1、2020-2021学年山西省临汾市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.）1已知复数z1+2i，则的虚部是（）A2iB2iC2D22已知集合My|yx21，xR，则MN（）A1，+）BCD3下列命题错误的是（）A直棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的矩形B用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台C若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直D棱台的侧棱延长后交于一点，且棱台侧面均为梯形4在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，A45，C105，则b（）A3B2C1D5利用斜二测画法得到：水平放置的三角形的直观图是三角形；水平放置的平行四边
2、形的直观图是平行四边形；水平放置的正方形的直观图是菱形；水平放置的菱形的直观图是菱形以上结论正确的是（）ABCD6下列命题中为真命题的是（）A“ab0”的充要条件是“”B“ab”是“”的既不充分也不必要条件C命题“xR，x22x0”的否定是“xR，x22x0”D“a2，b2”是“ab4”的必要条件7在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的余弦值为（）ABCD8在ABC中，已知ABAC，AB2，AC3，D是ABC内一点，且DAB45，若+（，R），则（）ABCD9声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数yAsint，我们听到的声音是由纯音合成的
3、，称之为复合音若一个复合音的数学模型是函数f（x）|cosx|+|sinx|，则下列结论正确的是（）Af（x）是偶函数Bf（x）的最小正周期为2Cf（x）在区间上单调递增Df（x）的最小值为110在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinCcsinB，且，则ABC一定是（）A锐角三角形B钝角三角形C等边三角形D等腰直角三角形11气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22”现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位为）：甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为27；丙地：5个数据中
4、有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8则肯定进入夏季的地区有（）A3个B2个C1个D0个12如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的有（）A当E点运动时，A1CAE总成立B当E向D1运动时，二面角AEFB逐渐变小C二面角EABC的最小值为45D三棱锥ABEF的体积为定值二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上13函数f（x）lg（x2+4x+5）的单调递增区间为 14已知向量（2，0），（x，2），且满足|2+0，则与的夹角为 15已知三棱锥PABC外接球的表面积为676，PB平面ABC
5、，PB10，BAC150，则BC的长为 16某校高一年级共有1000名学生参加了数学测验（满分150分），已知这1000名学生的数学成绩均不低于90分，将这1000名学生的数学成绩分组如下：90，100），100，110），110，120），120，130），130，140），140，150，得到的频率分布直方图如图所示，现有下列说法：a0.035；这1000名学生中数学成绩在100分以下的人数为100；这1000名学生数学成绩的中位数约为121.4；这10000名学生数学成绩的平均数为115其中所有正确说法的序号是 三、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17
6、如图，在ABC中，已知AB2，AC1，BAC120，（1）求；（2）若，求的值18已知函数的最小正周期为，且f（0）3（1）求和的值（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的单调递增区间；求函数g（x）在上的最大值19疫情后，居民减少了乘坐公共交通工具的频率，于是私家车销量提升了现对某大型连锁汽车销售店的100名销售人员去年下半年的销售量进行统计，将数据按照90，110，（110，130，（130，150，（150，170分成4组，得到如图所示的频率分布直方图（1）求这100名销售人员去年下半年销售量的平均数；（同一组中的每个数据可用该
7、组区间的中点值代替）（2）汽车销售店准备从去年下半年销售量在（130，150，（150，170之间的销售人员中，用分层抽样的方法抽取5名销售人员进行经验交流分享，并从这5人中任意抽取2人派到其他店巡回分享经验，求这2人不是来自同一组的概率20如图，ABC是等边三角形，EA平面ABC，DCEA，AEAB2CD，F为BE的中点（1）证明：DF平面ABC（2）证明：AF平面BDE21在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3R2+2abcosCa2+b2，R为ABC外接圆的半径，（1）若a+b6，求ABC的面积；（2）求a+b的最大值，并判断此时ABC的形状22已知a0，函数（1）判断函
8、数f（x）在R上的单调性，并用定义法证明；（2）设g（x）f（x）f（x），若对任意x1，1，g（x）f（2）恒成立，求a的取值范围参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知复数z1+2i，则的虚部是（）A2iB2iC2D2【分析】由z求得，则答案可求解：z1+2i，12i，的虚部是2故选：D2已知集合My|yx21，xR，则MN（）A1，+）BCD【分析】求出集合M，N，由此能求出MN解：因为集合My|yx21，xR1，+），所以MN，+）故选：D3下列命题错误的是（）A直棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的矩形B用一个平面去
9、截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台C若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直D棱台的侧棱延长后交于一点，且棱台侧面均为梯形【分析】对于选项A：直棱柱的侧棱都相等，但侧面不一定全等，可以长方体为例，对于选项B：若截面与底面不平行，则棱锥底面与截面之间的部分不是棱台，作图说明，对于选项C：由线面垂直判定定理与面面垂直判定定理判断即可，对于选项D：由棱台的定义可判断解：对于选项A：直棱柱的侧棱都相等，但侧面不一定全等，如下图，故A错，对于选项B：若截面与底面不平行，则棱锥底面与截面之间的部分不是棱台，如下图故B错，对于选项C：如上图，若CACB，CACD，则CA平面BCD，则平面CAD
10、平面BCD，平面CAB平面BCD，同理可得，平面CAB平面CAD，故C对，对于选项D：由棱台的定义知，D对，故选：AB4在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，A45，C105，则b（）A3B2C1D【分析】由已知利用三角形内角和定理可求B的值，进而利用正弦定理即可解得b的值解：因为A45，C105，所以B30，又，由，即，解得b1故选：C5利用斜二测画法得到：水平放置的三角形的直观图是三角形；水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；水平放置的正方形的直观图是菱形；水平放置的菱形的直观图是菱形以上结论正确的是（）ABCD【分析】根据平面图形的直观图的画法规则，对四个选择逐一判断
11、即可解：对于，由斜二测画法规则知，水平放置的三角形的直观图还是三角形，故选项正确；对于，根据平行性不变知，平行四边形的直观图是平行四边形，故选项正确；对于，由平行于一轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半知，正方形的直观图不是菱形，故选项错误；对于，因为xOy45或135，所得直观图的对角线不垂直，所以直观图不可能为菱形，故选项错误故选：A6下列命题中为真命题的是（）A“ab0”的充要条件是“”B“ab”是“”的既不充分也不必要条件C命题“xR，x22x0”的否定是“xR，x22x0”D“a2，b2”是“ab4”的必要条件【分析】由充分必要条件的定义，逐个判断每个选项，即可得出答案解：对于
12、A：若ab0时，满足ab0，但此时无意义，所以“ab0”不是“1“的充分条件，若1时，则ab，所以ab0，所以“ab0”是“1“的必要条件，故“ab0”不是“1“的必要不充分条件，故A错误；对于B：若a1，b1，则满足ab，此时1，1，有，所以“ab”不是“”的充分条件，若a2，b1，满足，但是ab，从而一定不是充分不必要条件，故B正确；对于C：命题“xR，x22x0”的否定是“xR，x22x0“，故C正确；对于D：若a2，b2，则ab4，所以“a2，b2“是“ab4”的充分条件，若a5，b1，则满足a4，不满足b2，所以“a2，b2“不是“ab4”的必要条件，综上“a2，b2“不是“ab4”
13、的充分不必要条件，故D错误故选：BC7在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的余弦值为（）ABCD【分析】连结BE，则CDAB，从而BAE是异面直线AE与CD所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AE与CD所成角的余弦值解：连结BE，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，CDAB，BAE是异面直线AE与CD所成角（或所成角的补角），设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为2，则AB2，BE，ABBE，AE3，异面直线AE与CD所成角的余弦值为：cosBAE故异面直线AE与CD所成角的余弦值为故选：C8在ABC中，已知ABAC，
14、AB2，AC3，D是ABC内一点，且DAB45，若+（，R），则（）ABCD【分析】以直角三角形的两条直角边分别为x轴和y轴建系，用平面向量的坐标表示算出与的比例解：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，AC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则B（2，0），C（0，3）由于DAB45，可设D（m，m），因为，所以（m，m）（2，0）+（0，3），所以m23，解得故选：A9声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数yAsint，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音若一个复合音的数学模型是函数f（x）|cosx|+|sinx|，则下列结论正确的是（）Af（x）是偶函数Bf（x）的最小正
15、周期为2Cf（x）在区间上单调递增Df（x）的最小值为1【分析】由奇偶性的定义可得f（x）是偶函数，可验证是f（x）的周期，当时，去绝对值号化简判断函数的单调性，结合函数的周期性求f（x）在0，上的最小值即可解：f（x）|cos（x）|+|sin（x）|cosx|+|sinx|f（x），f（x）是偶函数，故A对，是f（x）的周期，故B错，当时，f（x）在区间上单调递增，在上单调递减，故C错，是f（x）的周期，且当时，f（x）minf（0）1，当时，f（x）cosx+sinx2sin（x），f（x）minf（）1，f（x）的最小值为1，故D对故选：AD10在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a
16、，b，c，若asinCcsinB，且，则ABC一定是（）A锐角三角形B钝角三角形C等边三角形D等腰直角三角形【分析】由正弦定理化简已知等式可得ab，从而可得AB，C2A，利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求，利用三角形内角和定理可求，即可得解三角形的形状解：因为asinCcsinB，所以accb，解得ab，从而AB又CAB2A，由，可得2sin2A（5+cos2A）5，进一步整理得（2sin2A1）（2sin2A5）0，所以，则，故ABC为等腰直角三角形故选：D11气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22”现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数
17、据都是正整数，单位为）：甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为27；丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8则肯定进入夏季的地区有（）A3个B2个C1个D0个【分析】根据数据的特点估计三地连续5日平均温度的记录数据，分析数据的可能性进行判断即可解：甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，根据数据得出：甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为22，22，24，25，26，其连续5天的日平均温度均不低于22，故甲地进入夏季，乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为27，比如这5个数据从小到大排列为20，21，27，33，34
18、满足条件，但是有低于22的数，故不确定丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，若有低于22，则取21，此时方差就超出了10.8，可知其连续5天的日平均温度均不低于22则肯定进入夏季的地区有甲、丙两地，故选：B12如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的有（）A当E点运动时，A1CAE总成立B当E向D1运动时，二面角AEFB逐渐变小C二面角EABC的最小值为45D三棱锥ABEF的体积为定值【分析】对于A，利用A1CB1D1，A1CAD1，即可得到A1C平面AB1D1，A1CAE恒成立；对于B，利用平面EFB即平面BDD1B1
19、，即可判断；对于C，当点E从B1D1的中点向点D1运动时，二面角越来越小，即可判断；对于D，直接利用体积公式计算；解：对于A，易证B1D1平面A1C1C，所以A1CB1D1，同理可证A1CAD1，从而A1C平面AB1D1，所以A1CAE恒成立，A正确；对于B，平面EFB即平面BDD1B1，而平面EFA即平面AB1D1，所以当E向D1运动时，二面角AEFB的大小不变，B错误；对于C，当点E从B1D1的中点向点D1运动时，平面ABE逐渐向底面ABCD靠拢，这个过程中，二面角越来越小，所以二面角EABC的最小值为45，C正确；对于D，因为，点A到平面BDD1B1的距离为，所以体积为，即体积为定值，D
20、正确故选：ACD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上13函数f（x）lg（x2+4x+5）的单调递增区间为 （1，2）（或写成（1，2也可以）【分析】由题意利用复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，得出结论解：因为函数f（x）lg（x2+4x+5），由x2+4x+50，求得1x5，可得 函数f（x）的定义域为（1，5）又f（x）的增区间，即 yx2+4x+5的增区间抛物线yx2+4x+5的对称轴为直线x2，开口向下，所以yx2+4x+5的增区间为（1，2），故 f（x）的单调递增区间为（1，2），故答案为：（1，2）14已知向量（2，0），（x，2），
21、且满足|2+0，则与的夹角为 【分析】根据条件以及向量的坐标运算法则可解出x，进而利用向量夹角公式即可算出答案解：设与的夹角为，因为，（2，0），（x，2），所以4+2x0，解得x2，所以，解得故答案为：15已知三棱锥PABC外接球的表面积为676，PB平面ABC，PB10，BAC150，则BC的长为 12【分析】设球的半径为R，ABC外接圆的半径为r，利用球的表面积公式求出R，利用正弦定理求出rBC，然后由勾股定理求解即可解：设球的半径为R，ABC外接圆的半径为r，因为三棱锥PABC外接球的表面积为676，则4R2676，解得R13，由正弦定理可得，解得rBC，由球的半径、截面半径、球心与截
22、面圆心之间距离的关系，则，所以rBC12故答案为：1216某校高一年级共有1000名学生参加了数学测验（满分150分），已知这1000名学生的数学成绩均不低于90分，将这1000名学生的数学成绩分组如下：90，100），100，110），110，120），120，130），130，140），140，150，得到的频率分布直方图如图所示，现有下列说法：a0.035；这1000名学生中数学成绩在100分以下的人数为100；这1000名学生数学成绩的中位数约为121.4；这10000名学生数学成绩的平均数为115其中所有正确说法的序号是 【分析】利用频率之和为1判断选项，利用频率、频数、样本容量之间
23、的关系判读选项，利用中位数的求解方法判断选项，利用平均数的计算公式判断选项解：对于，由（0.012+0.025+a+0.015+0.005）101，得a0.035，故正确；对于，0.01101000100，故正确；对于，因为0.12+0.250.450.5，0.12+0.25+0.350.80.5，所以中位数x120，130），由0.45+（x120）0.0350.5，得x121.4，故正确；对于，这1000名学生数学成绩的平均数为950.1+1050.1+1350.15+1450.05120，故错误故答案为：三、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17如图，在
24、ABC中，已知AB2，AC1，BAC120，（1）求；（2）若，求的值【分析】（1）根据向量三角形法则可得，再由向量模的运算公式代入计算即可；（2）利用向量数量积的运算公式用含的式子表示出，即可解出解：（1）因为，所以又因为，所以，从而；（2）因为所以，解得18已知函数的最小正周期为，且f（0）3（1）求和的值（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的单调递增区间；求函数g（x）在上的最大值【分析】（1）由题意利用正弦函数的周期性，求得，再根据f（0）3，求得，可得函数f（x）的解析式（2）由题意利用函数yAsin（x+）的图象变换规律
25、，三角函数的图象和性质，得出结论解：（1）函数 的最小正周期为 ，2又因为f（0）3，所以，即，故f（x）4sin（2x+）+1（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，则g（x）4sin（2x+）+14cos2x+1函数g（x）的增区间，即tcos2x的减区间，由2x2k，2k+（kZ），求得kxk+，故函数g（x）的单调递增区间为因为，所以当，即时，函数g（x）取得最大值，最大值为19疫情后，居民减少了乘坐公共交通工具的频率，于是私家车销量提升了现对某大型连锁汽车销售店的100名销售人员去年下半年的销售量进行统计，将数据按照90，110，（110，
26、130，（130，150，（150，170分成4组，得到如图所示的频率分布直方图（1）求这100名销售人员去年下半年销售量的平均数；（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）（2）汽车销售店准备从去年下半年销售量在（130，150，（150，170之间的销售人员中，用分层抽样的方法抽取5名销售人员进行经验交流分享，并从这5人中任意抽取2人派到其他店巡回分享经验，求这2人不是来自同一组的概率【分析】（1）利用频率分布直方图中平均数的求解公式求解即可；（2）先求出销售量在（130，150，（150，170的销售人员数，然后由分层抽样计算从（130，150，（150，170组应抽取的人数，再利用
27、古典概型概率公式求解即可解：（1）由频率分布直方图可得，平均数台（2）销售量在（130，150的销售人员有1000.02252045人，销售量在（150，170的销售人员有1000.0152030人，分层抽样的比例为，所以从（130，150组应抽取人，从（150，170组应抽取人，记从（130，150组抽取的3人为A1，A2，A3，从（150，170组抽取的2人为B1，B2，则从中任选2人，基本事件共有10个，分别为：A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，B1，B2，其中不是来自同一组的情况共有6个，分别为：A1，B1，A1
28、，B2，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，则这2人不是来自同一组的概率为20如图，ABC是等边三角形，EA平面ABC，DCEA，AEAB2CD，F为BE的中点（1）证明：DF平面ABC（2）证明：AF平面BDE【分析】（1）取AB的中点G，连接CG，FG推导出四边形CDFG为平行四边形从而DFCG，由此能证明DF平面ABC（2）推导出EACG，CGAB，从而CG平面ABE，由DFCG，得DF平面ABE，从而DFAF推导出AFBE，由此能证明AF平面BDE【解答】证明：（1）如图，取AB的中点G，连接CG，FG因为EFFB，AGGB，所以FGEA，又因为DCEA，所以FGDC，FG
29、DC，四边形CDFG为平行四边形所以DFCG因为DF平面ABC，CG平面ABC，所以DF平面ABC（2）因为EA平面ABC，所以EACG又因为ABC是等边三角形，G是AB的中点，所以CGAB因为AEABA，所以CG平面ABE由（1）知DFCG，所以DF平面ABE，从而DFAF因为AEAB，F为BE的中点，所以AFBE又BEDFF，所以AF平面BDE21在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3R2+2abcosCa2+b2，R为ABC外接圆的半径，（1）若a+b6，求ABC的面积；（2）求a+b的最大值，并判断此时ABC的形状【分析】（1）根据已知条件3R2+2abcosCa2+b
30、2，运用余弦定理，可得3R2c2，又，可推得C，再结合余弦定理和三角形面积公式，即可求解（2）根据已知条件，结合余弦定理和均值不等式，即可求解解：（1）3R2+2abcosCa2+b2，又由余弦定理可得，2abcosCa2+b2c2，3R2c2又，3R24R2sin2C，解得又，由余弦定理得12a2+b2ab，12（a+b）23ab，a+b6，ab8，（2）由余弦定理得12a2+b2ab（a+b）23ab，（a+b）248，当且仅当ab2时等号成立，a+b的最大值为，此时ABC为等边三角形22已知a0，函数（1）判断函数f（x）在R上的单调性，并用定义法证明；（2）设g（x）f（x）f（x），若对任意x1，1，g（x）f（2）恒成立，求a的取值范围【分析】（1）当a0时，f（x）在R上单调递减，即任取x1x2，定号，即可得出答案（2）依题意，利用基本不等式，求出g（x）的最小值，使其大于等于，即可解得a的取值范围解：（1）证明：当a0时，f（x）在R上单调递减任取x1x2，由于x1x2，所以，所以f（x1）f（x2）0，故f（x）在R上单调递减（2）依题意，令t3x，所以在上单调递减，在1，3上单调递增，且当和t3时，而当t1时，y2，所以因为a0，所以，故因为对任意x1，1，恒成立，所以，即，化简得，解得，故a的取值范围是
