1、 20222022 年高考数学真题试卷（北京卷）年高考数学真题试卷（北京卷） 一、选择题共一、选择题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。要求的一项。 1已知全集 ，集合 ，则 （ ） A B C D 2若复数 满足 ，则 （ ） A1 B5 C7 D25 3若直线 是圆 的一条对称轴，则 （ ） A B C1 D-1 4已知函数 ，则对任意实数 ，有（ ） A B C D 5已知函数 ，则（ ） A 在 上单调递增 B 在 上单调递增 C 在 上单调递减 D 在
2、上单调递增 6设 是公差不为 0 的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献，如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 和 的关系，其中 表示温度，单位是 ； 表示压强，单位是 bar，下列结论中正确的是（ ） A当 ， 时，二氧化碳处于液态 B当 ， 时，二氧化碳处于气态 C当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态 D当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态 8若 ，则 （ ） A40 B4
3、1 C-40 D-41 9已知正三棱锥 的六条棱长均为 6， 是 及其内部的点构成的集合，设集合 ，则 表示的区域的面积为（ ） A B C D 10在 中， ， ， 为 所在平面内的动点，且 ，则 的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题共二、填空题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2525 分。分。 11函数 的定义域是 12已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 13若函数 的一个零点为 ，则 ； 14设函数 ，若 存在最小值，则 的一个取值为 ； 的最大值为 15已知数列 的各项均为正数，其前 项和 ，满足 给出下列四个结论： 的第 2 项小于 3； 为等比数
4、列； 为递减数列； 中存在小于 的项。 其中所有正确结论的序号是 三、解答题共三、解答题共 6 6 小题，共小题，共 8585 分。分。 16在 中， （I）求 ： （II）若 ，且 的面积为 ，求 的周长 17如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平面 ， ， 分别为 ， 的中点 （I）求证： 平面 ； （II）再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求 直线 与平面 所成角的正弦值。 条件： ； 条件： 注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分。 18在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到 9.50m 以上（含 9.50m）的同学将获得优秀奖，为预测
5、获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m） ： 甲：9.80， 9.70， 9.55， 9.54， 9.48， 9.42， 9.40， 9.35， 9.30， 9.25； 乙：9.78， 9.56， 9.51， 9.36， 9.32， 9.23； 丙：9.85， 9.65， 9.20， 9.16 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立 （I）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； （II）设 X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 的数学期望 ； （III）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估
6、计值最大？（结论不要求证明） 19已知椭圆 的一个顶点为 ，焦距为 （）求椭圆 的方程： （）过点 作斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点 ，直线 分别与 轴交于点 ，当 时，求 的值。 20已知函数 （）求曲线 在点 处的切线方程； （）设 ，讨论函数 在 上的单调性； （III）证明：对任意的 ，有 21已知 为有穷整数数列给定正整数 ，若对任意的 ，在 中存在 ，使得 ，则称 为 连续可表数列 （）判断 是否为 5-连续可表数列？是否为 连续可表数列？说明理由； （）若 为 连续可表数列，求证： 的最小值为 4； （）若 为 连续可表数列， ，求证： 答案解析部分答案解析部分 1 【答案
7、】D 2 【答案】B 3 【答案】A 4 【答案】C 5 【答案】C 6 【答案】C 7 【答案】D 8 【答案】B 9 【答案】B 10 【答案】D 11 【答案】 12 【答案】-3 13 【答案】1； 14 【答案】0（答案不唯一） ；1 15 【答案】 16 【答案】（I） ，根据正弦的二倍角公式可得 ，可得 ，所以 ； （II） ， ， ，由余弦定理 ，得 ，所以 周长为 . 17 【答案】（I）设点 P 为 AB 中点，由于 P 为 AB 中点，N 为 AC 中点所以 PN 为 中位线 又 M 为 AB 中点，PM 是正方形 的中位线 所以 面 面 又 面 平面 （II）选择条件，
8、面 面 面 面 ，面 面 又 ，又由： 面 面 故 两两垂直 以 B 为原点， 为 轴正方向， 为 轴正方向， 为 轴正方向建立坐标系 则 BMN 的法向量 AB 与面 BMN 所成角的正弦等于 与 所半余弦的绝对值，即 故所求正弦为 . 18 【答案】（I）由题意得：设甲在校运会铅球比赛中获优秀奖为事件 A： 比赛成绩达到 9.50m 以上获优秀奖，甲的比赛成绩达到 9.50 以上的有： 9.80，9.70，9.55，9.54 四个，所以甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为 ； （II）X 所有可能取值为 0，1，2，3 甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为 乙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概
9、率为事件 B，则 丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件 C，则 0 1 2 3 0.15 0.4 0.35 0.1 （III）甲的平均数： 乙的平均数： 丙的平均数： 甲的方差： 乙的方差： 丙的方差： 在校运动会铅球比赛中，乙获得冠军的概率估计值最大. 19 【答案】（）由已知 ()设直线 ， ， 联立 由 得 ， ， ， 由 ABM 共线得 由 得 即 即 解得 20 【答案】（） ，则 ，又 ， 故所求切线方程为 （） ， 又 ， 故 对 成立， 在 上单调递增 （III）证明：不妨设 ， 由拉格朗日中值定理可得： 其中 ，即 ，其中 ，即 由 在 上单调递增，故 证毕 21 【答案
10、】（） 若，则对于任意，所以 Q是 5-连续可表数列；由不存在任意连续若干项之和相加为 6，所以 Q 不是 6-连续可表数列； （）若 ，设为 a，b，c，则至多 6 种矛盾 满足 （）若 k5，则 至多可表 15 个数，矛盾，从而若 ，则 至多可表 21 个数，而 ，所以其中有负的，从而 a，b，c，d，e，f 可表 及那个负数（恰 21 个) 这表明 中仅一个负的，没有 0，且这个们的在 中绝对值最小，同时 中没有两数相同，设那个负数为 则所有数之和 ，再考虑排序 (仅一种方式) -1 与 2 相序 若-1 不在两端，则 2 _形式 若 ，则 (2 种方式矛盾) ，问理 ，故-1 在一端，不妨为 形式 右 ，则 (2 种矛盾) 同理不行 ，则 (2 种矛盾)从而 由 ，由表法唯一知 3，4 不相邻，故只能 或 这 2 种情形 对 矛后 对 也矛盾 综上
