1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 专题 11.3 概率分布与数学期望、方差 1. 设 X B(n， p)，若 D(X) 4， E(X) 12，则 n 和 p 分别为 _. 【答案】 18 和 23 【解析】 X B(n， p)， ? np 12，np p 4， 解得 p 23， n 18， 选 A. 2. 某一批花生种子，若每 1 粒发芽的概率为 35 ，则播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的概率为 _. 【答案】 54125 【解析】由题意得，发芽种子的粒数 ),( pnBX ，其中 53,3 ? pn ； 则播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的概率 12554)531()53()2( 223
2、? CXP. 3. 袋中有大小、质地均相同的 4 个红球与 2 个白球若从中有放回地依次取出一个球，记 6 次取球中取出红球的次数为 ，则 的期望 E() _. 【答案】 4 4. 若 X 是离散型随机变量，1221( ) , ( )33P x x P x x? ? ? ?，且 12xx? ，又已知 42( ) , ( )39E x D x?，则12xx?_. 【答案】 3 【解析】由题知122 1 43 3 3xx?，又? ? ? ? 2221 1 2 2 1 24 2 4 1 23 3 3 3 9D X x E X p x E X p x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
3、? ? ? ? ? ? ? ?；与 122 1 43 3 3xx?联立可解得123xx?. 5. 从 1,2,3,4,5 中选 3 个数，用 表示这 3 个数中最大的一个，则 E( ) _. 【答案】 4.5 【解析】由题意知， 只能取 3,4,5.则 P( 3) 110， P( 4) 310， P( 5) 610.故 E( ) 1103 =【 ;精品教育资源文库 】 = 3104 6105 4.5. 6. 一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a，得 2 分的概率为 b，不得分的概率为 c(a、 b、 c(0,1) ，已知他投篮一次得分的数学期望为 2(不计其他得分情况 )，则 ab 的
4、最大值为 _. 【答案】 16 7. 设整数 m 是从不等式 x2 2x 80 的整 数解的集合 S 中随机抽取的一个元素，记随机变量 m2，则 的数学期望 E( ) _. 【答案】 5 【解析】 S 2， 1,0,1,2,3,4， 的分布列为 所以 E( ) 0 17 1 27 4 27 9 17 16 17 5. 8. 【江苏省扬州中学 2015 2016 学年第二学期质量检测】 计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去 50 年的水文资料显示，水库年入流量 X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在 40 以上 .其中，不足 80 的年份有 10 年
5、，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年 .将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立 （ 1）求在未来 4 年中，至多 1 年的年入流量超过 120 的概率； （ 2） 水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运 行台数受年入流量 X 限制，并有如下关系； 年入流量 X 40 80X? 80 120X? 120X? 发电机最多可运行台数 1 2 3 若某台发电机运行，则该台发电机年利润为 5000 万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损 800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台
6、？ 【答案】 （ 1） 0.9477 （ 2） 2 【解析】 0 1 4 9 16 P 17 27 27 17 17 =【 ;精品教育资源文库 】 = y 4200 10000 p 0.2 0.8 4 2 0 0 0 .2 + 1 0 0 0 0 0 .8 = 8 8 4 0 .Ey ? ? ? 安装 3 台发电机， y 的分布列为 y 3400 9200 15000 p 0.2 0.7 0.1 3 4 0 0 0 . 2 + 9 2 0 0 0 . 7 1 5 0 0 0 0 . 1 = 8 6 2 0 .Ey ? ? ? ? ? 综上， 欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机 2
7、台 9. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州） 2016 届高三第二次调研测试数学试题】（本小题满分 10 分）一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有 6 个大小相同、颜色各异的玻璃球参加者交费 1 元可玩 1 次游戏，从中有放回地摸球 3 次参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现 1 次， 2 次， 3 次时，参加者可相应获得游戏费的 0 倍， 1 倍， k 倍的奖励（ *Nk? ），且游戏费仍退还给参加者记参加者玩 1 次游戏的收益为 X 元 （ 1）求概率 ? ?0PX? 的值； （ 2）为使收益 X 的数学
8、期望不小于 0 元，求 k 的最小值 （注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！） 【答案】（ 1） 7225 （ 2） 110 =【 ;精品教育资源文库 】 = 10. 【南京市、盐城市 2016 届高三年级第二次模拟考试】 （本小题满分 10 分） 甲、乙两人投篮命中的概率分别为 23 与 12 ，各自相互独立 现两人做投篮游戏， 共比赛 3 局 ，每 局 每人各投一球 （ 1）求 比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个 的概率； （ 2）设 表示 比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值 ，求 的概率分布和数学期望 E( ) 【答案】 （ 1） 1136 （ 2） E( ) 1 【
9、解析】（ 1） 比 赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个有以下几种情况： 甲进 1 球，乙进 0 球；甲进 2 球，乙进 1 球；甲进 3 球，乙进 2 球 所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个 的概率 1 2 3 2 2 1 3 3 3 2 33 3 3 3 32 1 1 2 1 1 2 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 3 3 2 3 2 3 6p C C C C C? ? ? ? 4 分 （ 2） 的取值为 0， 1， 2， 3，所以 的概率分布列为 0 1 2 3 P 724 1124 524 124 ? 8 分 所以 数学期望
10、E( ) 0 724 1 1124 2 524 3 124 1? 10 分 =【 ;精品教育资源文库 】 = 11. 【南京市 2016 届高三年级第三次模拟考试】 （本小题满分 10 分） 从 0， 1， 2， 3， 4 这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记 X 为所组成的三位数各位数字之和 （ 1）求 X 是奇数的概率 ； （ 2）求 X 的概率分布列及数学期望 【答案】（ 1） 712 （ 2） 254 所以 X 的概率分布列为： X 3 4 5 6 7 8 9 P 112 112 16 524 524 18 18 E(X) 3 112 4 112 5 16 6 524 7 52
11、4 8 18 9 18 254 10 分 =【 ;精品教育资源文库 】 = 12. 【江苏省苏锡常镇四市 2016 届高三教学情况调研（二）数学试题】（本小题满分 10 分） 一个口袋中装有 大小相同的 3 个白球和 1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有 3 次摸到红球即停止 （ 1）求恰好摸 4 次停止的概率； （ 2）记 4 次之内（含 4 次）摸到红球的次数为 X ，求随机变量 X 的分布列 【答案】 （ 1） 9256 （ 2） 详见解析 【解析】 ? 10 分 13. 某牛奶厂要将一批牛奶用汽车从所在城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且运费由厂商承担若厂商
12、恰能在约定日期 ( 月 日 )将牛奶送到，则城市乙的销售商一次性支付给牛奶厂 20万元；若在约定 日期前送到，每提前一天销售商将多支付给牛奶厂 1 万元；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给牛奶厂 1 万元为保证牛奶新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送牛奶，已知下表内的信息： 统计信息 汽车行驶路线 在不堵车的情况下到达城市乙所需时间 (天 ) 在堵车的情况下到达城市乙所需时间 (天 ) 堵车的概率 运费 (万元 ) X 0 1 2 3 P 81256 2764 27128 13256 =【 ;精品教育资源文库 】 = 公路 1 2 3 110 1.6
13、 公路 2 1 4 12 0.8 （ I）记汽车选择公路 1 运送牛奶时牛奶厂获得的毛收入为 ? (单位：万元 )，求 ? 的分布列和数学期望 )(?E ； （ II）如果你是牛奶厂的决策者，你选择哪条公路运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多？ (注：毛收入销售商支付给牛奶厂的费用运费 ) 112 0 .2 1 7 .2 1 8 .722E? ? ? ? ? ? (万元 ) EE? ， 选择公路 2 运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多 20.2 17.2 P 12 12 =【 ;精品教育资源文库 】 = 14. 【 2015 陕西模拟】在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 1000
14、元，此作物的市场价格和这块地上 的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表： （ 1）设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润，求 X 的分布列； （ 2）若在这块地上 连续 3 季种植此作物，求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率 . 所以 X 的分布列为 X 4000 2000 800 P 0.3 0.5 0.2 （ 2）设 iC 表示事件“第 i 季利润不少于 2000 元” ( 1,2,3)i? ， 由题意知： 1 2 3,C C C 相互独立，由（ 1）知 ( ) ( 4 0 0 0 ) ( 2 0 0 0 ) 0 . 3 0 . 5 0 . 8iP
15、 C P X P X? ? ? ? ? ? ?( 1,2,3)i? 3 季利润均不少于 2000 元的概率为 : 31 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) 0 . 8 0 . 5 1 2P C C C P C P C P C? ? ? 3 季中有 2 季利润不少于 2000 元的概率为： 21 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) 3 0 . 8 0 . 2 0 . 3 8 4P C C C P C C C P C C C? ? ? ? ? ? =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以，这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率为： 0 .5 1 2 0 .3 8 4 0 .8 9 6?
