1、2022年全国高考甲卷数学（理）试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1若z=1+3i，则zzz1=（）A1+3iB13iC13+33iD1333i2某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3设全集U=2,1,0,1,2,3，集合A=1,2,
2、B=xx24x+3=0，则U(AB)=（）A1,3B0,3C2,1D2,04如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）A8B12C16D205函数y=3x3xcosx在区间2,2的图象大致为（）ABCD6当x=1时，函数f(x)=alnx+bx取得最大值2，则f(2)=（）A1B12C12D17在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30，则（）AAB=2ADBAB与平面AB1C1D所成的角为30CAC=CB1DB1D与平面BB1C1C所成的角为458沈括的梦溪笔谈是中国古代科技史上的杰作，其中收录
3、了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在AB上，CDAB“会圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式：s=AB+CD2OA当OA=2,AOB=60时，s=（）A11332B11432C9332D94329甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙若S甲S乙=2，则V甲V乙=（）A5B22C10D510410椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称若直线AP,AQ的斜率之积为14，则C的离心率为（）A32B22C12D1311设函数f(x)=s
4、inx+3在区间(0,)恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）A53,136B53,196C136,83D136,19612已知a=3132,b=cos14,c=4sin14，则（）AcbaBbacCabcDacb二、填空题13设向量a，b的夹角的余弦值为13，且a=1，b=3，则2a+bb=_14若双曲线y2x2m2=1(m0)的渐近线与圆x2+y24y+3=0相切，则m=_15从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为_16已知ABC中，点D在边BC上，ADB=120,AD=2,CD=2BD当ACAB取得最小值时，BD=_三、解答题17记Sn为数列an的前n项和已知
5、2Snn+n=2an+1(1)证明：an是等差数列；(2)若a4,a7,a9成等比数列，求Sn的最小值18在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD,CDAB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=3(1)证明：BDPA；(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值19甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望20设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为
6、F，点Dp,0，过F的直线交C于M，N两点当直线MD垂直于x轴时，MF=3(1)求C的方程；(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN,AB的倾斜角分别为,当取得最大值时，求直线AB的方程21已知函数fx=exxlnx+xa(1)若fx0，求a的取值范围；(2)证明：若fx有两个零点x1,x2，则x1x270%,所以A错；讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B对；讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错；讲座后问卷答题的正确率
7、的极差为100%80%=20%，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%60%=35%20%,所以D错.故选:B.3D【解析】【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.【详解】由题意，B=x|x24x+3=0=1,3，所以AB=1,1,2,3,所以U(AB)=2,0.故选：D.4B【解析】【分析】由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.【详解】由三视图还原几何体，如图，则该直四棱柱的体积V=2+4222=12.故选：B.5A【解析】【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令f(x)=(3x3x)cosx,x2,2，则f(x)=(3x3x)cos(
8、x)=(3x3x)cosx=f(x)，所以f(x)为奇函数，排除BD；又当x(0,2)时，3x3x0,cosx0，所以f(x)0，排除C.故选：A.6B【解析】【分析】根据题意可知f1=2，f1=0即可解得a,b，再根据fx即可解出【详解】因为函数fx定义域为0,+，所以依题可知，f1=2，f1=0，而fx=axbx2，所以b=2,ab=0，即a=2,b=2，所以fx=2x+2x2，因此函数fx在0,1上递增，在1,+上递减，x=1时取最大值，满足题意，即有f2=1+12=12故选：B.7D【解析】【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出【详解】如图所示：不妨设AB=a,AD=b,
9、AA1=c，依题以及长方体的结构特征可知，B1D与平面ABCD所成角为B1DB，B1D与平面AA1B1B所成角为DB1A，所以sin30=cB1D=bB1D，即b=c，B1D=2c=a2+b2+c2，解得a=2c对于A，AB=a，AD=b，AB=2AD，A错误；对于B，过B作BEAB1于E，易知BE平面AB1C1D，所以AB与平面AB1C1D所成角为BAE，因为tanBAE=ca=22，所以BAE30，B错误；对于C，AC=a2+b2=3c，CB1=b2+c2=2c，ACCB1，C错误；对于D，B1D与平面BB1C1C所成角为DB1C，sinDB1C=CDB1D=a2c=22，而0DB1C0，
10、因为x0,，所以x+33,+3，要使函数在区间0,恰有三个极值点、两个零点，又y=sinx，x3,3的图象如下所示：则52+33，解得136b；构造函数f(x)=cosx+12x21,x(0,+)，利用导数可得ba，即可得解.【详解】因为cb=4tan14,因为当x(0,2),sinxx14,即cb1,所以cb；设f(x)=cosx+12x21,x(0,+)，f(x)=sinx+x0，所以f(x)在(0,+)单调递增，则f14f(0)=0,所以cos1431320，所以ba,所以cba，故选：A1311【解析】【分析】设a与b的夹角为，依题意可得cos=13，再根据数量积的定义求出ab，最后根
11、据数量积的运算律计算可得【详解】解：设a与b的夹角为，因为a与b的夹角的余弦值为13，即cos=13，又a=1，b=3，所以ab=abcos=1313=1，所以2a+bb=2ab+b2=2ab+b2=21+32=11故答案为：111433【解析】【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可【详解】解：双曲线y2x2m2=1m0的渐近线为y=xm，即xmy=0，不妨取x+my=0，圆x2+y24y+3=0，即x2+y22=1，所以圆心为0,2，半径r=1，依题意圆心0,2到渐近线x+my=0的距离d
12、=2m1+m2=1，解得m=33或m=33（舍去）故答案为：3315635.【解析】【分析】根据古典概型的概率公式即可求出【详解】从正方体的8个顶点中任取4个，有n=C84=70个结果，这4个点在同一个平面的有m=6+6=12个，故所求概率P=mn=1270=635故答案为：6351631#1+3【解析】【分析】设CD=2BD=2m0，利用余弦定理表示出AC2AB2后，结合基本不等式即可得解.【详解】设CD=2BD=2m0，则在ABD中，AB2=BD2+AD22BDADcosADB=m2+4+2m，在ACD中，AC2=CD2+AD22CDADcosADC=4m2+44m，所以AC2AB2=4m
13、2+44mm2+4+2m=4m2+4+2m121+mm2+4+2m=412m+1+3m+14122m+13m+1=423，当且仅当m+1=3m+1即m=31时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，m=31.故答案为：31.17(1)证明见解析；(2)78【解析】【分析】（1）依题意可得2Sn+n2=2nan+n，根据an=S1,n=1SnSn1,n2，作差即可得到anan1=1，从而得证；（2）由（1）及等比中项的性质求出a1，即可得到an的通项公式与前n项和，再根据二次函数的性质计算可得(1)解：因为2Snn+n=2an+1，即2Sn+n2=2nan+n，当n2时，2Sn1+n12=2n1a
14、n1+n1，得，2Sn+n22Sn1n12=2nan+n2n1an1n1，即2an+2n1=2nan2n1an1+1，即2n1an2n1an1=2n1，所以anan1=1，n2且nN*，所以an是以1为公差的等差数列(2)解：由（1）可得a4=a1+3，a7=a1+6，a9=a1+8，又a4，a7，a9成等比数列，所以a72=a4a9，即a1+62=a1+3a1+8，解得a1=12，所以an=n13，所以Sn=12n+nn12=12n2252n=12n25226258，所以，当n=12或n=13时Snmin=7818(1)证明见解析；(2)55.【解析】【分析】（1）作DEAB于E，CFAB于
15、F，利用勾股定理证明ADBD，根据线面垂直的性质可得PDBD，从而可得BD平面PAD，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点D为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.(1)证明：在四边形ABCD中，作DEAB于E，CFAB于F，因为CD/AB,AD=CD=CB=1,AB=2，所以四边形ABCD为等腰梯形，所以AE=BF=12，故DE=32，BD=DE2+BE2=3，所以AD2+BD2=AB2，所以ADBD，因为PD平面ABCD，BD平面ABCD，所以PDBD，又PDAD=D，所以BD平面PAD，又因PA平面PAD，所以BDPA；(2)解：如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，BD=
16、3，则A(1,0,0),B(0,3,0),P(0,0,3)，则AP=(1,0,3),BP=(0,3,3),DP=(0,0,3)，设平面PAB的法向量n=(x,y,z)，则有nAP=x+3z=0nBP=3y+3z=0，可取n=(3,1,1)，则cosn,DP=nDP|n|DP|=55，所以PD与平面PAB所成角的正弦值为55.19(1)0.6；(2)分布列见解析，EX=13.【解析】【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A,B,C，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；（2）依题可知，X的可能取值为0,10,20,30，再分别
17、计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A,B,C，所以甲学校获得冠军的概率为P=PABC+PABC+PABC+PABC=0.50.40.8+0.50.40.8+0.50.60.8+0.50.40.2=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6(2)依题可知，X的可能取值为0,10,20,30，所以，PX=0=0.50.40.8=0.16,PX=10=0.50.40.8+0.50.60.8+0.50.40.2=0.44，PX=20=0.50.60.8+0.50.40.2+0.50.60.2=0.34，PX=30=0.50.60.2=0.06.即X的
18、分布列为X0102030P0.160.440.340.06期望EX=00.16+100.44+200.34+300.06=13.20(1)y2=4x；(2)AB:x=2y+4.【解析】【分析】（1）由抛物线的定义可得|MF|=p+p2，即可得解；（2）设点的坐标及直线MN:x=my+1，由韦达定理及斜率公式可得kMN=2kAB，再由差角的正切公式及基本不等式可得kAB=22，设直线AB:x=2y+n，结合韦达定理可解.(1)抛物线的准线为x=p2，当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时|MF|=p+p2=3，所以p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x；(2)设M(y124,y1),N(y2
19、24,y2),A(y324,y3),B(y424,y4)，直线MN:x=my+1，由x=my+1y2=4x可得y24my4=0，0,y1y2=4，由斜率公式可得kMN=y1y2y124y224=4y1+y2，kAB=y3y4y324y424=4y3+y4，直线MD:x=x12y1y+2，代入抛物线方程可得y24(x12)y1y8=0，0,y1y3=8，所以y3=2y2，同理可得y4=2y1，所以kAB=4y3+y4=42(y1+y2)=kMN2又因为直线MN、AB的倾斜角分别为,，所以kAB=tan=kMN2=tan2，若要使最大，则(0,2)，设kMN=2kAB=2k0，则tan()=tan
20、tan1+tantan=k1+2k2=11k+2k121k2k=24，当且仅当1k=2k即k=22时，等号成立，所以当最大时，kAB=22，设直线AB:x=2y+n，代入抛物线方程可得y242y4n=0，0,y3y4=4n=4y1y2=16，所以n=4，所以直线AB:x=2y+4.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系.21(1)(,e+1(2)证明见的解析【解析】【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；（2）利用分析法，转化要证明条件为exxxe1x2lnx12(x1x)0，再利用导数即可得证.(1)f(x)的定义域为(0,
21、+)，f(x)=(1x1x2)ex1x+1 =1x(11x)ex+(11x)=x1x(exx+1)令f(x)=0,得x=1当x(0,1),f(x)0,f(x)单调递增f(x)f(1)=e+1a，若f(x)0,则e+1a0,即ae+1所以a的取值范围为(,e+1(2)由题知,f(x)一个零点小于1,一个零点大于1不妨设x11x2要证x1x21,即证x1f(1x2)因为f(x1)=f(x2),即证f(x2)f(1x2)即证exxlnx+xxe1xlnx1x0,x(1,+)即证exxxe1x2lnx12(x1x)0下面证明x1时，exxxe1x0,lnx12(x1x)1，则g(x)=(1x1x2)e
22、x(e1x+xe1x(1x2)=1x(11x)exe1x(11x)=(11x)(exxe1x)=x1x(exxe1x)设(x)=exx(x1),(x)=(1x1x2)ex=x1x2ex0所以(x)(1)=e,而e1x0,所以g(x)0所以g(x)在(1,+)单调递增即g(x)g(1)=0,所以exxxe1x0令h(x)=lnx12(x1x),x1h(x)=1x12(1+1x2)=2xx212x2=(x1)22x20所以h(x)在(1,+)单调递减即h(x)h(1)=0,所以lnx12(x1x)0,所以x1x21.【点睛】关键点点睛 ：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式
23、h(x)=lnx12(x1x)这个函数经常出现，需要掌握22(1)y2=6x2y0；(2)C3,C1的交点坐标为12,1，1,2，C3,C2的交点坐标为12,1，1,2【解析】【分析】(1)消去t，即可得到C1的普通方程；(2)将曲线C2,C3的方程化成普通方程，联立求解即解出(1)因为x=2+t6，y=t，所以x=2+y26，即C1的普通方程为y2=6x2y0(2)因为x=2+s6,y=s，所以6x=2y2，即C2的普通方程为y2=6x2y0，由2cossin=02cossin=0，即C3的普通方程为2xy=0联立y2=6x2y02xy=0，解得：x=12y=1或x=1y=2，即交点坐标为12,1，1,2；联立y2=6x2y02xy=0，解得：x=12y=1或x=1y=2，即交点坐标为12,1，1,223(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）根据a2+b2+4c2=a2+b2+2c2，利用柯西不等式即可得证；（2）由（1）结合已知可得00，b0，c0，由（1）得a+b+2c=a+4c3，即0a+4c3，所以1a+4c13，由权方和不等式知1a+1c=12a+224c1+22a+4c=9a+4c3，当且仅当1a=24c，即a=1，c=12时取等号，所以1a+1c3.答案第16页，共16页
