1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 高考达标检测（二十五） 数列求和的 3 种方法 分组转化、裂项相消及错位相减 一、选择题 1在公差大于 0 的等差数列 an中， 2a7 a13 1，且 a1， a3 1， a6 5 成等比数列，则数列 ( 1)n 1an的前 21 项和为 ( ) A 21 B 21 C 441 D 441 解析：选 A 设等差数列 an的公差为 d， d0，由题意可得 2(a1 6d) (a1 12d) 1， a1(a1 5d 5) (a1 2d 1)2， 解得 a1 1， d 2， 所以 an 1 2(n 1) 2n 1. 所以 ( 1)n 1an ( 1)n 1(2n
2、1)， 故数列 ( 1)n 1an的前 21 项和为 1 3 5 7 ? 37 39 41 210 41 21. 2已知数列 an的通项公式是 an 2n 3? ?15 n，则其前 20 项和为 ( ) A 380 35? ?1 1519 B 400 25? ?1 1520 C 420 34? ?1 1520 D 440 45? ?1 1520 解析：选 C 令数列 an的前 n 项和为 Sn， 则 S20 a1 a2 ? a20 2(1 2 ? 20) 3? ?15 152 ? 1520 2 2 315?1 15201 15 420 34? ?1 1520 . 3已知数列 an是首项为 1，
3、公差为 2 的等差数列，数列 bn满足关系 a1b1 a2b2 a3b3 ? anbn 12n，数列 bn的前 n 项和为 Sn，则 S5的值为 ( ) A 454 B 450 C 446 D 442 解析：选 B 由题意可得 an 2n 1，因为 a1b1 a2b2 a3b3 ? anbn 12n， 所以当 n2 时， a1b1 a2b2 a3b3 ? an 1bn 1 12n 1， =【 ;精品教育资源文库 】 = 两式相减可得 anbn 12n，则 bn (2n 1)2 n(n2) ， 当 n 1 时， b1 2，不满足上式， 则 S5 2 12 40 112 288 450. 4已知数
4、列 an： 12， 13 23， 14 24 34， ? ， 110 210 310 ? 910， ? ，若 bn 1an an 1，那么数列 bn的前 n 项和 Sn ( ) A. nn 1 B. 4nn 1 C. 3nn 1 D. 5nn 1 解析：选 B 由题意知 an 1n 1 2n 1 3n 1 ? nn 1 n2， 则 bn 1an an 1 4n n 4? ?1n 1n 1 ， 所以 Sn 4? ?1 12 12 13 ? 1n 1n 1 4? ?1 1n 1 4nn 1. 5 (2018 福州质检 )已知数列 an中， a1 1，且对任意的 m， n N*， 都有 am n a
5、man mn，则 ?i 12 018 1ai ( ) A.2 0182 019 B.2 0172 018 C 2 D.4 0362 019 解析：选 D 令 m 1，则 an 1 a1 an n. 又 a1 1，所以 an 1 an n 1，即 an 1 an n 1， 所以 a2 a1 2， a3 a2 3， ? ， an an 1 n(n2) ， 把以上 n 1 个式子相加，得 an a1 2 3 ? n， 所以 an 1 2 3 ? n n n2 ， 当 n 1 时，上式也成立，所以 an n n2 ， 所以 1an 2n n 2? ?1n 1n 1 ， 所以 ?i 12 0181ai
6、2? ?1 12 ? ?12 13 ? ? ?12 018 12 019 2? ?1 12 019 4 0362 019. =【 ;精品教育资源文库 】 = 6 (2017 全国卷 )几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了 “ 解数学题获取软件激活码 ” 的活动这款软件的激活码为下面数 学问题的答案：已知数列 1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16， ? ，其中第一项是20，接下 来的两项是 20,21，再接下来的三项是 20,21,22，依此类推求满足如下条件的最小整数 N： N100且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂那
7、么该款软件的激活码是 ( ) A 440 B 330 C 220 D 110 解析：选 A 设第一项为第 1 组，接下来的两项为第 2 组，再接下来的三项为第 3 组，依此类推，则第 n 组的项数为 n，前 n 组的项数和为 n n2 . 由题意可知， N100，令 n n2 100， 得 n14 ， n N*，即 N 出现在第 13 组之后 易得第 n 组的所有项的和为 1 2n1 2 2n 1， 前 n 组的所有项的和为 2n1 2 n 2n 1 n 2. 设满足条件的 N 在第 k 1(k N*， k13) 组，且第 N 项为第 k 1 组的第 t(t N*)个数， 若要使前 N 项和为
8、 2 的整数幂， 则第 k 1 组的前 t 项的和 2t 1 应与 2 k 互为相反数， 即 2t 1 k 2， 2t k 3， t log2(k 3)， 当 t 4， k 13 时， N 2 4 955 时， N440，故选 A. 二、填空题 7 (2018 陕西一检 )已知数列 an中， a1 2， a2n an 1， a2n 1 n an，则 an的前 100项和为 _ 解析：由 a1 2， a2n an 1， a2n 1 n an，得 a2n a2n 1 n 1， a1 (a2 a3) (a4 a5) ? (a98 a99) 2 2 3 ? 50 1 276， a100 1 a50 1
9、 (1 a25) 2 (12 a12) 14 (1 a6) 13 (1 a3) 12 (1 a1)13， a1 a2 ? a100 1 276 13 1 289. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案： 1 289 8已知数列 an中， a1 1， an 1 ( 1)n(an 1)，记 Sn为 an的前 n 项和，则 S2 018_. 解析：由 a1 1， an 1 ( 1)n(an 1)可得， a2 2， a3 1， a4 0， a5 1， a6 2， a7 1， ? ， 故该数列为周期是 4 的数列， 所以 S2 018 504(a1 a2 a3 a4) a1 a2 504( 2) 1
10、2 1 009. 答案： 1 009 9已知正项数列 an中， a1 1， a2 2,2a2n a2n 1 a2n 1(n2) ， bn 1an an 1，数列 bn的前 n 项和为 Sn，则 S33的值是 _ 解析： 2a2n a2n 1 a2n 1(n2) ， 数列 a2n为首项为 1，公差为 22 1 3 的等差数列， a2n 1 3(n 1) 3n 2. an 3n 2， bn 1an an 1 13n 2 3n 1 13( 3n 1 3n 2)， 数列 bn的前 n 项和为 Sn 13( 4 1) ( 7 4) ? ( 3n 1 3n 2) 13( 3n 1 1) 则 S33 13(
11、10 1) 3. 答案： 3 三、解答题 10 (2018 西安八校联考 )设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 a5 3， S10 40. (1)求数列 an的通项公式； (2)若从数列 an中依次取出第 2,4,8， ? ， 2n， ? 项，按原来的顺序排成一个新数列 bn，求数 列 bn的前 n 项和 Tn. 解： (1) a5 a1 4d 3， S10 10a1 45d 40， 解得 a1 5， d 2. an 2n 7. (2)依题意， bn a2n 22 n 7 2n 1 7， 故 Tn (22 23 ? 2n 1) 7n 22 2n 121 2 7n =【 ;精品教育资源
12、文库 】 = 4 7n 2n 2. 11已知等比数列 an的公比 q1，且 a1 a3 20， a2 8. (1)求数列 an的通项公式； (2)设 bn nan， Sn是数列 bn的前 n 项和， 对任意正整数 n，不等式 Sn n2n 1( 1)n a恒成立，求实数 a 的取值范围 解： (1)由已知得? a1 q2 20，a1q 8， 2q2 5q 2 0，解得 q 12或 q 2. q1， ? a1 4，q 2， 数列 an的通项公式为 an 2n 1. (2)由题意，得 bn n2n 1， Sn 122 223 324 ? n2n 1， 12Sn123224 ? n 12n 1 n2
13、n 2， 两式相减，得 12Sn 122 123 124 ? 12n 1 n2n 2， Sn 12 122 123 ? 12n n2n 112?1 12n1 12 n2n 1 1 n 22n 1 ， ( 1)n a 12； 当 n 为偶函数时， f(n)的最小值为 34， a0，所以 1 1n 10，可得 an 1 an 3 0，即 an 1 an 3， 所以 an是首项为 1，公差为 3 的等差数列 所以 an 1 3(n 1) 3n 2. (2)由 an 3n 2，可得 bn 1anan 1 1n n 13? ?13n 2 13n 1 ， 故 Tn b1 b2 ? bn 13? ?1 14 ? ?14 17 ? ? ?13n 2 13n 1 13? ?1 13n 1 n3n 1. 因为 Tn 1 Tn n 1n 1 n3n 1 1n n 0， 所以 Tn 1Tn，所以数列 Tn是递增数列 所以 t4 Tn?t4 Tn?t4 T1 14?t1 ， 所以实数 t 的最大值是 1.
