1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 专题 7.4 基本不等式及其应用 一、 填空 题 1. a a ( 6 a3) 的最大值为 _ 【解析】因为 6 a3 ，所以 3 a0 ， a 60 ，则由基本不等式可知， a a a a2 92，当且仅当 a 32时等号成立 2若 2x 2y 1，则 x y 的取值范围是 _ 【解析】 1 2x 2y2 2x2 y 2 2x y当且仅当 2x 2y 12，即 x y 1 时等号成立， 2x y 12， 2x y 14，得 x y 2. 3若直线 xa yb 1(a 0， b 0)过点 (1,1)，则 a b 的最小值等于 _ 4 已知 a 1， b 2，
2、(a 1)(b 2) 16， 则 a b 的最小值是 _ 【解析】 因为 a 1， b 2， 所以 a 10， b 20， 又 (a 1)(b 2) ? ?a 1 b 22 2， 即16 ? ?a b 32 2， 整理得 a b5 ， 当且仅当 a 1 b 2 4， 即 a 3， b 2 时等号成立 5 若两个正实数 x， y满足 1x 4y 1，且不等式 x y40， b0， a， b 的等比中项是 1，且 m b 1a， n a 1b，则 m n 的最小值是 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 【答案】 4 【解析】由题意知： ab 1， m b 1a 2b， n a 1b 2a， m
3、n 2(a b)4 ab 4.当且仅当a b 1 时取等号 8若实数 a， b 满足 1a 2b ab，则 ab 的最小值为 _ 【答案】 2 2 9 (2017 青岛模拟 )已 知实数 x， y 均大于零，且 x 2y 4，则 log2x log2y 的最大值为_ 【答案】 1 【解析】因为 log2x log2y log22xy 1log 2? ?x 2y2 2 1 2 1 1，当且仅当 x 2y 2，即 x2， y 1 时等号成立，所以 log2x log2y 的最大值为 1. 10已知不等式 2x m 8x 10 对一切 x (1， ) 恒成立，则实数 m 的取值范围是 _ 【答案】
4、( 10， ) 【解 析】不等式 2x m 8x 10 可化为 2(x 1) 8x 1 m 2， x1， 2(x 1) 8x 12 x 8x 1 8， 当 且仅当 x 3 时取等号 不等式 2x m 8x 10 对一切 x (1， ) 恒成立， m 2 10. 二 、解答题 11已知 x 0， y 0，且 2x 8y xy 0，求： (1)xy 的最小值； (2)x y 的最小值 =【 ;精品教育资源文库 】 = 12 (2017 常州调研 )某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内 面积为 900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种
5、植物，相邻矩形区域之间间隔 1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1 m 宽的通道， 左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3 m 宽的通道，如图设矩形温室的室内长为 x(单位： m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为 S(单位： m2) (1)求 S 关于 x 的函数关系式； (2)求 S 的最大值 解： (1)由题设，得 S (x 8)? ?900x 2 2x 7 200x 916， x (8,450) (2)因为 8x450，所以 2x 7 200x 2 2x 7 200x 240， 当且仅当 x 60 时等号成立，从而 S676. 故当矩形温室的室内长为 60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，为 676 m2.
