1、人 教 A 版 高 中 数 学 必 修 第 二 册6.3.5 平面向量数量积的坐标表示广信数学组温故知新温故知新向量平行(共线)条件的两种形式:11221221(1) / / (0);(2) / / ( ,),(,),0)0ab babab ax ybxybx yx y 有向线段有向线段 的的中点坐中点坐标标公公式式21PP 222121yyyxxx 112121yyyxxx有向线段有向线段 的的定比分点坐定比分点坐标标公公式式21PP向量数量积的定义向量数量积的定义：cosa ba b 已知两个非零向量已知两个非零向量 与与 ，它们的夹角为，它们的夹角为，我，我们把数量叫做们把数量叫做 与与
2、 的数量积（或内积），记作的数量积（或内积），记作 ，即，即ababab温故知新温故知新课堂探究课堂探究 探究探究 已知已知 ，怎，怎样样用用 与与 的坐的坐标标表示表示 呢？呢？1122( ,),( ,)ax ybx ya b ab1122,ax iy j bx iy j 1122() ()a bx iy jx iy j 2212121212x x ix y ijy x j iy y j 1,1,0i ij ji jj i 1212abx xy y探索新知探索新知（1）若）若 ，则，则 ，或，或( ,)ax y222axy22axy如果表示向量如果表示向量 的有向线段的起点和终点的坐的有向线
3、段的起点和终点的坐标标分别为分别为 ，那么，那么 1122(,), (,)xyxya（2）设）设 ，则，则1122( ,),(,)ax ybx y2121(,)axxyy222121()()axxyy12120abx xy y 课堂典例课堂典例121222221122cosx xy ya ba bxyxy 设设 都是非零向量，都是非零向量， ， 是是 与与 的夹角，的夹角，根据数量积的定义及坐根据数量积的定义及坐标标表示可得表示可得,a b 1122(,),(,)ax ybxyab 课堂典例课堂典例 例例10 已知已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则，则 ABC是是什么形状？证明
4、你的猜想什么形状？证明你的猜想.A(1,2)C(-2,5)x0y 1 , 123 , 12 AB 2 1,5 23,3AC 03131 ACABACAB ABC是直角是直角三三角形角形证明：证明：方法方法1 1向量的向量的数量积数量积是否为零是否为零, ,是是判断相应的两判断相应的两条线段或直线条线段或直线是否垂直是否垂直的重的重要方法之一要方法之一 课堂典例课堂典例2222= 1,1= -3,3= -4,2|2| 3 3| 2 5|ABACBCABACBCABACBCABC 方法 ：，|，|，是直角三角形3,2=,1ABCACBCkk 变式练习：已知是直角三角形，求 的值。112313=,
5、=-, =332kkk 课堂典例课堂典例例例11：设：设a=(5,-7),b=(-6,-4),求求ab及及a、b间间的夹角的夹角(精确到精确到1)解解ab = 5(-6)+(-7) (-4) = -30+28 = -2,747522a5246 22b03. 052742cos926 . 1rad 课堂典例课堂典例例例12 用向量方法证明两角差的余弦公用向量方法证明两角差的余弦公式式cos()coscossinsin 课堂典例课堂典例(1)yxOA终边B终边(2)yxOA终边B终边(cossin)OA , ,(cossin)OB , ,coscossinsinOA OB )sin,(cos 课堂
6、典例课堂典例(1)yxOA终边B终边(2)yxOA终边B终边coscossinsinOA OB | |cosOA OBOAOB coscoscossinsincoscos()coscossinsin2k2k 2,kkZ cos()cos(2)k cos 课堂练习课堂练习解解:设所求向量为设所求向量为(x, y), 则则103422yxyx54535453yxyx或)54,53()54,53(bb或练习练习1:已知已知 =(4,3) ,求与求与 垂直的单位向量垂直的单位向量 .aab 课堂练习课堂练习练习练习已知i=(1,0),j=(0,1),与2i+j垂直的向量是 A. 2i-j B . i-
7、2jC. 2i+j D . i+2j已知已知a=(,2),b=(-3,5),且且a和和b的夹角是钝角的夹角是钝角,则则的的范围是范围是 310 . 310 .310 . 310 .DCBABA 课堂小结课堂小结)()(2211jyixjyixba2121yyxx.,22222121yxbyxaA、B两点间的距离公两点间的距离公式式:已知已知),(11yxA),(22yxB,)()(212212yyxxAB 课堂小结课堂小结222221212121cosyxyxyyxx向量的坐标运算沟通了向量与解析几何向量的坐标运算沟通了向量与解析几何的内在联系，解析几何中与角度、距离、的内在联系，解析几何中与角度、距离、平行、垂直有关的问题，可以考虑用向平行、垂直有关的问题，可以考虑用向量方法来解决量方法来解决. . 0/1221yxyxba1 2120abx xy y
