1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 2 讲 命题及其关系、充分条件与必要条件 1 已知向量 a (x 1， 2)， b (2， 1)， 则 a b 的充要条件是 x _ 解析 a b?2(x 1) 2 0， 得 x 0. 答案 0 2 命题 “ 若一个数是负数 ， 则它的平方是正数 ” 的逆命题是 _ 解析 原命题的逆命题是 “ 若一个数的平方是正数 ， 则这个数是负数 ” 答案 “ 若一个数的平方是正数 ， 则这个数是负数 ” 3 已知集合 A 1， a， B 1， 2， 3， 则 “ a 3” 是 “ A?B” 的 _条件 解析 当 a 3 时 A 1， 3， 显然 A?B.但 A?B
2、时 ， a 2 或 3. 答案 充分不必要 4 已知 p： “ a 2”， q： “ 直线 x y 0 与圆 x2 (y a)2 1 相切 ” ， 则 p 是 q 的_条件 解析 由直线 x y 0 与圆 x2 (y a)2 1 相切得 ， 圆心 (0， a)到直线 x y 0 的距离等于圆的半径 ， 即有 |a|2 1， a 2.因此 ， p 是 q 的 充分不必要条件 答案 充分不必要 5 命题： “ 若 x2m 1” 是 “ x2 2x 30” 的必要不充分条件 ， 则实数 m 的取值范围是 _ 解析 由已知设 M x|x2 2x 30 x|x3， N x|xm 1， 则 N 是 M 的
3、必 要不充分条件 ， 所以 M N. 所以? 1 m 1，m 13 ， 所以 0 m2. 答案 0， 2 10 已知集合 A x|y lg(4 x)， 集合 B x|x4. 答案 (4， ) 11 有下列几个命 题： “若 ab， 则 a2b2” 的否命题； “ 若 x y 0， 则 x， y 互为相反数 ” 的逆命题； “ 若 x22” 是 “ 1x2， 所以 “ x2” 是 “ 1x3， 即 m2. 答案 (2， ) 1 若 a， b R， 已知原命题是 “ 若不等式 x2 ax b 0 的解集是非空数集 ， 则 a24b0” ， 给出下列命题： 若 a2 4b0 ， 则不等式 x2 ax
4、 b0 的解集是非空数集； 若 a2 4b0 恒成立；命题q： f(x) (4a 3)x在 R 上为减函数如果两个命题中有且只有一个是真命题 ， 求实数 a 的取值范围 解 若命题 p 为真 ， 则当 a 0 时 ， 不等式为 2x 10， 显然不能恒成立 ， 故 a 0 不适合； 当 a0 时 ， 不等式 ax2 2x 10 恒成立的条件是?a0， 22 4a1. 若命题 q 为真 ， 则 01 ? ?a|a 34或 a1 a|a1； 当 p 假 q 真时 ， a 的取值范围是 a|a 1 ? ?a|345， P x|(x a)( x 8)0 (1)求 M P x|5a， 所以 B x|a2
5、， 即 a13时 ， A x|2x3a 1 因为 p 是 q 的充分条件 ， 所以 A?B. 所以?a 2，3a 1 a2 2， 即13a3 52 . 当 3a 1 2， 即 a 13时 ， A ?， 不符合题意； 当 3a 12， 即 a13时 ， A x|3a 1x2， 由 A?B 得?a3 a 1，a2 22 ， 所以12 a13. 综上所述 ， 实数 a 的取值范围是 ? 12，13 ?13，3 52 . 6 已知数列 an的前 n 项和 Sn pn q(p0 ， p 1， n N*)， 求数列 an是等比数列的充要条件 解 a1 S1 p q. 当 n2 ， n N*时 ， an S
6、n Sn 1 pn 1(p 1) =【 ;精品教育资源文库 】 = 因为 p0 ， p 1， 所以 pn（ p 1）pn 1（ p 1） p. 若 an为等比数列 ， 则 a2a1 an 1an p， 所以 p（ p 1）p q p， 因为 p0 ， 所以 p 1 p q， 所以 q 1. 这是 an为等比数列的必要条件 下面证明 q 1 是 an为等比数列的充分条件 当 q 1 时 ， Sn pn 1(p0 ， p 1， n N*)， a1 S1 p 1， 当 n2 ， n N*时 ， an Sn Sn 1 pn pn 1 pn 1(p 1)， 所以 an (p 1)pn 1(p0 ， p 1)， anan 1（ p 1） pn 1（ p 1） pn 2 p 为常数 所以 q 1 时 ， 数列 an为等 比数列 ， 即 “ 数列 an是等比数列 ” 的充要条件为 “ q 1”
