1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 4 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 1 圆 (x 1)2 y2 1 与直线 y 33 x 的位置关系是 _ 解析 因为圆 (x 1)2 y2 1 的圆心为 (1， 0)， 半径 r 1， 所以圆心到直线 y 33 x 的距离为 | 3|3 9 12 1 r， 故圆与直线相交 答案 相交 2. 圆 O1： x2 y2 2x 0 和圆 O2： x2 y2 4y 0 的位置关系是 _ 解析 圆 O1 的圆心坐标为 (1， 0)， 半径为 r1 1， 圆 O2 的圆心坐标为 (0， 2)， 半径 r2 2， 故两圆的圆心距 O1O2 5， 而 r2 r1 1， r
2、1 r2 3， 则有 r2 r10 或 a0)， 则圆 C 的方程为 (x a)2 y2 4. 因为圆 C 与直线 3x 4y 4 0 相切 ， 所以 |3a 4|32（ 4） 2 2， 解得 a 2 或 a 143 (舍 )， 所以圆 C 的方程为 (x 2)2 y2 4. (2)依题意设直线 l 的方程为 y kx 3， 由?y kx 3，（ x 2） 2 y2 4得 (1 k2)x2 (4 6k)x 9 0， 因为 l 与圆 C 相交于不同的两点 A(x1， y1)， B(x2， y2)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 (4 6k)2 4(1 k2)90 ， 且 x1 x2 4
3、 6k1 k2， x1x2 91 k2， 所以 y1y2 (kx1 3)(kx2 3) k2x1x2 3k(x1 x2) 9 9k21 k212k 18k21 k2 9， 又因为 x1x2 y1y2 3， 所以 91 k2 9k21 k212k 18k21 k2 9 3， 整理得 k2 4k 5 0， 解得 k 1 或 k 5(不满足 0， 舍去 ) 所以直线 l 的方程为 y x 3. 所以圆心 C 到 l 的距离为 d |2 3|2 22 ， 则 AB 2 22 ? ?222 14， 又 AOB 的底边 AB 上 的高 h 32 3 22 . 所以 S AOB 12AB h 12 14 3
4、 22 3 72 . 6 (2018 江苏省苏北四市期中 )已知直线 x 2y 2 0 与圆 C： x2 y2 4y m 0 相交 ，截得的弦长为 2 55 . (1)求圆 C 的方程； (2)过原点 O 作圆 C 的两条切线 ， 与抛物线 y x2相交于 M、 N 两点 (异于原点 )证明：直线 MN 与圆 C 相切； (3)若抛物线 y x2上任意三个不同的点 P、 Q、 R， 且满足直线 PQ 和 PR 都与圆 C 相切 ，判断直线 QR 与圆 C 的位置关系 ， 并加以证明 解 (1)因为 C(0， 2)， 所以圆心 C 到直线 x 2y 2 0 的距离为 d |0 4 2|5 25，
5、 因为截得的弦长为 2 55 ， 所以 r2 ? ?252 ? ?552 1， 所以圆 C 的方程为： x2 (y 2)2 1. (2)证明：设过原点的切线方程为： y kx， 即 kx y 0， 所以 |0 2|k2 1 1， 解得 k 3， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以过原点的切线方程为： y 3x， 不妨设 y 3x 与抛物线的交点为 M， 则 ?y 3xy x2 ，解得 M( 3， 3)， 同理可求： N( 3， 3)， 所以直线 MN： y 3. 因为圆心 C(0， 2)到直线 MN 的距离为 1 且 r 1， 所以直线 MN 与圆 C 相切 (3)直线 QR 与圆 C 相
6、切证明如下： 设 P(a， a2)， Q(b， b2)， R(c， c2)，则直线 PQ、 PR、 QR 的方程分别为： PQ： (a b)x y ab 0， PR： (a c)x y ac 0， QR： (b c)x y bc 0. 因为 PQ 是圆 C 的切线 ， 所以 | 2 ab|（ a b） 2 1 1， 化简得： (a2 1)b2 2ab 3 a2 0， 因为 PR 是圆 C 的切线 ， 同理可得： (a2 1)c2 2ac 3 a2 0， 则 b， c 为方程 (a2 1)x2 2ax 3 a2 0 的两个实根 ， 所以 b c 2aa2 1， bc 3 a2a2 1. 因为圆心到直线 QR的距离为 d | 2 bc|（ b c） 2 1 ? ?2 3 a2a2 14a2（ a2 1） 2 1 a2 1a4 2a2 1 1r， 所以直线 QR 与圆 C 相切
