1、 定义定义 设设 是一个非空集合，是一个非空集合， 为实数域如果为实数域如果对于任意两个元素对于任意两个元素 ，总有唯一的一个元，总有唯一的一个元素素 与之对应，称为与之对应，称为 与与 的和，记作的和，记作V ,V VR一、线性空间的定义一、线性空间的定义第一节第一节 线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质RV ,;,设设;)1( 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么么 就称为数域就称为数域 上的向量空间（或线性空间）上的向量空间（或线性空间）VR若对于任一数若对于任一数 与任一元素与任一元素 ，总有唯，总有唯一的一个元素一的一个元素 与之
2、对应，称为与之对应，称为 与与 的积，的积，记作记作R V V ;1)5( ;)6( .)8( ;)7( ; 0 ,)4( 使使的的负负元元素素都都有有对对任任何何VV;0, 0)3( 都有都有对任何对任何中存在零元素中存在零元素在在VV ;)2( ., 0101量空间向数乘多项式的乘法构成对于通常的多项式加法即记作的多项式的全体次数不超过RxpnaaaaaxaxPxPnnnnn例例1 1通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律算满足线性运算规律)()(0101bxbxbaxaxannnn )()()(0011baxbaxbannn x
3、Pn )(01axaxann )()()(01axaxann xPn .对运算封闭对运算封闭xPn.0, , 0101间空和乘数运算不构成向量对于通常的多项式加法且次多项式的全体aaaaaaxaxQnnnnnRxpn例例2 2p0000 xxnxQn .对运算不封闭对运算不封闭xQn例例3 3 正弦函数的集合正弦函数的集合 .,sinRBABxAsxS 对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间间 221121sinsinBxABxAss xbxaxbxasincossincos2211 xbbxaasincos2121 BxA sin.xS 1
4、1111sinsinBxABxAs xS 是一个线性空间是一个线性空间. xS对于通常有序数组的加法及如下定义的乘法例例4 4 n个有序实数组成的数组的全体RxxxxxSnTnn ,|,11TTnxx0 , 0,1 不是向量空间。运算，所以义的运算不是线性在乘法单位元，这种定），即不存，不满足运算律（但是对运算封闭，验证不构成向量空间。可以nnSvxS01的产物。是集合与运算二者结合可见，向量空间的概念不是向量空间。由此构成向量空间而以致中所定义的运算不同，是一样的，但由于在其，作为两个集合，它们维向量空间与比较nnnnSRRnS一般地说，同一个集合，若定义两种不同的线性运算，就可能构成不同的
5、向量空间。所以，所定义的线性运算是向量空间的本质，而其中的元素是什么并不重要。因此向量空间叫做线性空间更为恰当。例例5 5 正实数的全体，记作正实数的全体，记作 ，在其中定义加法，在其中定义加法及乘数运算为及乘数运算为 R ., RbaRaaabba 验证验证 对上述加法与乘数运算构成线性空间对上述加法与乘数运算构成线性空间 R证明证明;, RabbaRba., RaaRaR 所以对定义的加法与乘数运算封闭所以对定义的加法与乘数运算封闭下面一一验证八条线性运算规律：下面一一验证八条线性运算规律：;)1(abbaabba );()()()(2(cbacabcabcba 有有对任何对任何中存在零元
6、素中存在零元素, 1)3( RaR;11aaa 使使有负元素有负元素,)4(1 RaRa; 111 aaaa;1)5(1aaa ;)6(aaaaa ; )7(aaaaaaaa baababba )()()8(所以所以 对所定义的运算构成线性空间对所定义的运算构成线性空间 R. baba 1 1零元素是唯一的零元素是唯一的证明证明假设假设 是线性空间是线性空间V中的两个零元中的两个零元素，素，210 ,0.0,021 由于由于,0 ,021V 所以所以.000 ,000121212 则对任何则对任何 ，V 有有.000000212211 二、线性空间的性质二、线性空间的性质2 2负元素是唯一的负
7、元素是唯一的证明证明 假设假设 有两个负元素有两个负元素 与与 ， 那么那么. 0, 0 则有则有0 0. 向量向量 的负元素记为的负元素记为 . . 00;1; 00. 3 证明证明 ,101010 . 00 , 0011111 .1 10 0 . 0 4如果如果 ，则则 或或 . 0 0 0 证明证明假设假设,0 那么那么 011 . 0 .11 又又. 0 同理可证：若同理可证：若 则有则有0 . 0 一、线性空间的基与维数一、线性空间的基与维数;, )1(21线线性性无无关关n ,(21表示线性总可由中任一元素nV 2 2) )定义定义 在线性空间在线性空间 中，如果存在中，如果存在
8、个元素个元素nn ,21满足：满足：V第二节 维数、基与坐标., , , 21维维数数的的称称为为线线性性空空间间基基的的一一个个就就称称为为线线性性空空间间那那末末VnVn .,nVnn记记作作维维线线性性空空间间的的线线性性空空间间称称为为维维数数为为以是无穷的。注：线性空间的维数可可表示为可表示为则则的一个基的一个基为为若若nnnVV,21 RxxxxxxVnnnn,212211二、元素在给定基下的坐标二、元素在给定基下的坐标,2211nnxxx 使使数数总总有有且且仅仅有有一一组组有有序序于于任任一一元元素素对对的的一一个个基基是是线线性性空空间间设设, 2121nnnnxxxVV 定
9、义定义 .,212121nTnnxxxxxx 并记作并记作基下的坐标基下的坐标这个这个在在称为元素称为元素有序数组有序数组., 1, 6453423214就是它的一个基中在线性空间xpxpxpppxxP例例aaxaxaxaxp012233444 次的多项式任一不超过papapapapap5443322110 可表示为可表示为) , , , ,( 43210aaaaapT在这个基下的坐标为在这个基下的坐标为因此因此则则若取另一基若取另一基,2,1, 1 45342321xqxqxqxqq qaqaqaqaqaap5443322111021)( ) , ,21 , ,( 432110aaaaaap
10、T 在这个基下的坐标为在这个基下的坐标为因此因此注意注意线性空间线性空间 的任一元素在不同的基下所对的的任一元素在不同的基下所对的坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是唯一的唯一的V线性运算联系起来：组向量中抽象的线性运算与数以把联系起来了，并且还可与具体的数组向量建立了坐标以后，就把nTnVxxx,21 nnbbbaaann 21212121 设设则则和和下的坐标分别为下的坐标分别为在基在基即向量即向量,),(),(,212121bbbaaaVnTnTn nnnbababa)()()(222111 三、线性空间的同构三、线性空间的同构的的坐坐
11、标标分分别别为为与与于于是是 k nnakakakk 2211),(),( ),(21212211bbbaaabababanTnTnnT ),(),(2121aaakakakaknTnT 质：个对应关系有下列性一一对应的关系，且这之间就有一个中的向量量空间维数组向与中的向量，则，中取定一个基维线性空间总之，设在TnnnnnxxxRnVVn, 2121.,;,TnTnTnTnTnxxxyyyxxxyyyxxx 212121212121、则设象这样元素之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合（即1，2）运算的两个线性空间V与U，称它们同构。 显然，任何n维线性空都与 同构。因而研究一般n维线
12、性空间的结构，只要研究 即可。nRnR且且有有两两个个基基的的是是线线性性空空间间及及设设, 2121nnnV ,22112222112212211111 nnnnnnnnnnppppppppp 称此公式为基变换公式称此公式为基变换公式第三节第三节 基变换与坐标变换基变换与坐标变换 nnnnnnnnppppppppp 2121222121211121.21 nTP nnnnnnnnnnppppppppp 22112222112212211111由于由于(1)过渡矩阵过渡矩阵 是可逆的是可逆的P 矩阵矩阵 称为由基称为由基 到基到基 的过的过渡矩阵渡矩阵 , 2121中中在在基基变变换换公公式式
13、Pnn n ,21n ,21P（2） Pnn ,2121 这就是基变换公式这就是基变换公式二、坐标变换公式二、坐标变换公式, , , 1),(),(21212121nTnnTnnyyyxxxV下的坐标为在基为下的坐标在基中的元素设定理若两个基满足关系式若两个基满足关系式 Pnn ,2121 则有坐标变换公式则有坐标变换公式,nnyyyPxxx2121.nnxxxPyyy21121或或（3）证明证明 nnxxx2121, nnyyy2121, Pnn ,2121 .,21212121nnnnyyyPxxx.2121nnyyyPxxx 即.,21121nnxxxPyyyP 所以可逆由于矩阵映射映射
14、).( ,)( ),(, , , 4ATTBABABA或记作或映射的变换到集合合这个对应规则称为从集那么和它对应中一个确定的元素总有按照一定规则元素中任一如果对于设有两个非空集合定义 ,)()(ATAT 映射的概念是函数概念的推广映射的概念是函数概念的推广即即记记作作象象集集称称为为象象的的全全体体所所构构成成的的集集合合的的源源集集称称为为变变换换下下的的源源在在变变换换称称为为下下的的象象在在变变换换称称为为变变为为把把元元素素就就说说变变换换设设),(,. , ,)(,ATTATTTTA .)(BAT 显显然然 ; ,)1(212121 TTTVn 有有任给任给 .,)2( kTkTRk
15、Vn 都都有有任任给给.,的的线线性性变变换换到到为为从从就就称称那那么么mnUVT满足如果变换的变换到是一个从性空间维线维和分别是实数域上的设定义TTmnUVUVmnmn, , 52 2从线性空间从线性空间 到到 的线性变换的线性变换VnUm, 83中在线性空间xP例例. )1( 是一个线性变换是一个线性变换微分运算微分运算D, 3012233xPaxaxaxap ,231223axaxaDp ,3012233xPbxbxbxbq ,231223bxbxbDq )()()()(0011222333baxbaxbaxbaD )( qpD 从而从而)()(2)(31122233baxbaxba
16、)23()23(12231223bxbxbaxaxa ;DqDp )()(012233akxakxakxakDkpD )23(1223axaxak .kDp .,)( )2(0也是一个线性变换也是一个线性变换那么那么如果如果TapT );()()(00qTpTbaqpT ).()(0pkTakkpT ., 1)()3( 11性变换性变换但不是线但不是线是个变换是个变换那么那么如果如果TpT , 1)(1 qpT, 211)()( 11 qTpT但但).()()( 111qTpTqpT 所以所以二、线性变换的性质二、线性变换的性质 ;, 00. 1 TTT .,. 3 2121亦亦线线性性相相关
17、关则则线线性性相相关关若若mmTTT ; ,. 222112211mmmmTkTkTkTkkk 则则若若.,2121不不一一定定线线性性无无关关则则线线性性无无关关若若mmTTT 注注意意.),()( . 4 的的象象空空间间称称为为线线性性变变换换的的子子空空间间是是一一个个线线性性空空间间的的象象集集线线性性变变换换TVVTTnn ., 0,0. 5 的的核核称称为为线线性性变变换换的的子子空空间间是是的的全全体体的的使使TSVTVSTTnnT 阶矩阵设有n 例例1 10 0),(21212222111211nnnnnnnaaaaaaaaaA为为中的变换中的变换定义定义其中其中)(,21x
18、TyRaaanniiii ),( ,)(RxAxxTn .为线性变换为线性变换则则T,Rban 设设则则)(baT )(baA AbAa );()(bTaT )(kaT)(kaA kAa ).(akT 量空间量空间所生成的向所生成的向的象空间就是由的象空间就是由又又 nT, 21, )(212211RxxxxxxyRTnnnn . 0 间间的解空的解空就是齐次线性方程组就是齐次线性方程组的核的核 AxSTT证明：证明：阶矩阵阶矩阵设设n),(21212222111211 nnnnnnnaaaaaaaaaA 为为中的变换中的变换定义定义其中其中)(,21xTyRaaanniiii ),( ,)(
19、RxAxxTn .为线性变换为线性变换则则T那么那么为单位坐标向量为单位坐标向量设设,21eeen,00112122221112111 aaaaaaaaaeAnnnnnn,100212222111211 nnnnnnnnaaaaaaaaaeA ,), 2 , 1( )( nieTeAiii 即即.)(,)(, 为列向量为列向量应以应以那么矩阵那么矩阵有关系式有关系式如果一个线性变换如果一个线性变换因此因此eTAAxxTTi 那么那么使使如果一个线性变换如果一个线性变换反之反之), 2 , 1()(, nieTTii )(xT),(21xeeeTn )(2211exexexTnn )()()(2
20、211eTxeTxeTxnn xeTeTeTn)(,),(),(21 xn),(21 .Ax 其中其中表示表示都可用关系式都可用关系式中任何线性变换中任何线性变换,)()(, RxAxxTTRnn )(,),(),(21eTeTeTAn , 212222111211 aaaaaaaaannnnnn.,21为单位坐标向量为单位坐标向量eeen可知可知综上所述综上所述,二、线性变换在给定基下的矩阵二、线性变换在给定基下的矩阵 ,22112222112212211111nnnnnnnnnnaaaTaaaTaaaT 定义定义6 6设设 是线性空间是线性空间 中的线性变换，在中的线性变换，在 中取定一个
21、基中取定一个基 ，如果这个基在变换，如果这个基在变换下的象为下的象为nVnVn ,21TT其中其中,212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaA ATnn ,2121 上式上式 ,2121nnTTTT 记记可表示为可表示为那末，那末， 就称为线性变换就称为线性变换 在基在基 下的下的矩阵矩阵n, 21AT.)(,),(,1唯一确定唯一确定由基的象由基的象矩阵矩阵显然显然 nTTA.,TAATVn个线性变换个线性变换也可唯一地确定一也可唯一地确定一由一个矩阵由一个矩阵确定一个矩阵确定一个矩阵可唯一地可唯一地由线性变换由线性变换中取定一个基后中取定一个基后在在.,一对应的一对应的线性
22、变换与矩阵是一线性变换与矩阵是一在给定一个基的条件下在给定一个基的条件下即变换平面的线性表示将向量投影到中在, 3xOyTR例例1 12 2,)(j yi xkzj yi xT .,)2(;,)1(的矩阵的矩阵求求取基为取基为的矩阵的矩阵求求取基为取基为TkjijiTkji 解解 , 0, )1(kTjjTiiT.000010001),(),( kjikjiT即即 , , , )2( jiTjTiT.000110101),(),( T即即此例表明：同一个线性变换在不同的基下一般此例表明：同一个线性变换在不同的基下一般有不同的矩阵有不同的矩阵三、线性变换在不同基下的矩阵三、线性变换在不同基下的矩
23、阵,;,2121nn 定理定理2 2设线性空间设线性空间 中取定两个基中取定两个基nV由基由基 到基到基 的过渡矩阵为的过渡矩阵为 ， 中的线性变换中的线性变换 在这两个基下的矩阵依次为在这两个基下的矩阵依次为 和和 ，那末，那末 n ,21n ,21nV.1APPB PTAB于是于是 nnTB ,2121 ,21PTn PTn ,21 证明证明 Pnn ,2121 ,2121ATnn BTnn ,2121 APn ,21 APPn121, 因为因为 线性无关，线性无关，n, 21所以所以.APPB1 证毕证毕.定理表明：定理表明： 与与 相似，且两个基之间的过渡相似，且两个基之间的过渡矩阵矩阵 就是相似变换矩阵就是相似变换矩阵BAP).(,ARTTA的秩就是的秩就是则则的矩阵的矩阵是是若若.,rnSTrTT 的维数为的维数为的核的核则则的秩为的秩为若若.,)( 7的秩称为线性变换的维数的象空间线性变换TVTTn定定义义
