1、人 教 A 版 高 中 数 学 必 修 第 二 册9.2 用样本估计总体用样本估计总体 9.2.2 总体百分位数的估计总体百分位数的估计第一步第一步: 求极差求极差（一组数据中的最大值与最小值的差）（一组数据中的最大值与最小值的差）. .第二步第二步: 决定组距与组数决定组距与组数: 组距：组距：指每个小组的两个端点的距离；指每个小组的两个端点的距离；组数：组数：k=k=极差极差组距，若组距，若k k为整数，则组数为整数，则组数=k=k，否则，组数，否则，组数=k+1.=k+1.将数据分组，当数据在将数据分组，当数据在100个以内时，个以内时， 按数据多少常分按数据多少常分5-12组。组。温故
2、知新温故知新 第四步：列频率分布表第四步：列频率分布表. . 计算各小组的频率，作出下面的频率分布表计算各小组的频率，作出下面的频率分布表. .第三步：确定分点，将数据分组第三步：确定分点，将数据分组. .各组均为各组均为左闭右开左闭右开区间，最后一组是闭区间区间，最后一组是闭区间画频率分布直方图的步骤画频率分布直方图的步骤温故知新温故知新 第五步：画出频率分布直方图第五步：画出频率分布直方图小长方形的面积小长方形的面积=组距组距 =频率频率。频率频率组距组距提出问题提出问题 前面我们用前面我们用频率分布表、频率分布直方图频率分布表、频率分布直方图描描述了居民用户月均用水量的样本数据，通过对图
3、述了居民用户月均用水量的样本数据，通过对图表的观察与分析，得出了一些样本数据的频率分表的观察与分析，得出了一些样本数据的频率分布规律，由此推测了该市全体居民用户月均用水布规律，由此推测了该市全体居民用户月均用水量的分布情况，得出了量的分布情况，得出了“大部分居民用户的月均大部分居民用户的月均用水量集中在一个较低值区域用水量集中在一个较低值区域”等推断等推断. . 接下来接下来的问题是，如何利用这些信息，为政府决策服务的问题是，如何利用这些信息，为政府决策服务呢？下面我们对此进行讨论呢？下面我们对此进行讨论. .提出问题提出问题 问题问题2 2 如果该市政府希望使如果该市政府希望使80%80%的
4、居民用户生活的居民用户生活用水费支出不受影响，根据用水费支出不受影响，根据9. 2.19. 2.1节中节中100100户居户居民用户的月均用水量数据，你能给市政府提出确民用户的月均用水量数据，你能给市政府提出确定居民用户月均用水量标准的建议吗？定居民用户月均用水量标准的建议吗？首先要明确一下问题：首先要明确一下问题：根据市政府的要求确定根据市政府的要求确定居民用户月均用水量标准，就是要寻找一个数居民用户月均用水量标准，就是要寻找一个数a,使全市居民用户月均用水量中不超过使全市居民用户月均用水量中不超过a的占的占80%, 大于大于a的占的占20%. 下面我们通过样本数据对下面我们通过样本数据对
5、a 的值进行估计的值进行估计.解决问题解决问题 称此数称此数13.713.7为这组数据的为这组数据的第第8080百分位数百分位数或或80%80%分分位数位数解解: (1): (1)把把100100个样本数据按从小到大排序个样本数据按从小到大排序1.3 1.3 2.0 2.013.3 13.6 13.8 13.8 28.0 (2)(2)得到第得到第8080和第和第8181个数据分别是个数据分别是13.613.6和和13.813.8(3)(3)我们取这两个数的平均数我们取这两个数的平均数13.6+13.8=13.72可以发现，区间可以发现，区间(13.6(13.6，13.8)13.8)内的任意一个
6、数，内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分都能把样本数据分成符合要求的两部分. . 解决问题解决问题 根据根据样本数据样本数据的第的第8080百分位数，我们可以百分位数，我们可以估计总体数估计总体数据据的第的第8080百分位数为百分位数为13.713.7左右左右. . 由于样本的取值规律由于样本的取值规律与总体的取值规律之间会存在偏差，而在决策何題中，与总体的取值规律之间会存在偏差，而在决策何題中，只要临界值近似为第只要临界值近似为第8080百分位数即可，因此为了实际百分位数即可，因此为了实际中操作的方便，可以建议市政府把月均用水量标准定中操作的方便，可以建议市政府把月均用水量标准
7、定为为14 t14 t，或者把年用水量标准定为，或者把年用水量标准定为168 t168 t引入新知引入新知 一般地，一组数据的第一般地，一组数据的第 p 百分位数是这样一百分位数是这样一个值，个值， 它使得这组数据中至少它使得这组数据中至少 有有 p% 的数据小的数据小于于 或等于这个值，且至少有或等于这个值，且至少有 (100-p)%的数据大于的数据大于或等于这个值或等于这个值.百分位数定义：百分位数定义：备注：备注： 求百分位数时，一定要将数据按照从小到大求百分位数时，一定要将数据按照从小到大的顺序排列的顺序排列引入新知引入新知 可以通过下面的步骤计算一组可以通过下面的步骤计算一组 n n
8、 个数据的第个数据的第p p百百分位数：分位数：第第1 1步，按从小到大排列原始数据步，按从小到大排列原始数据; ;第第2 2步，计算步，计算 i =ni =nP P; ;第第3 3步，步， 若若 i i 不是整数，而大于不是整数，而大于 i i 的比邻整的比邻整数为数为 j , j , 则第则第p p百分位数为第百分位数为第 j j 项数据项数据; ; 若若 i i 是整数，则第是整数，则第p p百分位数为第百分位数为第 i i 项与第项与第 (i +1) (i +1) 项数据的平均数项数据的平均数. .引入新知引入新知 我们在初中学过的我们在初中学过的中位数中位数，相当于是第，相当于是第5
9、050百分位数百分位数. . 在实际应用中，除了中位数外在实际应用中，除了中位数外, , 常用的分位数还有第常用的分位数还有第2525百分位数，第百分位数，第7575百分位数百分位数. . 这三个分位数把一组由这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数四分位数. . 其中第其中第2525百分位数也称为百分位数也称为第一四分位数第一四分位数或或下四分位数下四分位数等，等，第第7575百分位数也称为百分位数也称为第三四分位数第三四分位数或或上四分位数上四分位数等等. . 另外，像第另外，像第1 1百分位数百分位数, , 第第5 5百分位
10、数，第百分位数，第9595百分百分位数和第位数和第9999百分位数在统计中也经常被使用百分位数在统计中也经常被使用. .课堂典例课堂典例 例例2.2.根据根据9.1.29.1.2节问题节问题3 3中中2727名女生的样本数据名女生的样本数据, ,估计树人估计树人中学高一年级女生的第中学高一年级女生的第25,50,7525,50,75百分位数百分位数. .解:把把2727名女生的样本数据按从小到大排序名女生的样本数据按从小到大排序, ,可得可得分组分组频数频数频率频率1.2，4.2)230.234.2，7.2)320.327.2，10.2)130.1310.2，13.2)90.0913.2，16
11、.2)90.0916.2，19.2)50.0519.2，22.2)30.03 例例3 3、根据下表估计月均用水量的样本数据的根据下表估计月均用水量的样本数据的80%80%和和95%95%分位数分位数. .解:由频率分布表可知由频率分布表可知, ,月均用水量在月均用水量在13.2t13.2t以下的居民以下的居民用户所占比例为用户所占比例为%,77%9%13%32%23%.86%9%77在在16.2t16.2t以下的居民用户所占比例为以下的居民用户所占比例为, 2 .1409. 077. 080. 032 .13因此，因此，80%80%分位数一定位于分位数一定位于13.2,16.2)13.2,16
12、.2)内。由内。由可以估计月均用水量的样本数据的可以估计月均用水量的样本数据的80%80%分位数约为分位数约为14.214.2课堂典例课堂典例 课堂典例课堂典例 0 50.9422322.95,0.04.9.2 类似地，由类似地，由可以估计月均用水量的样本数据的可以估计月均用水量的样本数据的95%95%分位数约为分位数约为22.9522.95 例例3 3、根据下图估计月均用水量的样本数据的根据下图估计月均用水量的样本数据的80%80%和和95%95%分位数分位数. .先算各组的频率，先算各组的频率，解题步骤如上解题步骤如上课堂典例课堂典例 课堂小结课堂小结 计算一组计算一组 n n 个数据的第个数据的第p p百分位数的步骤：百分位数的步骤：第第1 1步，按从小到大排列原始数据步，按从小到大排列原始数据; ;第第2 2步，计算步，计算 i =ni =nP P; ;第第3 3步，步， 若若 i i 不是整数，而大于不是整数，而大于 i i 的比邻整的比邻整数为数为 j , j , 则第则第p p百分位数为第百分位数为第 j j 项数据项数据; ; 若若 i i 是整数，则第是整数，则第p p百分位数为第百分位数为第 i i 项与第项与第 (i +1) (i +1) 项数据的平均数项数据的平均数. .
