1、第七章复数单元测验卷(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.计算:i(1+i)2=()A.-2B.2C.2iD.-2i2.复数-2i1+i =()A.-1-iB.-1+iC.1+iD.1-i3.已知i是虚数单位,则复数(2+i)(1-i)在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知复数z=2-i2+i-2+i2-i,则z的共轭复数的虚部为()A.65B.85C.-85D.-85i5.已知复数z=5a2+i+1+i1-i,aR,若复数z在复平面内对应的点
2、位于第四象限,则实数a的取值范围是()A.a1C.0a1D.a16.设复数z满足zz为纯虚数,若z在复平面内对应的点的坐标为(x,y),x,y0,则()A.x-y=0B.x+y=0C.(x-y)(x+y)=0D.x2+y2=17.若z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i,mR,z2=3-2i,则“m=1”是“z1=z2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.*任意复数z=a+bi(a,bR,i为虚数单位)都可以表示成z=r(cos +isin )(其中r=a2+b2,00,则z12-z22B.|z1-z2|=(z1+z2)2-4z1z2C.z12
3、+z22=0z1=z2=0D.z1-z1是纯虚数或零12.若z1,z2,z3是复数,且z10,则下列命题正确的是()A.若|z2|=|z3|,则z2=z3B.若z1z2=z1z3,则z2=z3C.若z2=z3,则|z1z2|=|z1z3|D.若z1z2=|z1|2,则z1=z2三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.在复平面内,复数1+i与-1+3i分别对应向量OA和OB,其中O为坐标原点,则|AB|=.14.设复数z满足|z1|=1,|z2|=2,z1+z2=-1+3i,则|z1-z2|=.15.已知i为虚数单位,若复数z=a2-4+(a-2)i(aR)
4、是纯虚数,则|z+1|=;zz=.16.定义复数的一种运算z1*z2=|z1|+|z2|2(等式右边为普通运算),若复数z=a+bi,且正实数a,b满足a+b=3,则z*z的最小值为.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知i为虚数单位,当实数x为何值时,复数z=log2(x+3)+ilog2(3-x)在复平面内对应的点:(1)位于第二象限?(2)位于直线x+y-2=0上?18.(本小题满分12分)设实部为正数的复数z,满足|z|=10,且复数(1+2i)z在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上.(1)求复数z;(2)若
5、z+mi1+i(mR)为纯虚数,求实数m的值.19.(本小题满分12分)已知z是复数,z+2i与z2-i均为实数.(1)求复数z;(2)若复数(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.20.(本小题满分12分)已知复数z满足|z|=2,z2的虚部是2.(1)求复数z;(2)设z,z2,z-z2在复平面内对应的点分别为A,B,C,求ABC的面积.21.(本小题满分12分)已知=-12+32i(i为虚数单位).(1)求(+22)2+(2+2)2;(2)求2+12;(3)类比in,探讨n的性质.22.(本小题满分12分)已知复数 z1=2sin -3i,z2=1+2icos ,
6、i为虚数单位,3,2. (1)若 z1z2是实数,求cos 2的值;(2)若复数 z1,z2对应的向量分别是a,b,存在 使等式(a-b)(a-b)=0成立,求实数 的取值范围.答案全解全析一、单项选择题1.Ai(1+i)2=i2i=-2.2.A复数-2i1+i=-2i(1-i)(1+i)(1-i)=-i(1-i)=-1-i.3.D(2+i)(1-i)=2-2i+i-i2=3-i,其在复平面内对应的点为(3,-1),位于第四象限.故选D.4.B复数z=2-i2+i-2+i2-i=(2-i)2(2+i)(2-i)-(2+i)2(2-i)(2+i)=-8i5,则z的共轭复数的虚部为85.5.Bz=
7、5a(2-i)(2+i)(2-i)+(1+i)(1+i)(1-i)(1+i)=2a+(1-a)i,因为复数z在复平面内对应的点位于第四象限,所以2a0,1-a1.6.C由题意可知z=x+yi(x,yR,且x,y0),则z=x-yi,zz=x+yix-yi=(x+yi)2(x-yi)(x+yi)=x2-y2x2+y2+2xyx2+y2i,因为zz为纯虚数,所以x2-y2=0,即(x-y)(x+y)=0,故选C.7.A若z1=z2,则m2+m+1=3,m2+m-4=-2,解得m=1或m=-2.所以“m=1”是“z1=z2”的充分不必要条件.8.Dz=2i1-3i=2i(1+3i)(1-3i)(1+
8、3i)=-32+12i,r=-322+122=1,cos =-32,sin =12,又02,=56.故z的辐角的主值为56.二、多项选择题9.BCD由虚部的概念知A错误;由cos 1400知B正确;由zz=|z|2=1知C正确;z3=(cos 140+isin 140)3=cos(1403)+isin(1403)=cos 420+isin 420=12+32i,D正确.10.BC对于A,在复平面内,实轴上的点都表示实数,虚轴上的点除原点外都表示虚数,A错误;对于B,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则z1+z2=(a+c)-(b+d)i,z1+z2=(a+c)-(b+d)i
9、,所以z1+z2=z1+z2,B正确;对于C,im+im+1+im+2+im+3=im(1+i+i2+i3)=im(1+i-1-i)=0,C正确;对于D,若|z-i|=|z+i|,则在复平面内,复数z对应的点到点(0,1)和(0,-1)的距离相等,所以复数z在复平面内对应的点的集合是实轴,D错误.故选BC.11.ABC当z1=4+i,z2=2-2i时,z12=15+8i,z22=-8i,满足z12+z220,但z12与-z22都是虚数,不能比较大小,故A中结论错误;因为|z1-z2|2不一定等于(z1-z2)2,所以|z1-z2|与(z1+z2)2-4z1z2不一定相等,故B中结论错误;当z1
10、=2+i,z2=1-2i时,z12=3+4i,z22=-3-4i,满足z12+z22=0,但z1=z2=0不成立,故C中结论错误;设z1=a+bi(a,bR),则z1=a-bi,故z1-z1=2bi,当b=0时,z1-z1=0,当b0时,z1-z1是纯虚数,故D中结论正确.12.BC取z2=1+i,z3=1-i,满足|z2|=|z3|,但z2z3,选项A错误;当z1z2=z1z3时,有z1z2-z1z3=z1 (z2-z3)=0,又z10,所以z2=z3,故选项B正确;若z2=z3,则z2=z3,所以|z1z2|2-|z1z3|2=(z1z2)(z1z2)-(z1z3)(z1z3)=z1z2z
11、1z2-z1z3z1z3=z1z2z1z2-z1z3z1z3=z1z1(z2z2-z3z3)=z1z1(z2z3-z3z2)=0,故选项C正确;若z1z2=|z1|2,则z1z2=z1z1,可得z1z2-z1z1=z1(z2-z1)=0,因为z10,所以z1=z2,故选项D错误.故选BC.三、填空题13.答案22解析AB=OB-OA,所以AB对应的复数为(-1+3i)-(1+i)=-2+2i,所以|AB|=22.14.答案6解析由题意可设z1=a+bi(a,bR),z2=c+di(c,dR).因为z1+z2=-1+3i,所以a+c=-1,b+d=3,即有a2+2ac+c2+b2+2bd+d2=
12、4,又因为|z1|=1,|z2|=2,所以a2+b2=1,c2+d2=4,所以1+4+2ac+2bd=4,即2ac+2bd=-1,则|z1-z2|=(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=1+4-(-1)=6.15.答案17;16解析复数z=a2-4+(a-2)i(aR)是纯虚数,a2-4=0,a-20,解得a=-2,z=-4i,z=4i,|z+1|=|1-4i|=17,zz=16.16.答案322解析z*z=|z|+|z|2=2a2+b22=a2+b2=(a+b)2-2ab.a+b=3,aba+b22=94,当且仅当a=b=32时,等号成立,-ab-94,z*z
13、9-294=92=322.故z*z的最小值为322.四、解答题17.解析(1)z在复平面内对应的点在第二象限,(log2(x+3),log2(3-x)在第二象限,(2分)log2(x+3)0,解得-3x0,bR),由题意得|z|=a2+b2=10,(1分)(1+2i)z=a-2b+(b+2a)i,(3分)因为复数(1+2i)z在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上,所以a-2b=b+2a,由可得a2+b2=10,a+3b=0,解得a=3,b=-1,(5分)即z=3-i.(6分)(2)因为z+mi1+i=3+i+m+mi2=3+m2+1+m2i为纯虚数,(9分)所以3+m2=0,且1+m2
14、0,(10分)所以m=-6.(12分)19.解析(1)设z=x+yi(x,yR),则z+2i=x+(y+2)i,(1分)z2-i=x+yi2-i=(2x-y)+(x+2y)i5.(2分)由条件得,y+2=0且x+2y=0,所以x=4,y=-2.(5分)所以复数z=4-2i.(6分)(2)(z+ai)2=(4-2i+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i.(8分)由条件得12+4a-a20,8(a-2)0,(10分)解得2a6,所以实数a的取值范围是(2,6).(12分)20.解析(1)设z=a+bi(a,bR),则z2=a2-b2+2abi.(2分)由题意得a2+b2=2且2ab=2,
15、解得a=b=1或a=b=-1,(4分)所以z=1+i或z=-1-i.(6分)(2)当z=1+i时,z2=2i,z-z2=1-i,所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所以SABC=1.(9分)当z=-1-i时,z2=2i,z-z2=-1-3i,所以A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),所以SABC=1.综上,ABC的面积为1.(12分)21.解析(1)=-12+32i,2=-12-32i=,3=1,2+1=0,(3分)(+22)2+(2+2)2=2+43+44+42+43+4=52(2+1)+33=3.(5分)(2)2+12=4+12=4+32=2+=-1.(7分)(3)
16、由(1)可知2=-12-32i=,3=1,n=1,n=3k,n=3k-2,(kN*).,n=3k-1(12分)22.解析(1)由题意得z1z2=2sin +23cos +(4sin cos -3)i,(3分)由z1z2为实数,可得 4sin cos -3=0,sin 2=32,(4分)又3,2,223,2=23,(5分)cos 2=-12.(6分)(2)由题意得a=(2sin ,-3),b=(1,2cos ), (a-b)(a-b)=(a2+b2)-(1+2)(ab)=0.(8分)a2+b2=(2sin )2+(-3)2+1+(2cos )2=8,ab=(2sin ,-3)(1,2cos ) =2sin -23cos =4sin-3,(a-b)(a-b)=8-4(1+2)sin-3=0,即sin-3=21+2,(10分)3,2,-30,6,sin-30,12,021+212,解得 2+3或02-3.故实数的取值范围是 0,2-32+3,+).(12分)
