1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时跟踪检测 （ 三十 ） 数列求和 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S3 9， S5 25，则 S7 _. 解析：设 Sn An2 Bn， 由题知，? S3 9A 3B 9，S5 25A 5B 25， 解得 A 1， B 0， 所以 S7 49. 答案： 49 2数列 1 2n 1的前 n 项和为 _ 解析：由题意得 an 1 2n 1， 所以 Sn n 1 2n1 2 n 2n 1. 答案： n 2n 1 3数列 an的通项公式是 an ( 1)n(2n 1)，则该数列的前 100 项之和为 _ 解析：根据题
2、意有 S100 1 3 5 7 9 11 ? 197 199 250 100. 答案： 100 4已知正项数列 an满足 a2n 1 6a2n an 1an.若 a1 2，则数列 an的前 n 项和 Sn_. 解析：因为 a2n 1 6a2n an 1an， 所以 (an 1 3an)(an 1 2an) 0， 因为 an0，所以 an 1 3an， 又 a1 2，所以 an是首项为 2，公比为 3 的等比数列， 所以 Sn 3n1 3 3n 1. 答案： 3n 1 5 (2018 广西高三适应性测试 )已知数列 an的前 n 项和 Sn n2，则数列 ? ?1an 1 1的前 n 项和 Tn
3、 _. 解析：因为 an? 1， n 1，n2 n 2， n2 ? 1， n 1，2n 1， n2 ， 所以 an 2n 1. 所以 1an 1 1 1n 2 1 14? ?1n 1n 1 ， 所以 Tn 14? ?1 12 12 13 ? 1n 1n 1 =【 ;精品教育资源文库 】 = 14? ?1 1n 1 n4n 4. 答案 ： n4n 4 6 若数列 an满足 an ( 1)nan 1 n(n2) ， Sn是 an的前 n 项和，则 S40 _. 解析：当 n 2k 时，即 a2k a2k 1 2k， 当 n 2k 1 时，即 a2k 1 a2k 2 2k 1， 当 n 2k 1 时
4、，即 a2k 1 a2k 2k 1， 得 a2k a2k 2 4k 1， 得 a2k 1 a2k 1 1， S40 (a1 a3 a5 ? a39) (a2 a4 a6 a8 ? a40) 110 (7 15 23 ? 79) 10 2 440. 答案： 440 二保高考，全练题型做到高考达标 1已知 an是首项为 1 的等比数列， Sn是 an的前 n 项和，且 9S3 S6，则数列 ? ?1an的前5 项和为 _ 解析：设 an的公比为 q，显然 q1 ，由题意得 q31 q 1 q61 q，所以 1 q3 9，得q 2，所以 ? ?1an是首项为 1，公比为 12的等比数列，前 5 项和
5、为1 ? ?12 51 12 3116. 答案： 3116 2已知数列 an中， an 4n 5，等比数列 bn的公比 q 满足 q an an 1(n2) 且 b1 a2，则 |b1| |b2| |b3| ? |bn| _. 解析：由已知得 b1 a2 3， q 4， 所以 bn ( 3)( 4)n 1， 所以 |bn| 34 n 1， 即 |bn|是以 3 为首项， 4 为公比的等比数列 所以 |b1| |b2| ? |bn| 4n1 4 4n 1. 答案： 4n 1 3已知数列 5,6,1， 5， ? ，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前 16 项之和
6、 S16 _. =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析：根据题意这个数列的前 7 项分别为 5,6,1， 5， 6， 1,5,6，发现从第 7 项起，数列重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为 6，前 6 项和为 5 6 1 ( 5) (6) ( 1) 0. 又因为 16 26 4，所以这个数列的前 16 项之和 S16 20 7 7. 答案： 7 4对于数列 an，定义数列 an 1 an为数列 an的 “ 差数列 ” ，若 a1 2，数列 an的“ 差数列 ” 的通项为 2n，则数列 an的前 n 项和 Sn _. 解析：因为 an 1 an 2n，所以 an (an an 1) (an
7、 1 an 2) ? (a2 a1) a1 2n 12n 2 ? 22 2 2 2 2n1 2 2 2n 2 2 2n，所以 Sn2 2n 11 2 2n 1 2. 答案： 2n 1 2 5在数列 an中，若 a1 2，且对任意正整数 m， k，总有 am k am ak，则 an的前 n项和 Sn _. 解析：依题意得 an 1 an a1，即有 an 1 an a1 2，所以数列 an是以 2 为首项、 2 为公差的等差数列， an 2 2(n 1) 2n， Sn n 2n2 n(n 1) 答案： n(n 1) 6在等差数列 an中，首项 a1 3，公差 d 2，若某学生对其中连续 10
8、项进行求和，在漏掉一项的前提下，求得余下 9 项的和为 185，则此连续 10 项的和为 _ 解析：由已知条件可得数列 an的通项公式 an 2n 1，设连续 10项为 ai 1， ai 2， ai 3， ? ，ai 10， i N，设漏掉的一项为 ai k,1 k10 ，由 ai 1 ai 102 ai k 185，得 (2i 3 2i 21)5 2i 2k 1 185，即 18i 2k 66，即 9i k 33，所以 349 i k3343,30，所以 an 1 an 1 6， 所以 a2k 1 a 6(k 1) 6k a 6， a2k 5 6(k 1) 6k 1， 故 an? 3n a
9、3， n为奇数，3n 1， n为偶数 . (2)当 n 为奇数时， Sn 12(3n a 2)(n 1) n， 由 Sn n(3n 1)，得 a 3n2 3n 2n 1 恒成立， 令 f(n) 3n2 3n 2n 1 ，则 f(n 1) f(n)3n2 9n 4n n 0， 所以 a f(1) 4. 当 n 为偶数时， Sn 12n(3n a 1) n， 由 Sn n(3n 1)得， a3( n 1)恒成立， 所以 a9. 又 a1 a0，所以实数 a 的取值范围是 (0,4 10 (2018 宿迁中学调研 )已知各项均为正数的数列 an的首项 a1 1， Sn 是数列 an的前 n 项和，且
10、满足 anSn 1 an 1Sn an an 1 a nan 1( 0 ， n N*) (1)若 a1， a2， a3成等比数列，求实数 的值； =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)若 12，求 Sn. 解： (1)令 n 1，得 a2 21 . 令 n 2， 得 a2S3 a3S2 a2 a3 a2a3， 所以 a3 2 4 . 由 a22 a1a3， 得 ? ?21 2 2 4 ， 因为 0 ， 所以 1. (2)当 12时 ， anSn 1 an 1Sn an an 1 12anan 1， 所以 Sn 1an 1 Snan 1an 1 1an 12， 即 Sn 1 1an 1 Sn
11、1an 12， 所以数列 ? ?Sn 1an是以 2 为首项 ， 12为公差的等差数列 ， 所以 Sn 1an 2 (n 1) 12， 即 Sn 1 ? ?n2 32 an， 当 n2 时 ， Sn 1 1 ? ?n2 1 an 1， 得 ， an n 32 an n 22 an 1， 即 (n 1)an (n 2)an 1， 所以 ann 2 an 1n 1(n2) ， 所以 ? ?ann 2 是常数列 ， 且为 13， 所以 an 13(n 2). 代入 得 Sn ? ?n2 32 an 1 n2 5n6 . 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1 (2018 启东检测 )九章算术中的 “ 两
12、鼠穿墙题 ” 是我国数学的古典名题： “ 今有 垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？ ” 题意是 “ 有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半 ” 如果墙足够厚， Sn为前 n 天两只老鼠打洞长度之和，则 Sn _尺 解析：依题意大老鼠每天打洞的距离构成以 1 为首项， 2 为公比的等比数列，所以前 n=【 ;精品教育资源文库 】 = 天大老鼠打洞的距离共为 2n1 2 2n 1.同理可得前 n 天小老鼠打洞的距离共为1 ? ?1 ? ?12 n1 12 2 12n 1，所以 S
13、n 2n 1 2 12n 1 2n 12n 1 1. 答案： 2n 12n 1 1 2 (2018 苏州高三暑假测试 )等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且 an Sn n2 16n 15(n N*)，若对任意 n N*，总有 Sn Sk，则 k 的值为 _ 解析：设等 差数列 an的公差为 d，则 an Sn a1 (n 1)d ? ?na1n n2 d d2n2 ? ?32d a1 n a1 d n2 16n 15，所以? d2 1，32d a1 16，a1 d 15，解得? a1 13，d 2， 所以Sn 13n n n2 ( 2) n2 14n (n 7)2 49，所以 (Sn)m
14、ax S7，所以 Sn S7对任意 n N*恒成立，所以 k 的值为 7. 答案： 7 3已知 xn是各项均为正数的等比数列，且 x1 x2 3， x3 x2 2. (1)求数列 xn的通项公式； (2)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，依次连接点 P1(x1， 1)， P2(x2,2)， ? ， Pn 1(xn 1，n 1)得到折线 P1P2? Pn 1，求由该折线 与直线 y 0， x x1， x xn 1所围成的区域的面积 Tn. 解： (1)设数列 xn的公比为 q，由已知得 q0. 由题意得? x1 x1q 3，x1q2 x1q 2. 所以 3q2 5q 2 0. 因为 q0，所以
15、 q 2， x1 1， 因此数列 xn的通项公式为 xn 2n 1. (2)过 P1， P2， ? ， Pn 1向 x 轴作垂线，垂足分别为 Q1， Q2， ? ， Qn 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 由 (1)得 xn 1 xn 2n 2n 1 2n 1， 记梯形 PnPn 1Qn 1Qn的面积为 bn， 由题意得 bn n n2 2 n 1 (2n 1)2 n 2， 所以 Tn b1 b2 ? bn 32 1 52 0 72 1 ? (2n 1)2 n 3 (2n 1)2 n 2. 又 2Tn 32 0 52 1 72 2 ? (2n 1)2 n 2 (2n 1)2 n 1. 得 Tn 32
