1、第 5讲 二次函数与幂函数 第二章 基本初等函数、导数的应用 1 幂函数的图象与性质 ( 1) 所有幂函数在 (0 ， ) 上都 有定义 ， 并且图象都通过点 (1 ， 1 ) ( 2) 如果 0 ， 则幂函数图象过原 点 ， 并且在区间 (0 ， ) 上为增函数 ( 3) 如果 0 ， 则幂函 数图象在区 间 ( 0 ， ) 上为减函数在第一象 限内 ， 当 x 从右边趋向于原点时 ， 图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴当 x 趋向于 时 ， 图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴 ( 4) 当 为奇数时 ， 幂函数为奇函数 ， 当 为偶数时 ， 幂函数为偶函数 只要求掌握幂函数 y x ，
2、 y x2， y x3， y x12， y 1x的图象与性质 2 二次函数的解析式的三种形式 ( 1) 一般式 f ( x ) ax2 bx c ( a 0) ； ( 2) 顶点式 f ( x ) a ( x h )2 k ( a 0) ； ( 3) 零点式 f ( x ) a ( x x 1 )( x x 2 )( a 0) 3 闭区间上的二次函数的最值 二次函数 f ( x ) ax2 bx c ( a 0) 在闭区间 p ， q 上的最值只能在 x b2 a处及区间的两端点处取得 ， 具体如下： 当 a 0 时 ， 若 x b2 a p ， q ， 则 f ( x )m i n f?b2
3、 a， f ( x )m a x m a x f ( p ) ， f ( q ) ； 若 x b2 a? p ， q ， f ( x )m a x m a x f ( p ) ， f ( q ) ， f ( x )m i n mi n f ( p ) ， f ( q ) 当 a 0 时 ， 若 x b2 a p ， q ， 则 f ( x )m a x f?b2 a， f ( x )m i n m i n f ( p ) ， f ( q ) ； 若 x b2 a? p ， q ， 则 f ( x )m a x m a x f ( p ) ， f ( q ) ， f ( x )m i n m i
4、 n f ( p ) ， f ( q ) 1 二次函数 y x2 2 mx m2 3 的图象的对称轴为 x 2 0 ， 则 m _ _ _ _ _ ， 顶点坐标为 _ _ _ _ _ ， 递增区间为 _ _ _ _ _ _ ， 递减区间为 _ _ _ _ _ _ _ 2 ( 2， 3) ( ， 2 2 ， ) 2 函数 y x 2 ax 6 在 ? ?52， 上是增函数 ， 则 a 的范围为 _ _ _ _ _ _ _ 解析 因为 y x2 ax 6 在 ? ?a2， 上是增函数 ， 由题意得a252. 所 以 a 5. 5 ， ) 3 函数 g ( x ) x 2 2 x ( x 0 ， 3 ) 的值域是 _ _ _ _ _ _ 解析 由 g ( x ) x2 2 x ( x 1)2 1 ， x 0 ， 3 ， 得 g ( x ) 在 0 ， 1 上是减函数 ， 在 1 ， 3 上是增函数 所以 g ( x ) m i n g ( 1) 1 ， 而 g ( 0) 0 ， g ( 3) 3. 所以 g ( x ) 的值域为 1 ， 3 1， 3 1 必明辨的 1 个易错点 对于二次函数单调性、最值等研究没有注意自变量的限制条件 2 必会的 2 种方法 ( 1) 结合二次函数图象 ， 利用数形结 合思想解题 ( 2) 与二次方程紧密结合 ， 利用函数 与方程思想解题
