1、2019-2020学年山东省临沂市罗庄区高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1若复数z满足zi2+5i（i为虚数单位），则z在复平面上对应的点的坐标为（）A（2，5）B（2，5）C（5，2）D（5，2）2从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）ABCD3如图所示的直观图中，OAOB2，则其平面图形的面积是（）A4BCD84已知非零向量，若，且，则与的夹角为（）ABCD5设l是一条直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A若l，l，则B若，l，则lC若l，l，则D若，l，则l6已知圆锥的顶
2、点为P，母线PA，PB所成角的余弦值为，PA与圆锥底面所成角为60，若PAB的面积为，则该圆锥的体积为（）ABCD7已知数据x1，x2，x2020的方差为4，若yi2（xi3）（i1，2，2020），则新数据y1，y2，y2020的方差为（）A16B13C8D168ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2Aa，则（）A2B2CD二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选的得0分.9若干个人站成一排，其中不是互斥事件的是（）A“甲站排头”与“乙站排头”B“甲站排头
3、”与“乙不站排尾”C“甲站排头”与“乙站排尾D“甲不站排头”与“乙不站排尾”10如图是甲、乙两位同学高三上学期的5次联考的数学成绩，现只知其从第1次到第5次分数所在区间段分布的条形图（从左至右依次为第1至第5次），则从图中可以读出一定正确的信息是（）A甲同学的成绩的平均数大于乙同学的成绩的平均数B甲同学的成绩的中位数在115到120之间C甲同学的成绩的极差小于乙同学的成绩的极差D甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数11已知，是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（）A|B若且0，则C两个非零向量，若|+|，则与共线且反向D已知（1，2），（1，1），且与+的夹角为锐角，则实数的取值
4、范围是（，+）12在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，PAAB，截面BDE与直线PC平行，与PA交于点E，则下列判断正确的是（）AE为PA的中点BPB与CD所成的角为CBD平面PACD三棱锥CBDE与四棱锥PABCD的体积之比等于1：4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13若复数z满足方程z2+20，则z3 14在ABC中，已知D是BC延长线上一点，点E为线段AD的中点，若2，且+，则 15某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果
5、相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 16如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为，则sin的最小值 ，最大值 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程17如图，G是OAB的重心，P、Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线（1）设，将用、表示；（2）设，证明：是定值18已知函数，且当x0，时，f（x）的最小值为2（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；（2）先将函数yf（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位，得到函
6、数yg（x）的图象，当时，求g（x）4的x的集合19如图，在三棱锥PABC中，ACB90，PA底面ABC（1）求证：平面PAC平面PBC；（2）若PAAC1，BC2，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值20某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组65，75），第二组75，85），第八组135，145，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；（2）用样本数据估计该校的2000名学
7、生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率21ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ccosB（3ab）cosC（1）求sinC的值；（2）若，ba2，求ABC的面积22如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA12，C1H平面AA1B1B，且C1H（1）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（2）求二面角AA1C1B1的正弦值；（3）设N为棱B1C1的中点，E在A1B1上，并且B1E：B1A11：4，点M在平面AA1B
8、1B内，且MN平面A1B1C1，证明：ME平面AA1C1C参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若复数z满足zi2+5i（i为虚数单位），则z在复平面上对应的点的坐标为（）A（2，5）B（2，5）C（5，2）D（5，2）【分析】把已知的等式变形，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z，得到其坐标得答案解：由zi2+5i，z52i，z52i在复平面上所对应的点的坐标为（5，2）故选：D2从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率
9、为（）ABCD【分析】先求出基本事件总数n5525，再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率解：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数n5525，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有m10个基本事件，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p故选：D3如图所示的直观图中，OAOB2，则其平面图形的面
10、积是（）A4BCD8【分析】由斜二测画法还原出原图，求面积也可利用原图和直观图的面积关系，先求直观图面积，再求原图面积解：由斜二测画法可知原图应为：其面积为：S4，故选：A4已知非零向量，若，且，则与的夹角为（）ABCD【分析】根据即可得出，再根据即可得出，然后即可得出与的夹角解：，且，且，与的夹角为故选：B5设l是一条直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A若l，l，则B若，l，则lC若l，l，则D若，l，则l【分析】由线面平行的性质和面面的位置关系，可判断A；由线面的位置关系可判断B；由线面平行与垂直的性质定理和面面垂直的判定定理，可判断C；由面面垂直的性质定理和线面的位置关系可判断
11、D解：l是一条直线，是两个不同的平面，若l，l，可得或、相交，故A错误；若，l，可得l或l、l与相交，故B错误；若l，可得过l的平面与的交线ml，由l，可得m，又m，则，故C正确；若，l，可得l或l，故D错误故选：C6已知圆锥的顶点为P，母线PA，PB所成角的余弦值为，PA与圆锥底面所成角为60，若PAB的面积为，则该圆锥的体积为（）ABCD【分析】利用已知条件求出圆锥的母线长，利用直线与平面所成角求解底面半径，然后求解圆锥的体积解：圆锥的顶点为P，母线PA，PB所成角的余弦值为，可得sinAPB由PAB的面积为，得PA2sinAPBPA2，即PA2PA与圆锥底面所成角为60，可得圆锥的底面半
12、径为：sin30，高为则该圆锥的体积为：故选：C7已知数据x1，x2，x2020的方差为4，若yi2（xi3）（i1，2，2020），则新数据y1，y2，y2020的方差为（）A16B13C8D16【分析】根据题意，由数据方差的性质分析可得答案解：根据题意，样本数据x1，x2，x2020的方差是4，yi2（xi3）（i1，2，2020），则y1，y2，y2020的方差为D（Y）D（2（x3）4D（X）4416，故选：A8ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2Aa，则（）A2B2CD【分析】利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理可求的si
13、nA和sinB的关系，最后利用正弦定理求得a和b的比解：asin AsinB+bcos2Aa由正弦定理可知sin2AsinB+sinBcos2AsinAsinB（sin2A+cos2A）sinBsinA选D二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选的得0分.9若干个人站成一排，其中不是互斥事件的是（）A“甲站排头”与“乙站排头”B“甲站排头”与“乙不站排尾”C“甲站排头”与“乙站排尾D“甲不站排头”与“乙不站排尾”【分析】根据题意，由互斥事件的定义依次分析选项，综合即可得答案解：根据题意，依次分析选项：
14、对于A，“甲站排头”与“乙站排头”不可能同时发生，是互斥事件，对于B，“甲站排头”时，乙可以“不站排尾”，两者可以同时发生，不是互斥事件，对于C，甲站排头”时，乙可以“站排尾”，两者可以同时发生，不是互斥事件，对于D，“甲不站排头”时，乙可以“不站排尾”，两者可以同时发生，不是互斥事件，故选：BCD10如图是甲、乙两位同学高三上学期的5次联考的数学成绩，现只知其从第1次到第5次分数所在区间段分布的条形图（从左至右依次为第1至第5次），则从图中可以读出一定正确的信息是（）A甲同学的成绩的平均数大于乙同学的成绩的平均数B甲同学的成绩的中位数在115到120之间C甲同学的成绩的极差小于乙同学的成绩的
15、极差D甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数【分析】根据频数分布表中的数据，对选项中的命题进行分析，判断正误即可解：对于A，甲同学的平均成绩有一个100105内的数，两个115120内的数，没有145150内的数，他的成绩低于乙同学的平均数，A错误；对于C，由频数分布表知甲的极差可以为14010040，乙的极差可以为14511035，所以甲的极差也可能大于乙的极差，C错误；对于B，D，甲同学的中位数在115120，乙同学的中位数在125130，所以甲的中位数小于乙的中位数，B，D正确故选：BD11已知，是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（）A|B若且0，则C两个非零向量，若|+|
16、，则与共线且反向D已知（1，2），（1，1），且与+的夹角为锐角，则实数的取值范围是（，+）【分析】根据平面向量数量积的定义判断A正确；平面向量数量积的消去律不成立，判断B错误；利用平面向量的数量积与模长公式，判断C正确；根据与+的夹角为锐角时，列不等式求出的取值范围，判断D错误解：对于A，由平面向量数量积的定义知|cos|，所以A正确；对于B，由且0，不能得出，所以B错误；对于C，两个非零向量，若|+|，则2+2|+，所以|，所以cos1，即与共线且反向，C正确；对于D，（1，2），（1，1），则+（1+，2+）；若与+的夹角为锐角，则，即，解得且0所以实数的取值范围是（，0）（0，+），D
17、错误故选：AC12在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，PAAB，截面BDE与直线PC平行，与PA交于点E，则下列判断正确的是（）AE为PA的中点BPB与CD所成的角为CBD平面PACD三棱锥CBDE与四棱锥PABCD的体积之比等于1：4【分析】在A中，连结AC，交BD于点F，连结EF，则平面PAC平面BDEEF，推导出EFPC，由四边形ABCD是正方形，从而AFFC，进而AEEP；在B中，由CDAB，得PBA（或其补角）为PB与CD所成角，推导出PAAB，从而PB与CD所成角为；在C中，推导出ACBD，PABD，由此能证明BD平面PAC；在D中，设ABPAx，则，VC
18、BDEVEBCD由此能求出三棱锥CBDE与四棱锥PABCD的体积之比等于1：4解：在A中，连结AC，交BD于点F，连结EF，则平面PAC平面BDEEF，PC平面BDE，EF平面BDE，PC平面PAC，EFPC，四边形ABCD是正方形，AFFC，AEEP，故A正确；在B中，CDAB，PBA（或其补角）为PB与CD所成角，PA平面ABCD，AB平面ABCD，PAAB，在RtPAB中，PAAB，PAB，PB与CD所成角为，故C错误；在C中，四边形ABCD为正方形，ACBD，PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD，PAACA，BD平面PAC，故C正确；在D中，设ABPAx，则，VCBDEVEBC
19、DVCBDC：VPABCD1：4故D正确 故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13若复数z满足方程z2+20，则z3【分析】求解实系数一元二次方程可得z，再由复数代数形式的乘除运算化简求得z3解：由z2+20，得z22，z，当z时，；当z时，故答案为：14在ABC中，已知D是BC延长线上一点，点E为线段AD的中点，若2，且+，则【分析】根据条件将用和表示，再由+求出解：因为E为线段AD的中点，2，所以因为+，所以故答案为：15某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，
20、且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于0.128【分析】根据题意，分析可得，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，则必有必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确；又有每个问题的回答结果相互独立，结合相互独立事件的概率乘法公式，计算可得答案解：根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错；有相互独立事件的概率乘法公式，可得P（A）10.20.80.80.128，故答案为0.128法二：根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，若该
21、选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错，由此分两类，第一个答错与第一个答对；有相互独立事件的概率乘法公式，可得P（A）0.80.20.80.8+0.20.20.80.80.20.80.80.128，故答案为0.12816如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为，则sin的最小值，最大值1【分析】由题意，直线OP于平面A1BD所成的角的取值范围是AOA1，C1OA1，然后利用正方体的性质和直角三角形的边角关系，求出sin的取值范围，再确定其最值解：由题意，直线
22、OP与平面A1BD所成的角的取值范围是AOA1，C1OA1，不妨取AB2在RtAOA1中，sinAOA1sinC1OA1sin（2AOA1）sin2AOA12sinAOA1cosAOA12，sin的取值范围是，1sin的最小值为，最大值为1故答案为：，最大值1四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程17如图，G是OAB的重心，P、Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线（1）设，将用、表示；（2）设，证明：是定值【分析】（1）根据向量的减法法则，将和代入已知等式，化简整理即可得到用、表示的式子；（2）根据G是OAB的重心，算出（+），结合（1）中得出的式子和
23、平面向量基本定理，得到、关于的表达式，从而得到3是定值解：（1），即（）整理，得（1）+（2）G是OAB的重心，（+）（+），（1）+（1）+因此，得到，可得，3（1）+33，即3（定值）18已知函数，且当x0，时，f（x）的最小值为2（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；（2）先将函数yf（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位，得到函数yg（x）的图象，当时，求g（x）4的x的集合【分析】（1）将函数f（x）化简可得f（x），由x0，可得2x+的范围，再由函数的的单调性可得其最小值，由题意可得a的值，进而求出函数f（x）的解析式，求出函数的单调递
24、增区间满足的条件，进而求出函数的单调递增区间；（2）由（1）可得函数f（x）的解析式，通过伸缩变换及平行移动可得g（x）的解析式，进而求出不等式的解集解：（1）函数1+cos2x+sin2x+a，x0，所以2x+，所以f（x）min2sin+a+12+a+12，解得a2，即f（x）2sin（2x+）+3函数的单调递增区间满足2k2x+2k+，kZ，解得 kxk+，kZ，函数 f（x） 的单调递增区间为k，k+kZ；（2）由（1）得f（x）2sin（2x+）+3，由yf（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得，再将图象向右平移 个单位，得，又g（x）4即，即x0，不等式的解集19如图
25、，在三棱锥PABC中，ACB90，PA底面ABC（1）求证：平面PAC平面PBC；（2）若PAAC1，BC2，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值【分析】（1）证明PABC，BCAC，推出BC平面PAC，然后证明平面PAC平面PBC（2）过点A作ADPC，连结MD，说明AMD是直线AM与平面PBC所成的角，通过求解三角形得出结果即可解：（1）证明：在三棱锥PABC中，PA底面ABC，PABC又ACB90，即BCAC，PAACA，BC平面PAC，BC平面PBC平面PAC平面PBC（2）在平面PAC内，过点A作ADPC，连结MD，平面PAC平面PBC，AD平面PBC，AMD是直线AM与
26、平面PBC所成的角在PAC中，PAAC1，ADPC，D为PC的中点，且，又M是PB的中点，在PBC中，AD平面PBC，DM平面PBC，ADDM，在直角三角形ADM中，20某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组65，75），第二组75，85），第八组135，145，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间
27、的中点值代表该组数据平均值）；（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率【分析】（1）由频率分布直方图能求出第七组的频率，由此能完成频率分布直方图（2）用样本数据能估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（3）样本成绩属于第六组的有3人，样本成绩属于第八组的有2人，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，基本事件总数n10，他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数m4，由此能求出他们的分差的绝对值小于10分的概率解：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：1（0.004+0.012+0.016+0.030+0.02
28、0+0.006+0.004）100.08完成频率分布直方图如下：（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：700.00410+800.01210+900.01610+1000.03010+1100.02010+1200.00610+1300.00810+1400.00410102（3）样本成绩属于第六组的有0.00610503人，样本成绩属于第八组的有0.00410502人，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，基本事件总数n10，他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数m4，他们的分差的绝对值小于10分的概率p21ABC的内角A，B，C的对边分别为
29、a，b，c，已知ccosB（3ab）cosC（1）求sinC的值；（2）若，ba2，求ABC的面积【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形，求出cosC的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值；（2）利用余弦定理及已知可求ab的值，利用三角形的面积公式即可计算得解【解答】（本题满分为12分）解：（1）ccosB（3ab）cosC，由正弦定理可知，sinCcosB3sinAcosCsinBcosC，1分即sinCcosB+cosCsinB3sinAcosC，sin（C+B）3sinAcosC，2分A+B+C，sinA3sinAcosC，3分sinA0，cosC，4分0C
30、，sinC；6分（2），cosC，由余弦定理：c2a2+b22abcosC，可得：24a2+b2ab，8分（ab）2+ab24，9分ba2，解得：ab15，10分SABCabsinC512分22如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA12，C1H平面AA1B1B，且C1H（1）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（2）求二面角AA1C1B1的正弦值；（3）设N为棱B1C1的中点，E在A1B1上，并且B1E：B1A11：4，点M在平面AA1B1B内，且MN平面A1B1C1，证明：ME平面AA1C1C【分析】（1）推导出ACA1C1，C1A1B1是异面直线AC与A
31、1B1所成的角由此能求出异面直线AC与A1B1所成角的余弦值（2）连接 AC1，推导出AC1A1B1C1A1，过点A作ARA1C1于点R，连接B1R，得B1RA1C1，从而ARB1为二面角AA1C1B1的平面角连接 AB1，利用余弦定理能求出二面角AA1C1B1的余弦值，进而能求出二面角AA1C1B1的正弦值（3）取HB1中点D，连接ND，推导出ND平面AA1B1B，NDA1B1A1B1MD，MDAA1，连接DE，推导出DEAA1，MEAA1，由此能证明ME平面AA1C1C解：（1）解：ACA1C1，C1A1B1是异面直线AC与A1B1所成的角C1H平面AA1B1B，又B为正方形AA1B1B的
32、中心，AA12，C1H，A1C1B1C13，A1B1AA12，cosC1A1B1，异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为（2）解：连接 AC1，由题意知AC1B1C1，又由于 AA1B1A1，A1C1A1C1，AC1A1B1C1A1，过点A作ARA1C1于点R，连接B1R，得B1RA1C1，故ARB1为二面角AA1C1B1的平面角在RtA1RB1中，B1RA1B1sinRA1B1连接 AB1，在ARB1中，AB14，ARB1R，从而，二面角AA1C1B1的正弦值为（3）证明：MN平面A1B1C1，MNA1B1取HB1中点D，则B1D：B1A1：4，连接ND，由于N是棱B1C1的中点，NDC1H，又C1H平面AA1B1B，ND平面AA1B1B，NDA1B1又MNNDN，A1B1平面MND，A1B1MD，AA1B1B是正方形，MDAA1，连接DE，由，得DEAA1，M，D，E三点共线，MEAA1，ME平面AA1C1C，AA1平面AA1C1C，ME平面AA1C1C
