1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 专题 3.1 导数概念及其运算 基础巩固题组 一、填空题 1设 y x2ex，则 y _. 【答案】 (2x x2)ex 【解析】 y 2xex x2ex (2x x2)ex. 2已知函数 f(x)的导函数为 f( x)，且满足 f(x) 2x f(1) ln x，则 f(1) _. 【答案】 1 【解析】由 f(x) 2xf(1) ln x，得 f( x) 2f(1) 1x， f(1) 2f(1) 1，则 f(1) 1. 3曲线 y sin x ex在点 (0,1)处的切线方程是 _ 【解析】 y cos x ex，故切线斜率为 k 2，切线方程为 y 2x
2、 1，即 2x y 1 0. 【答案】 2x y 1 0 4 (2017 苏州调研 )已知曲线 y ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为 _ 【答案】 1e 5 若曲线 y ax2 ln x 在点 (1， a)处的切线平行于 x 轴，则 a _. 【答案】 12 【解析】因为 y 2ax 1x，所以 y| x 1 2a 1.因为曲线 在点 (1， a)处的切线平行于 x 轴，故其斜率为 0，故 2a 1 0，解得 a 12. 6 (2017 南师附中月考 )如图， y f(x)是可导函数，直线 l： y kx 2 是曲线 y f(x)在 x 3 处的切线，令 g(x) xf(x)，其中 g
3、( x)是 g(x)的导函数，则 g(3) _. 【答案】 0 =【 ;精品教育资源文库 】 = 【解析】由图形可知： f(3) 1， f(3) 13， g( x) f(x) xf( x)， g(3) f(3) 3f(3) 1 1 0. 7 (2017 苏北四市模拟 )设曲线 y 1 cos xsin x 在点 ? ? 2 ， 1 处的切线与直线 x ay 1 0平行，则实数 a _. 【答案】 1 【解析】 y 1 cos xsin2 x ， 由条件知 1a 1， a 1. 8 (2015 全国 卷 )已知曲线 y x ln x 在点 (1， 1)处的切线与曲线 y ax2 (a 2)x 1
4、相切，则 a _ 【答案】 8 二、解答题 9已知点 M 是曲线 y 13x3 2x2 3x 1 上任意一点，曲线在 M 处的切线为 l，求： (1)斜率最小的切线方程； (2)切线 l 的倾斜角 的取值范围 解 (1)y x2 4x 3 (x 2)2 1 1， 所以当 x 2 时， y 1， y 53， 所以斜率最小的切线过点 ? ?2， 53 ，斜率 k 1， 所以切线方程为 3x 3y 11 0. (2)由 (1)得 k 1， 所以 tan 1，所以 ? ?0， 2 ? ?34 ， . 10已知曲线 y x3 x 2 在点 P0处的切线 l1平行于直线 4x y 1 0，且点 P0在第三
5、象限 (1)求 P0的坐标； (2)若直线 l l1，且 l 也过切点 P0，求直线 l 的方程 =【 ;精品教育资源文库 】 = 能力提升题组 11 (2016 山东卷改编 )若函数 y f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 y f(x)具有 T 性质，下列函数： y sin x； y ln x； y ex； y x3. 其中具有 T 性质的是 _(填序号 ) 【答案】 【解析】若 y f(x)的图象上存在两点 (x1， f(x1)， (x2， f(x2)， 使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则 f( x1) f( x2) 1. 对于 ： y cos x
6、，若有 cos x1cos x2 1，则当 x1 2k ， x2 2k ( k Z)时，结论成立； 对于 ： y 1x，若有 1x1 1x2 1，即 x1x2 1， x1 0， x20， 不存在 x1， x2，使得 x1x2 1； 对于 ： y ex，若有 ex1e x2 1，即 ex1 x2 1.显然不存在这样的 x1， x2； 对于 ： y 3x2，若有 3x213 x22 1，即 9x21x22 1，显然不存在这样的 x1， x2. 12 (2017 合肥模拟改编 )点 P 是曲线 x2 y ln x 0 上的任意一点，则点 P 到直线 y x2 的最小距离为 _ 【答案】 2 【解析】
7、点 P 是曲线 y x2 ln x 上任意一点，当过点 P 的切线和直线 y x 2 平行时， 点 P 到直线 y x 2 的距离最小， 直线 y x 2 的斜率为 1，令 y x2 ln x， =【 ;精品教育资源文库 】 = 得 y 2x 1x 1，解得 x 1 或 x 12(舍去 )， 故曲线 y x2 ln x 上和直线 y x 2 平行的切线经过的切点坐标为 (1,1)， 点 (1,1)到直线 y x 2 的距离等于 2， 点 P 到直线 y x 2 的最小距 离为 2. 13 若函数 f(x) 12x2 ax ln x 存在垂直于 y 轴的切线，则实数 a 的取值范围是 _ 【答案
8、】 2， ) 14已知函数 f(x) x 2x， g(x) a(2 ln x)(a0)若曲线 y f(x)与曲线 y g(x)在 x 1处的切线斜率相同，求 a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线 解 根据题意有 f( x) 1 2x2， g( x) ax. 曲线 y f(x)在 x 1 处的切 线斜率为 f(1) 3， 曲线 y g(x)在 x 1 处的切线斜率为 g(1) a， 所以 f(1) g(1) ，即 a 3. 曲线 y f(x)在 x 1 处的切线方程为 y f(1) 3(x 1) 所以 y 1 3(x 1)，即切线方程为 3x y 4 0. 曲线 y g(x)在 x 1 处的切线方程为 y g(1) 3(x 1)， 所以 y 6 3(x 1)，即切线方程为 3x y 9 0， 所以，两条切线不是同一条直线 .
