1、数学高中数学人教版（2019）必修第二册（新高考）高一下册期末模拟一一、单选题1若复数满足，其中为虚数单位，则复数（ ）ABCD2在中，若，则边（ ）ABCD3人口普查是世界各国所广泛采用的搜集人口资料的一种科学方法，是提供全国基本人口数据的主要来源根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作，人口普查资料是制定人口政策的依据和前提截止目前，我国共进行了七次人口普查，下图是这七次普查的全国人口及年均增长率情况，下列说法正确的是（ ）A年均增长率逐次减小B年均增长率的极差是1.08%C这七次普查的人口数逐次增加，且第四次增幅最小D第七次普
2、查的人口数最多，且第三次增幅最大4下列命题正确的是（ ）ABCD5乡村旅游是以旅游度假为宗旨，以村庄野外为空间，以人文无干扰、生态无破坏为特色的村野旅游形式某机构随机调查了某地区喜欢乡村旅游的1000名游客，他们均从A，B，C，D，E5个平台中选择1个平台预订出游（每名游客只选择1个平台），得到一个不完整的统计图，如图所示已知在A平台预订出游的人数是在D平台预订出游的人数的1.5倍，则在D平台预订出游的人数为（ ）A170B200C210D3006已知两条不同的直线，和不重合的两个平面，且，则下列说法正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则7如图，四边形ABCD满足：若点M为线段BD上的
3、动点，则的最小值为（ ）ABCD8蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列人第一批国家非物质文化遗产名录已知某蹴鞠的表面上有四个点S、A、B、C，满足为正三棱锥，M是SC的中点，且，侧棱，则该蹴鞠的表面积为（ ）ABCD二、多选题9随着生活水平的不断提高，我国居民的平均身高也在增长.某市为了调查本市小学一年级男生身高情况，从某小学一年级随机抽取了100名同学进行身高测量，得到如下频率分布直方图，其中右侧三组小长方
4、形面积成等差数列.则下列说法正确的是（ ）A身高在范围内的频率为0.18B身高的众数的估计值为115C身高的中位数的估计值为125D身高的平均数的估计值为121.810已知复数(为虚数单位)，则下列说法中正确的是（ ）ABCD11在水流速度为的河水中，一艘船以的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是（ ）A这艘船航行速度的大小为B这艘船航行速度的大小为C这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为D这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为12如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的是（ ） AAC BEBEF/平面ABCDCA
5、EF的面积与BEF面积相等D三棱锥A-BEF的体积为定值三、填空题13已知向量，且，则_14中国传统文化博大精深，民间高人更是不计其数为推动湘西体育武术事业发展，加强全民搏击健身热度，让搏击这项运动融人人们的生活，“2021年中国湘西边城全国拳王争霸赛”于5月23日在花垣县体育馆举行某武术协会通过考核的方式从小郑、小汤、小王三人中挑选人员到现场观看“2021年中国湘四边城全国拳王争霸赛”，已知小郑小汤、小王三人通过考核的概率分别为，且三人是否通过考核相互独立，那么这三人中仅有两人通过考核的概率为_15沈阳方圆大厦是“世界上最具创意性和革命性的完美建筑”的美誉建筑，大厦立面以颇具传统文化意味的“
6、古钱币”为外形，借此预示着入驻大厦的业主财源广进，事业发达，也有人认为这是象征中国传统文化的天圆地方，若将“内方”视为空心，其正视图和侧视图如图所示，则其表面积为_.16在中，角、的对边分别为、，若，则_四、解答题17已知z是复数，且和都是实数，其中i是虚数单位（1）求复数z和；（2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围18已知（1）求与的夹角；（2）若，且，求实数t及19某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费元；重量超过的包裹，除收费元之外，超过的部分，每超出 (不足，按计算)需再收元.该公司将最近承揽的件包裹的重量统计如表：包裹重量（单位：）包裹件数公司对
7、近天，每天揽件数量统计如表：包裹件数范围包裹件数（近似处理）天数以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.（）计算该公司未来天揽件数在之间的概率；（）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员人，每人每天揽件不会超过件，且日工资为元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利?20如图，已知在中，点D在边的延长线上（1）求的长；（2）若，求的长21如图，在棱柱中，底面为平行四边形，且在底面上的投影恰为的中点（1）过作与垂直的平面，交棱于
8、点，试确定点的位置，并说明理由；（2）若二面角为，求棱柱的体积22某中学在2020年高考分数公布后对高三年级各班的成绩进行分析.经统计某班有名同学，总分都在区间内，将得分区间平均分成组，统计频数频率后，得到了如图所示的“频率分布”折线图.（1）请根据频率分布折线图，画出频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计该班级的平均分；（2）经过相关部门的计算，本次高考总分大于等于的同学可以获得高校的“强基计划”入围资格.高校的“强基计划”校考分为两轮.第一轮为笔试，所有入围同学都要参加，考试科目为数学和物理，每科的笔试成绩从高到低依次有，四个等级，两科中至少有一科得到，且两科均不低于，才能进入第二轮，第
9、二轮得到“通过的同学将被高校提前录取.已知入围的同学参加第一轮笔试时，总分高于分的同学在每科笔试中取得，的概率分别为，；总分不超过分的同学在每科笔试中取得，的概率分别为，；进入第二轮的同学，若两科笔试成绩均为，则免面试，并被高校提前录取；若两科笔试成绩只有一个，则要参加面试，总分高于分的同学面试“通过”的概率为，总分不超过分的同学面试“通过”的概率为，面试“通过”的同学也将被高校提前录取.若该班级考分前名都已经报考了高校的“强基计划”，且恰有人成绩高于分.求总分高于分的某位同学没有进入第二轮的概率；该班恰有两名同学通过“强基计划”被高校提前录取的概率.参考答案1B【分析】由复数除法的运算法则求
10、出复数，然后根据共轭复数的定义即可求解.【详解】解：由题意，所以.故选：B.2A【分析】本题可根据正弦定理得出结果.【详解】因为，所以，则，即，解得，故选：A.3D【分析】增幅其实就是增长率，不是增长量。增长率为正的时候，总人口都是增加的；增长率为负的时候，总人口才减少。看图，排除错误选项即可.【详解】对于A选项，由图可知第三次增幅最大，之后增幅减小，所以年增长率是先增后减的，故A错；对于B选项，极差为，故B错；对于C选项，第七次增幅最小，故C错；对于D选项，第七次普查的人口数最多，且第三次增幅最大，故正确故选：D4D【分析】根据向量加法、减法的几何意义即可判断出，都错误，正确，根据向量的数乘
11、运算即可判断错误【详解】解：，故选：5B【分析】根据扇形图列出关系式可解.【详解】设在平台预订出游的人数与在D平台预订出游的人数分别为，则，且，所以，所以.故选：B6B【分析】根据线线、线面、面面之间的空间关系，结合平面的基本性质即可判断各选项的正误.【详解】A：，则或，错误；B：，则，正确；C：，则或或或相交，错误；D：，则或或或相交，错误.故选：B.7B【分析】由题设有、，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴构建直角坐标系，则，设，利用向量数量积的坐标表示、结合二次函数的性质求最小值.【详解】由题意知：，有且，即，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴构建直角坐标系，设点，且满足，点，其中，当时
12、，的最小值为，故选：B【点睛】关键点点睛：构建坐标系，设且在上，利用向量数量积的坐标表示及二次函数性质求最值.8C【分析】由正三棱锥的性质，取AC中点N，连接BN、SN，易得、，由线面垂直的判定、性质有，再根据线面垂直的判定有平面，进而可知SA、SB、SC三条侧棱两两互相垂直，可求外接球半径并求表面积.【详解】取AC中点N，连接BN、SN，N为AC中点，同理，由，即平面SBN，又平面SBN，而且，平面，即且三棱锥是正三棱锥，SA、SB、SC三条侧棱两两互相垂直，而侧棱，正三棱锥的外接球的直径，得，其外接球的表面积，故选：C【点睛】关键点点睛：利用正三棱锥的性质，结合线面垂直的判定及性质证明三棱
13、锥三条侧棱两两垂直，进而求外接球半径和表面积.9ABD【分析】由题设，结合频率直方图可得、的频率分别为、，且频率最高的区间即可判断A、B的正误，设中位数且在区间，由即可求中位数，根据直方图的频率求平均数，即可判断C、D的正误.【详解】前三组的频率分别为，后三组的频率和为.右侧三组小长方形面积成等差数列，设的频率为，可得，而的频率为，则的频率为，A正确；B：由直方图知：频率最高的区间，所以身高的众数的估计值为115，正确；C：由图知：中位数在区间，所以得cm，错误；D：由题意：cm，正确；故选：ABD10AC【分析】由已知可得，由复数三角形式的乘方运算，即可判断各选项的正误.【详解】由，A：，正
14、确；B：，错误；C：由B知：，正确；D：，错误；故选：AC11BD【分析】根据题意作出图示，结合向量的平行四边形法则计算出船的速度以及船的航行方向和水流方向的夹角.【详解】设船的实际航行速度为，水流速度为，船的航行速度为，根据向量的平行四边形法则可知：，设船的航行方向和水流方向的夹角为，所以，所以，故选：BD.12ABD【分析】利用线面垂直的性质判断A，利用线面平行的判定定理判断B，利用同底不同高判断C，求出体积判断D.【详解】由于，故平面，所以，所以A正确；由于， 平面，平面，所以平面，故B正确；由于三角形和三角形的底边都是，而前者是到的距离，即的长为1，而后前者是到的距离，作垂直于底面，垂
15、足为，所以，连接，由于在中，是斜边，即，故C错误；连结BD交AC于O，由于平面，所以平面，因为，三棱锥A-BEF的体积为为定值，故三棱锥的体积为定值，故D正确.故选：ABD.【点睛】本小题主要考查空间两条直线垂直关系的判断，考查空间线面平行的判断，关键点是熟练掌握有关判断和性质，考查平面图形的面积和空间立体图形的体积的判断，属于基础题.13【分析】利用向量共线的坐标满足的条件，求出，然后解向量的模【详解】解：向量，且，可得,解得，则，故答案为：【点睛】本题考查向量的共线的坐标表示以及向量的和与差的模，考查计算能力14【分析】根据题意三人中仅有两人通过考核可看做3个互斥事件的和，利用互斥事件和的
16、概率公式求解.【详解】设这三人中仅有两人通过考核为事件，小郑、小汤、小王三人通过考核分别为事件，则，所以，所以故答案为：15【分析】根据几何体的正视图和侧视图，可得该几何体是圆柱体挖去一个直四棱柱而构成，则所以其表面积为圆柱的表面积加上“内方”的侧面积，减去上下两个正方形面积，从而可得答案.【详解】根据几何体的正视图和侧视图，可得该几何体是底面直径为100，高为40的圆柱体，挖去一个底面是正方形、高为40的直四棱柱而构成.所以其表面积为圆柱的表面积加上“内方”的侧面积，减去上下两个正方形面积. 故答案为：.16【分析】求出、的值，利用余弦定理可求得的值.【详解】因为，则，所以，即，则，解得，由
17、已知可得，解得，由余弦定理可得.故答案为：.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.17（1），；（2）【分析】（1）设，由已知列关于，的方程组求解；（2
18、）把（1）中求得的代入，整理后由实部与虚部均小于0联立不等式组求解【详解】解：（1）设，则，为实数，即为实数，则；所以，（2）由（1）得，依题意得，解得实数的取值范围是18（1）；（2）【分析】（1）求出，由数量积的运算律求得可得向量夹角；（2）计算，由，求出，然后由数量积的运算求出【详解】（1）由已知，所以，又，所以；（2）由题意，解得，所以【点睛】思路点睛：求向量的模，通常把模转化为数量积的运算，根据是19（1）；（2）元；裁员前期望值为1000元，裁员后期望值为元，不利.【分析】（1）由频率估计概率即可；（2）利用平均数公式直接求解即可；根据题意及（）（），揽件数每增加，可使前台工资和公
19、司利润增加（元），然后分别求出裁员前后公司每日利润的数学期望比较即可【详解】（）样本包裹件数在之间的天数为，频率，显然未来天中，包裹件数在之间的概率为（）（）样本中快递费用及包裹件数如下表：包裹重量（单位：）快递费（单位：元）包裹件数故样本中每件快递收取的费用的平均值为（元），故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为元（）根据题意及（）（），揽件数每增加，可使前台工资和公司利润增加（元），将题目中的天数转化为频率，得包裹件数范围包裹件数近似天数频率若不裁员，则每天可揽件的上限为件，公司每日揽件数情况如下：包裹件数近似实际揽件数频率故公司平均每日利润的期望值为（元）；若裁员人，则每天可揽件的
20、上限为件，公司每日揽件数情况如下：包裹件数近似实际揽件数频率故公司平均每日利润的期望值为（元）因，故公司将前台工作人员裁员人对提高公司利润不利.20(1) 3 (2) 7【分析】（1）由条件根据正弦定理可得，将条件代入可得答案.(2) 由题意由余弦定理可得，将条件代入可得答案.【详解】（1）在中，由正弦定理可得，所以（2）由题意，则 由余弦定理可得： 所以21（1）是中点，证明见解析；（2）【分析】（1）在平行四边形中证得，因此是中点时可得线面垂直；（2）二面角为，则二面角为，作出二面角的平面角，由二面角大小求得棱柱的高，然后可得体积【详解】（1）是中点，证明如下：平行四边形中，则，所以，取中
21、点，是中点，则，所以，又平面，平面，所以，平面，所以平面（2）二面角为，则二面角为，作交延长线于，连接，则是平行四边形，是中点，所以是中点，由是等边三角形，所以，所以，因此平面，所以平面，而平面，所以，平面，所以平面，又平面，所以，所以是二面角的平面角，所以，又，所以，所以棱柱为【点睛】方法点睛：本题考查证明线面垂直，已知二面角求参数值，求二面角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）22(1)直方图见解析，690分；(
22、2)；.【分析】(1)按照所分组，计算出对应的频率，并算出频率除以组距即可绘图，由给定条件估计班级平均分；(2)由频率分布直方图算出680到690分和高于690分的人数，利用对立事件即可得，把恰有两名同学通过“强基计划”被高校提前录取的事件进行分拆即可得.【详解】(1)频率分布直方图直方图，如图：该班平均分估计为；(2)总分大于等于680分的同学有人，由已知，其中有3人总分小于等于690分，2人总分大于690分，总分高于分的某位同学没有进入第二轮的概率；总分高于分的同学被高校提前录取的事件为M，总分不超过分的同学被高校提前录取的事件为N，该班恰有两名同学通过“强基计划”被高校提前录取的概率.【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.
