1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标 第 58 讲 参数方程 解密考纲 高考中，主要涉及曲线的参数方程、参数方程与普通方程的互化，能写出直线、圆和椭圆的参数方程，常以解答题的形式出现 1已知曲线 C1：? x 4 cos t，y 3 sin t (t 为参数 )， C2： ? x 8cos ，y 3sin ( 为参数 ) (1)化 C1， C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若 C1上的点 P 对应的参数为 t 2 ， Q 为 C2上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 C3：? x 3 2t，y 2 t (t 为参数 )的距离的最小值 解析 (1)C1： (x 4)
2、2 (y 3)2 1， C2： x264y29 1. C1为圆心是 ( 4,3)，半径为 1 的圆 C2为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆 (2)当 t 2 时， P( 4,4)， Q(8cos ， 3sin )， 故 M? ? 2 4cos ， 2 32sin . C3为直线 x 2y 7 0， M 到 C3的距离 d 55 |4cos 3sin 13|. 从而当 cos 45， sin 35时， d 取得最小值 8 55 . 2 (2017 全国卷 )在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为? x 3cos ，y sin (为参数 )，直线
3、l 的参数方程为? x a 4t，y 1 t (t 为参数 ) (1)若 a 1，求 C 与 l 的交点坐标； (2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17，求 a. 解析 (1)曲线 C 的普通方程为 x29 y2 1. 当 a 1 时，直线 l 的普通方程为 x 4y 3 0. =【 ;精品教育资源文库 】 = 由? x 4y 3 0，x29 y2 1， 解得 ? x 3，y 0 或 ? x 2125，y 2425.从而 C 与 l 的交点坐标为 (3,0)， ? ? 2125， 2425 . (2)直线 l 的普通方程为 x 4y a 4 0，故 C 上的点 (3cos ， sin
4、)到 l 的距离为 d |3cos 4sin a 4|17 . 当 a 4 时， d 的最大值为 a 917.由题设得 a 917 17， 所以 a 8； 当 a 4 时， d 的最大值为 1 a17.由题设得 1 a17 17， 所以 a 16. 综上， a 8 或 a 16. 3在极坐标系中，圆 C 的圆心为 C? ?2， 3 ，半径为 2.以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为? x 1 32 t，y 3 12t(t 为参数 ) (1)求圆 C 的极坐标方程； (2)设 l 与圆的交点为 A， B， l 与 x 轴的交点为 P，求
5、 |PA| |PB|. 解析 (1)在直角坐标系中，圆心为 C(1， 3)，所以圆 C 的方程为 (x 1)2 (y 3)2 4，即 x2 y2 2x 2 3y 0， 化为极坐标方程得 2 2 cos 2 3 sin 0， 即 4sin? ? 6 . (2)将? x 1 32 t，y 3 12t代入 x2 y2 2x 2 3y 0，得 t2 4，所以点 A， B 对应的参数分别为 t1 2， t2 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 令 3 12t 0，得点 P 对应的参数为 t0 2 3. 所以 |PA| |PB| |t1 t0| |t2 t0| |2 2 3| | 2 2 3| 2 2
6、 3 ( 22 3) 4 3. 4已知曲线 C 的参数方程是? x cos ，y m sin ( 为参数 )，直线 l 的参数方程为? x 1 55 t，y 4 2 55 t(t 为参数 ) (1)求曲线 C 与直线 l 的普通方程； (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 P， Q 两点，且 |PQ| 4 55 ，求实数 m 的值 解析 (1)由? x cos ，y m sin ， 得 ? x cos ，y m sin ， 2 2得曲线 C 的普通方程为 x2 (y m)2 1. 由 x 1 55 t，得 55 t x 1，代入 y 4 2 55 t，得 y 4 2(x 1)， 所以直线 l
7、的普通方程为 y 2x 2. (2)圆心 (0， m)到直线 l 的距离为 d | m 2|5 ，所以由勾股定理得 ? ?| m 2|5 2 ? ?2 552 1，解得 m 3 或 m 1. 5直线 l：? x a 4t，y 1 2t (t 为参数 )，圆 C： 2 2cos? 4 (极轴与 x 轴的非负半轴重合，且单位长度相同 ) (1)求圆心 C 到直线 l 的距离； (2)若直线 l 被圆 C 截得的弦长为 6 55 ，求 a 的值 解析 (1)把? x a 4t，y 1 2t 化为普通方程为 x 2y 2 a 0，把 2 2cos? 4化为直角坐标系中的方程为 x2 y2 2x 2y
8、0， 圆心 C(1， 1)到直线 l 的距离为 d 5|1 a|5 . (2)由 (1)知圆的半径为 2，弦长的一半为 35， =【 ;精品教育资源文库 】 = ? ?35 2 ? ?|1 a|5 2 ( 2)2， a2 2a 0，解得 a 0 或 a 2. 6已知直线 l 的参数方程为 ? x 1 2t，y 2t(t 为参数 )，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是 sin 1 sin2 . (1)写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的普通方程； (2)若点 P 是曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小值，并求出点 P 的坐标 解析
9、 (1) ? x 1 2t，y 2t， x y 1. 直线 l 的极坐标方程为 cos sin 1， 即 2 ? ?cos cos 4 sin sin 4 1，即 2 cos? ? 4 1. 曲线 C 的极坐标方程是 sin 1 sin2 ， sin cos2 ， cos2 sin ， ( cos )2 sin ，即曲线 C 的普通方程为 y x2. (2)设 P(x0， y0)， y0 x20， P 到直线 l 的距离为 d |x0 y0 1|2 |x0 x20 1|2 ?x0122 342 ? ?x0 12 2 342 . 当 x0 12时， d 取最小值， dmin 3 28 ，此时 P? ?12， 14 ， 当点 P 的坐标为 ? ?12， 14 时， P 到直线 l 的距离最小，最小值为 3 28 .
