1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 6 节 二次函数与幂函数 基础对点练 (时间： 30 分钟 ) 1函数 y 3 x2的图象大致是 ( ) 解析： y 3 x2 x23，其定义域为 x R，排除 A， B， 又 0 23 1，图象在第一象限为上凸的，排除 D. 答案： C 2已知函数 f(x) x2 2x 2 的定义域和值域均为 1， b，则 b 等于 ( ) A 3 B 2 或 3 C 2 D 1 或 2 解析： 函数 f(x) x2 2x 2 在 1， b上递增， 由已知 条件? f 1，f b b，b 1，即? b2 3b 2 0，b 1. 解得 b 2. 答案： C 3幂函数 y
2、xm2 4m(m Z)的图象如图所示，则 m 的值为 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 解析： 因为 y xm2 4m(m Z)的图象与坐标轴没有交点， 所以 m2 4m 0，即 0 m 4， =【 ;精品教育资源文库 】 = 又因为函数的图象关于 y 轴对称，且 m Z， 所以 m2 4m 为 偶数，因此 m 2. 答案： C 4如果函数 f(x) x2 bx c 对任意实数 t 都有 f(2 t) f(2 t)，那么 ( ) A f(2) f(1) f(4) B f(1) f(2) f(4) C f(2) f(4) f(1) D f(4) f(2) f(1) 解析： 因为 f(2 t
3、) f(2 t)， 所以 f(x)的图象关于 x 2 对称，又开口向上 所以 f(x)在 2， ) 上单调递增，且 f(1) f(3) 所以 f(2) f(3) f(4)，即 f(2) f(1) f(4) 答案： A 5 (2018 吉安一模 )若幂函数 f(x)的图象经过点 ? ?3， 33 ，则函数 g(x) x f(x)在 ? ?12， 3 上的值域为 ( ) A.? ?2， 4 33 B.? ?2， 3 22 C.? ?0， 4 33 D 0， ) 解析： 设 f(x) x ， 因为 f(x)的图象过点 ? ?3， 33 ， 所以 3 33 ， 解得 12， 所以 f(x) x 12，
4、 所以函数 g(x) x f(x) x x 12 x 1x. 当 x ? ?12， 3 时，在 x 1 时， g(x)取得最小值 g(1) 2， 在 x 3 时， g(x)取得最大值 g(3) 3 13 4 33 ， 所以函数 g(x)在 x ? ?12， 3 上的值域是 ? ?2， 4 33 . 答案： A =【 ;精品教育资源文库 】 = 6 (2018 日照第一中学月考 )已知函数 f(x) x2 2x 3 在区间 0， t上有最大值 3，最小值 2，则 t 的取值范围是 ( ) A 1， ) B 0,2 C ( ， 2 D 1,2 解析： f(x) x2 2x 3 (x 1)2 22
5、，当 x 1 时， f(x)取最小值 2. 又 f(0) f(2) 3，作出其图象如图所示结合图形可知， t 的取值范围是 1,2故选D. 答案： D 7若 (a 1) 12 (3 2a) 12，则 a 的取值范围是 ( ) A.? ?23， B.? ?23， 32 C.? ?1， 32 D.? ?23， 1 解析： 因为 f(x) x 12的定义域为 (0， ) ，且在 (0， ) 上是减 函数， 所以原不等式等价于? a 1 0，3 2a 0，a 1 3 2a，即? a 1，a 32，a 23.所以 23 a 32. 答案： B 8 (2018 合肥模拟 )已知二次函数 f(x) ax2
6、bx 1(a， b R)， x R，若函数 f(x)的最小值为 f( 1) 0，则 f(x) _. 解析： 由题意 知? f a b 1 0， b2a 1， 解得 ? a 1，b 2， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 f(x) x2 2x 1. 答案： x2 2x 1 9若 y xa2 4a 5 是偶函数，且在 (0， ) 内是减函数，则整数 a 的值是 _ 解析： 因为函数在 (0， ) 内是减函数， 所以 a2 4a 5 0. 所以 1 a 5，则整数 a 0,1,2,3,4. 又函数是偶函数， 所以 a2 4a 5 是偶数， 所以整数 a 的值可以是 1,3. 答案： 1 或 3
7、 10已知 a 是实数，函数 f(x) 2ax2 2x 3 在 x 1,1上恒小于零，求实数 a 的取值范围 解： 2ax2 2x 3 0 在 1,1上恒成立 当 x 0 时，适合； 当 x0 时， a 32? ?1x 13 2 16，因为 1x ( ， 1 1， ) ，当 x 1 时，右边取最小值 12，所以 a 12. 综上，实数 a 的取值范围是 ? ? ， 12 . 能力提升练 (时间： 15 分钟 ) 11设 abc 0，二次函数 f(x) ax2 bx c 的图象可能是 ( ) 解析： 对于选项 A， C 都有? b2a 0，c 0，所以 abc 0，故排除 A， C；对于选项 B
8、， D，都有 b2a 0， =【 ;精品教育资源文库 】 = 即 ab 0，则当 c 0 时， abc 0.选 D. 答案： D 12.如果是二次函数 y ax2 bx c 图象的一部分，图象过点 A( 3,0)，对称轴为 x 1，给出下面四个结论： b2 4ac； 2a b 1； a b c 0； 5a b. 其中正确的是 ( ) A B C D 解析： 因为图象与 x 轴交于两点， 所以 b2 4ac 0， 即 b2 4ac， 正确； 对称轴为 x 1， 即 b2a 1,2a b 0， 错误； 结合图象，当 x 1 时， y a b c 0， 错误； 由对称 轴为 x 1 时， b 2a，
9、 又函数图象开口向下， 所以 a 0， 所以 5a 2a， 即 5a b， 正确 答案： B 13若函数 f(x) (x a)(bx 2a)(a， b R)是偶函数，且它的值域为 ( ， 4，则该函数的解析式为 f(x) _. 解析： 因为 f(x) (x a)(bx 2a) bx2 (2a ab)x 2a2 是偶函数，则其图象关于 y轴对称， 所以 2a ab 0，所以 b 2 或 a 0(舍去 ) 又因为 f(x) 2x2 2a2且值域为 ( ， 4， 所以 2a2 4， f(x) 2x2 4. 答案： 2x2 4 14若抛物线 y x2 ax 2 与连接两点 M(0,1)， N(2,3)
10、的线段 (包括 M， N 两点 )有两个相异的交点，则 a 的取值范围是 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析： 易知过点 (0,1)， (2,3)的直线方程为 y x 1，而抛物线 y x2 ax 2 与线段MN 有两个交点，即方程 x2 ax 2 x 1 在区间 0,2上有两个不等实根，令 f(x) x2 (a 1)x 1，则? 0 a 12 2，f a 12 0，f 10 ，f 2a 30 ，解得 a 的范围为 32 a 1. 答案： 32， 1 15已知函数 f(x) ax2 2ax 1 在区间 1,2上有最大值 4，求实数 a 的值 解： f(x) a(x 1)2 1 a， 当
11、 a 0 时，函数 f(x)在区间 1,2上的值为常数 1，不符合题意，舍去； 当 a 0 时，函数 f(x)在区间 1,2上是增函数，最大值为 f(2) 8a 1 4，解得a 38； 当 a 0 时，函数 f(x)在区间 1,2上是减函数，最大值为 f( 1) 1 a 4，解得a 3. 综上 a 38或 a 3. 16已知函数 f(x) ax2 bx 1(a， b 为常数 )， x R， F(x)? f x ， x 0， f x ， x 0. (1)若 f( 1) 0，且函数 f(x)的值域为 0， ) ，求 F(x)的表达式； (2)在 (1)的条件下，当 x 2,2时， g(x) f(x
12、) kx 是单调函数，求实数 k 的取值范围； (3)设 m n 0， m n 0， a 0 且 f(x)为偶函数，证明 F(m) F(n) 0. (1)解： 因为 f( 1) 0， 所以 a b 1 0， a b 1. 又 x R， f(x)的值域为 0， ) ， 所以? a 0， b2 4a 0， 所以 b2 4(b 1) 0， b 2， a 1， 所以 f(x) x2 2x 1 (x 1)2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 F(x)? x 2， x 0， x 2， x 0. (2)解： g(x) f(x) kx x2 2x 1 kx x2 (2 k)x 1， 当 k 22 2 或 k 22 2 时， 即 k6 或 k 2 时， g(x)在 2,2上是单调函数 故所求实数 k 的取值范围为 ( ， 2 6， ) (3)证明： 因为 f(x)是偶函数， 所以 f(x) ax2 1， F(x)? ax2 1， x 0， ax2 1， x 0， 因为 m n 0，不妨设 m n， 则 n 0， 又 m n 0， m n 0， 所以 m2 n2， 又 a 0， 所以 F(m) F(n) (am2 1) an2 1 a(m2 n2) 0. 命题得证
