1、2.2.3直线的一般式方程直线的一般式方程 学习目标1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于 x，y 的二元一次方程 AxByC0(A，B 不同时为 0)都表示直线. 3.会进行直线方程的五种形式之间的转化 导语 前面我们学习了直线的点斜式、斜截式、两点式方程，可以发现它们都是二元一次方程现 在请同学们思考一下，在平面直角坐标系中的每一条直线是否都可以用一个关于 x，y 的二元 一次方程表示呢？ 一、直线的一般式方程 问题 1直线 y2x1 可以化成二元一次方程吗？方程 2xy30 表示一条直线吗？ 提示y2x1 可以化成 2xy10 的形式，可以化为二元一次方程.2xy30 可以化 为 y2x
2、3，可以表示直线 知识梳理 我们把关于 x，y 的二元一次方程 AxByC0(其中 A，B 不同时为 0)叫做直线的一般式方 程，简称一般式 注意点： (1)直线一般式方程的结构特征 方程是关于 x，y 的二元一次方程 方程中等号的左侧自左向右一般按 x，y，常数的先后顺序排列 x 的系数一般不为分数和负数 虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程 (2)当直线方程 AxByC0 的系数 A，B，C 满足下列条件时，直线 AxByC0 有如下 性质： 当 A0，B0 时，直线与两条坐标轴都相交； 当 A0，B0，C0 时，直线只与 x 轴相交，即直线与 y 轴平行
3、，与 x 轴垂直； 当 A0，B0，C0 时，直线只与 y 轴相交，即直线与 x 轴平行，与 y 轴垂直； 当 A0，B0，C0 时，直线与 x 轴重合； 当 A0，B0，C0 时，直线与 y 轴重合 例 1根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是 3，且经过点 A(5,3)； (2)经过 A(1,5)，B(2，1)两点； (3)在 x 轴、y 轴上的截距分别为3，1； (4)经过点 B(4,2)，且平行于 x 轴 解(1)由点斜式，得直线方程为 y3 3(x5)， 即3xy5 330. (2)由两点式，得直线方程为 y5 15 x1 21， 即 2xy30. (3)由
4、截距式，得直线方程为 x 3 y 11， 即 x3y30. (4)y20. 反思感悟求直线一般式方程的策略 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式 之一求方程，然后转化为一般式 跟踪训练 1(1)根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式 斜率是1 2，且经过点 A(8，6)的直线方程为_； 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是3 2和3 的直线方程为_； 经过点 P1(3，2)，P2(5，4)的直线方程为_ 答案x2y402xy30 xy10 (2)直线 2xy20 绕它与 y 轴的交点 A 按逆时针方向旋转 90所得的直线方程是() Ax2y40Bx
5、2y40 Cx2y40Dx2y40 答案D 解析直线 2xy20 与 y 轴的交点为 A(0，2)， 所求直线过点 A 且斜率为1 2， 所求直线的方程为 y21 2x，即 x2y40. 二、利用一般式解决直线的平行与垂直问题 例 2已知直线 l 的方程为 3x4y120，求满足下列条件的直线 l的方程： (1)过点(1,3)，且与 l 平行； (2)过点(1,3)，且与 l 垂直 解方法一l 的方程可化为 y3 4x3， l 的斜率为3 4. (1)l与 l 平行，l的斜率为3 4. 又l过点(1,3)， 由点斜式知方程为 y33 4(x1)， 即 3x4y90. (2)l与 l 垂直， l
6、的斜率为4 3，又 l过点(1,3)， 由点斜式可得方程为 y34 3(x1)， 即 4x3y130. 方法二(1)由 l与 l 平行， 可设 l的方程为 3x4ym0.将点(1,3)代入上式得 m9. 所求直线的方程为 3x4y90. (2)由 l与 l 垂直，可设 l的方程为 4x3yn0. 将(1,3)代入上式得 n13. 所求直线的方程为 4x3y130. 反思感悟(1)利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略 已知直线 l1：A1xB1yC10(A1，B1不同时为 0)，l2：A2xB2yC20(A2，B2不同时为 0) l1l2A1B2A2B10，且 B1C2B2C10 或 A1C2
7、A2C10. l1l2A1A2B1B20. (2)过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法 由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由 点斜式写方程 可利用如下待定系数法：与直线 AxByC0(A，B 不同时为 0)平行的直线方程可设为 AxByC10(C1C)，再由直线所过的点确定 C1；与直线 AxByC0(A，B 不同时为 0) 垂直的直线方程可设为 BxAyC20，再由直线所过的点确定 C2. 跟踪训练 2判断下列各对直线是平行还是垂直，并说明理由 (1)l1：3x5y60，l2：6x10y30； (2)l1：3x6y140，l2：2xy20；
8、 (3)l1：x2，l2：x4； (4)l1：y3，l2：x1. 解(1)方法一将两直线方程各化为斜截式： l1：y3 5x 6 5， l2：y3 5x 3 10. 则 k13 5，b 16 5；k 23 5，b 2 3 10. k1k2，且 b1b2， l1l2. 方法二310560 且 336(6)0， l1l2. (2)方法一将两直线方程各化为斜截式： l1：y1 2x 7 3， l2：y2x2. 则 k11 2，k 22. k1k21，故 l1l2. 方法二32(6)10， l1l2. (3)l1：x2，l2：x4，且两直线在 x 轴上的截距不相等，l1l2. (4)由方程知 l1y
9、轴，l2x 轴，则 l1l2. 三、直线的一般式方程的应用 例 3设直线 l 的方程为(m22m3)x(2m2m1)y62m0. (1)已知直线 l 在 x 轴上的截距为3，求 m 的值； (2)已知直线 l 的斜率为 1，求 m 的值 解(1)由题意知 m22m30，即 m3 且 m1，令 y0，得 x 2m6 m22m3， 2m6 m22m33，得 m 5 3或 m3(舍去) m5 3. (2)由题意知，2m2m10，即 m1 2且 m1. 由直线 l 化为斜截式方程 得 ym 22m3 2m2m1x 62m 2m2m1， 则m 22m3 2m2m11， 得 m2 或 m1(舍去) m2.
10、 延伸探究 对于本例中的直线 l 的方程，若直线 l 与 y 轴平行，求 m 的值 解直线 l 与 y 轴平行， m22m30， 2m2m10， 62m0， m1 2. 反思感悟含参直线方程的研究策略 (1)若方程 AxByC0 表示直线，则需满足 A，B 不同时为 0. (2)令 x0 可得在 y 轴上的截距令 y0 可得在 x 轴上的截距若确定直线斜率存在，可将 一般式化为斜截式 (3)解分式方程要注意验根 跟踪训练 3(1)已知直线 l 的方程为 3x4y120， 直线 l 与坐标轴交于 A， B 两点， 则AOB 的面积为_ 答案6 解析直线 l 的方程为 3x4y120， 令 x0
11、得 y3， 令 y0 得 x4， 故令 A(4,0)，B(0,3)，SAOB1 2436. (2)已知(k1)x(k1)y2k0 为直线 l 的方程，求证：不论 k 取何实数，直线 l 必过定点， 并求出这个定点的坐标 解整理直线 l 的方程得(xy)k(xy2)0.无论 k 取何值，该式恒成立， 所以 xy0， xy20， 解得 x1， y1. 所以直线 l 经过定点 M(1，1) 1知识清单： (1)直线的一般式方程 (2)直线五种形式方程的互化 (3)利用直线方程判定直线的平行与垂直 2方法归纳：分类讨论法、化归转化 3常见误区：忽视直线斜率不存在的情况；忽视两直线重合的情况 1直线x
12、3 y 41 化成一般式方程为( ) Ay4 3x4 By4 3(x3) C4x3y120D4x3y12 答案C 2在平面直角坐标系中，直线 x 3y30 的倾斜角是() A30B60C150D120 答案C 解析直线斜率 k 3 3 ，所以倾斜角为 150，故选 C. 3已知直线 l：kxy12k0(kR)，则该直线过定点_ 答案(2,1) 解析直线 l：kxy12k0， 即 k(x2)(y1)0， 当 x20，y10 时过定点， x2，y1， 该直线过定点(2,1) 4若直线(2m25m2)x(m24)y5m0 的倾斜角是 45，则实数 m 的值是_ 答案3 解析由已知得 2m25m2 m
13、24 1， m240， m3. 课时课时对点对点练练 1过点(2,1)，斜率 k2 的直线方程为() Ax12(y2)B2xy10 Cy22(x1)D2xy50 答案D 解析根据直线方程的点斜式可得，y12(x2)，即 2xy50. 2过点 A(2,3)且垂直于直线 2xy50 的直线方程为() Ax2y40B2xy70 Cx2y30Dx2y50 答案A 解析过点 A(2,3)且垂直于直线 2xy50 的直线的斜率为1 2，由点斜式求得直线的方程为 y31 2(x2)，化简可得 x2y40，故选 A. 3直线 l1：axyb0，l2：bxya0(a0，b0，ab)在同一坐标系中的图象大致是 (
14、) 答案C 解析将 l1与 l2的方程化为 l1：yaxb，l2：ybxa. A 中，由图知 l1l2，而 ab，故 A 错； B 中，由 l1的图象可知，a0，由 l2的图象知 b0，a0，两者矛盾，故 B 错； C 中，由 l1的图象可知，a0，b0，由 l2的图象可知，a0，b0，故正确； D 中，由 l1的图象可知，a0，b0，b0，两者矛盾，故 D 错 4已知直线 l1：ax(a2)y20 与 l2：xay10 平行，则实数 a 的值为() A1 或 2B0 或 2 C2D1 答案D 解析由 l1l2知，aa1(a2)，即 a2a20，a2 或 a1. 当 a2 时，l1与 l2重合
15、，不符合题意，舍去； 当 a1 时，l1l2. a1. 5 已知直线 axby10 在 y 轴上的截距为1， 且它的倾斜角是直线3xy 30 的倾 斜角的 2 倍，则 a，b 的值分别为() A 3，1B. 3，1C 3，1D. 3，1 答案A 解析原方程化为x 1 a y 1 b 1， 1 b1，b1. 又axby10 的斜率 ka ba， 且3xy 30 的倾斜角为 60， ktan 120 3，a 3，故选 A. 6(多选)三条直线 xy0，xy0，xay3 构成三角形，则 a 的取值可以是() A1B1C2D5 答案CD 解析直线 xy0 与 xy0 都经过原点， 而无论 a 为何值，
16、 直线 xay3 总不经过原点， 因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线 xay3 与另两条直线不平行，所以 a1. 7斜率为 2，且经过点 A(1,3)的直线的一般式方程为_ 答案2xy10 解析由 y32(x1)得 2xy10. 8 已知直线(a2)x(a22a3)y2a0 在 x 轴上的截距为 3， 则该直线在 y 轴上的截距为 _ 答案 4 15 解析把(3,0)代入已知方程，得(a2)32a0， a6， 直线方程为4x45y120， 令 x0，得 y 4 15. 9设直线 l 的方程为(a1)xy2a0(aR) (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程； (2)若 l
17、不经过第二象限，求实数 a 的取值范围 解(1)当直线 l 过原点时，直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距均为 0， a2，此时直线 l 的方程为 3xy0； 当直线 l 不过原点时，a2，直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距分别为a2 a1，a2， a2 a1a2，解得 a0 或 a2(舍去)， 直线 l 的方程为 xy20. 综上所述，直线 l 的方程为 3xy0 或 xy20. (2)将 l 的方程化为 y(a1)xa2， l 不经过第二象限， a10， a20， 解得 a1. 综上可知，实数 a 的取值范围是(，1 10已知在ABC 中，点 A 的坐标为(1,3)，AB，AC 边上
18、的中线所在直线的方程分别为 x 2y10 和 y10，求ABC 各边所在直线的方程 解设 AB，AC 边上的中线分别为 CD，BE，其中 D，E 分别为 AB，AC 的中点， 点 B 在中线 BE：y10 上， 设 B 点坐标为(x,1) 又A 点坐标为(1,3)，D 为 AB 的中点， 由中点坐标公式得 D 点坐标为 x1 2 ，2 . 又点 D 在中线 CD：x2y10 上， x1 2 2210，解得 x5， B 点坐标为(5,1) 同理可求出 C 点的坐标是(3，1) 故可求出ABC 三边 AB，BC，AC 所在直线的方程分别为 x2y70，x4y10 和 x y20. 11直线 x(a
19、21)y10 的倾斜角的取值范围是() A. 0， 4B. 0， 2 3 4 ， C. 2，D. 3 4 ， 答案D 解析k 1 a21，1k0. 倾斜角的取值范围是 3 4 ， . 12如果直线 ax(1b)y50 和(1a)xyb0 同时平行于直线 x2y30，那么 a， b 的值分别为() A1 2，0 B2,0 C.1 2，0 D1 2，2 答案A 解析直线 ax(1b)y50 和(1a)xyb0 同时平行于直线 x2y30， a 1 1b 2 5 3， 1a 1 1 2 b 3 ， 解得 a1 2， b0. 13若直线 mx4y20 与直线 2xyn0 垂直，垂足为(1，p)，则实数
20、 n 的值为() A2B4C10D8 答案A 解析由已知得 2m40， m4p20， 2pn0， 解得 n2. 14垂直于直线 3x4y70，且与两坐标轴围成的三角形的面积为 6 的直线 l 的方程为 _ 答案4x3y120 或 4x3y120 解析由题意可设与直线 3x4y70 垂直的直线的方程为 4x3yc0(c0)， 令 y0，得 xc 4，令 x0，得 y c 3， 则 S1 2| c 4| c 3|6，得 c2122，c12， 直线 l 的方程为 4x3y120 或 4x3y120. 15如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,2)，B(2,0)，C(1,0)，分别以
21、 AB， AC 为边向外作正方形 ABEF 与 ACGH，则直线 FH 的一般式方程为_ 答案x4y140 解析过点 H，F 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为 M，N(图略) 四边形 ACGH 为正方形， RtAMHRtCOA， OC1，MHOA2， OMOAAM3， 点 H 的坐标为(2,3)，同理得到 F(2,4)， 直线 FH 的方程为y3 43 x2 22， 化为一般式方程为 x4y140. 16已知集合 A x，y| y3 x2a1，B(x，y)|(a21)x(a1)y15，当 a 取何值 时，AB？ 解集合 A，B 分别为 xOy 平面上的点集 集合 A 表示 l1：(a1)xy2a10(x2)， 集合 B 表示 l2：(a21)x(a1)y150. 由 a1a11a21， 115a12a1， 得 a1. 当 a1 时，B，AB； 当 a1 时，集合 A 表示直线 y3(x2)， 集合 B 表示直线 y15 2 ，两直线平行AB； 由 l1可知(2,3)A，当(2,3)B，即 2(a21)3(a1)150 时，可得 a4 或 a5 2，此 时 AB. 综上可知，当 a 的值为4，1,1，5 2时，AB.
