1， l2的斜率存在且不为 0. A( 2,0)，设 l1： x my 2， l2： x 1my 2， 由? x my 2，x2 4y2 4 0， 得 (m2 4)y2 4my 0， M? ?2m2 8m2 4 ，4mm2 4 . 同理， N? ?2 8m24m2
