1、绝密启用前2022年数学期末综合模拟卷1考试范围：必修二 150分 90分钟 难度较易一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 若复数满足，则下列说法正确的是 A. 的虚部为B. 的共轭复数为C. 对应的点在第二象限D. 2. 如果，是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是 A. B. C. D. 3. 现要完成下列项抽样调查：从盒酸奶中抽取盒进行食品卫生检查科技报告厅有排，每排有个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请名听众进行座谈高新中学共有名教职工，其中一般教师名，行政人员名，后勤人员名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为的样
2、本较为合理的抽样方法是A. 简单随机抽样，系统抽样，分层抽样B. 简单随机抽样，分层抽样，系统抽样C. 系统抽样，简单随机抽样，分层抽样D. 分层抽样，系统抽样，简单随机抽样4. 甲、乙两人参加歌唱比赛，晋级概率分别为和，且两人是否晋级相互独立，则两人中恰有一人晋级的概率为A. B. C. D. 5. 设是直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则6. 在中，角，的对边分别为，其面积为，若，则一定是A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形7. 公元前世纪，古希腊欧几里得在几何原本里提出：“球的体积与它的直径的立方成正比
3、”，此即，欧几里得未给出的值世纪日本数学家们对球的体积的方法还不了解，他们将体积公式中的常数称为“立圆率”或“玉积率”类似地，对于等边圆柱轴截面是正方形的圆柱，正方体也可利用公式求体积在等边圆柱中，表示底面圆的直径；在正方体中，表示棱长假设运用此体积公式求得球奖直径为，等边圆柱底面圆的直径为，正方体棱长为的“玉积率”分别为，那么A. B. C. D. 8. 已知四边形为正方形，平面，四边形与四边形也都为正方形，连接，点为的中点，有下述四个结论：；与所成角为；平面；与平面所成角为其中所有正确结论的编号是A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 设向量，则 A. B.
4、 C. D. 与的夹角为10. 如图所示，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的是A. B. 平面C. 与平面所成的角等于与平面所成的角D. 与所成的角等于与所成的角11. 已知事件，且，则下列结论正确的是A. 如果，那么，B. 如果与互斥，那么，C. 如果与相互独立，那么，D. 如果与相互独立，那么，12. 对于，有如下命题，其中错误的是A. 若，则为锐角三角形B. 若，则的面积为C. 在所在平面内，若，则是的重心D. 若，则为等腰三角形三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：甲乙丙丁平均环数方差
5、若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一个14. 已知向量，则，夹角的余弦值为_15. 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为，则其外接球的表面积是_16. 将正方形沿对角线折成直二面角与平面所成角的大小为； 是等边三角形；与所成的角为； ； 二面角为则上面结论正确的为_四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知向量，且，求与若，求向量，的夹角的大小18. 已知复数满足：，且在复平面内对应的点位于第三象限求复数；求的值19. 某校从高一年级学生中随机抽取名学生，将期中考试的数学成绩均为整数分成六段：，后得到如图所示频率分布
6、直方图根据频率分布直方图，分别求众数，第百分位数；用比例分配的分层随机抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为的样本，求在分数段抽取的人数；若甲成绩在，乙成绩在，求在的条件下，甲，乙至少一人被抽到的概率20. 在三棱锥中，为半圆的直径，点在半圆弧上，且平面平面证明：；若，求点到平面的距离21. 在中，角、的对边分别为、，已知。求；若为锐角三角形，且边，求面积的取值范围22. 如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，平面底面求证：平面； 求平面与平面所成的二面角的正切值【草稿纸】答案和解析1.【答案】2.【答案】3.【答案】4.【答案】5.【答案】6.【答案】解：由，且，得，则，又
7、，得或当时，代入，得；当时，代入，得是直角三角形，不是等腰三角形故选：7.【答案】解：；故故选D8.【答案】解：以正方体为背景，放置题设中各种元素因为，所以故正确；因为，而正三角形中，与所成的角为，因此与所成角即为故正确；设，因为平面，平面，所以因为，平面，所以平面因为平面，所以同理，又，、平面.以平面故正确；由平面，故即为与平面所成的角在直角三角形中，显然，所以与平面所成角不是故错误综上可知正确故答案选B9.【答案】10.【答案】解：对于选项A，由题意得，平面，平面，故A中结论正确对于选项B，平面，平面，平面，故B中结论正确对于选项C，由对称性知与平面所成的角与与平面所成的角相等，故C中结论
8、正确，与所成的角是，与所成的角是，而这两个角显然不相等，故D中结论错误故选ABC11.【答案】解：因为，选项A：如果，那么，故A错误；选项B：如果与互斥，说明事件与不可能同时发生，那么，故B正确；选项C：如果与相互独立，说明事件的发生与否与事件的发生与否互不影响，那么，故C错误；选项D：如果与相互独立，说明事件的发生与否与事件的发生与否互不影响，那么，故D正确故选BD12.【答案】解：对于选项A：若，则，由正弦定理知：，由余弦定理知：，又因为，所以为钝角，故A错误；对于选项B：由余弦定理知：，即，解得：或，则或，故B错误；对于选项C：设的中单为，则，因为，所以，则为的靠近点的三等分点，由重心性
9、质知，为的重心，故C正确；对于选项D：若，为三角形的内角，则或，即或，所以为等腰三角形或者直角三角形，故D错误；故选ABD13.【答案】丙14.【答案】15.【答案】16.【答案】解：将正方形沿对角线折成直二面角，设对角线的交点为则，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系不妨取则，与平面所成角为，大小为，因此不正确，可得是等边三角形，正确，与所成的角为，因此正确由已知可得：，平面，所以平面，又平面，因此正确，设平面的法向量为，则，则，取设平面的法向量为，则，则，取则，因此不正确综上可得：只有正确故答案为：17.【答案】解：由，得，解得由，得，解得所以，因为，所以，所以，又因为
10、所以向量，的夹角为18.【答案】解：设，则解得或舍去；，19.【答案】解：由题意可得，解得根据频率分布直方图可知，分数段的频率最高，因此众数为设第直分位数为，则，解得因为总体共名学生，样本容里为，因此抽样比为又在分数段共有人，因此在分数段抽取的人教是人由分层抽样知分数段抽限人，分数段抽取人设甲被抽到的事件为，乙被抽到的事件为，则，于是甲，乙至少一人被抽到的概率为20.【答案】解：证明：因为为半圆的直径，点在半圆弧上，所以，又平面平面，且平面平面，而平面，所以平面，又因为平面，所以解法一：取的中点为，连接，因为，所以，且，由知平面，而平面，所以，而，、平面，所以平面，所以点到平面的距离等于解法二：设点到平面的距离等于，由知平面，所以，因为，故的面积为，的面积为，因为三棱锥与三棱锥的体积相等，所以，所以，所以点到平面的距离等于21.【答案】解：由及正弦定理即可得，由，可得；若为锐角三角形，且，由余弦定理可得，由三角形为锐角三角形，可得且，解得，可得面积22.【答案】证明：底面是正方形，又平面底面，平面底面，底面，平面取的中点，连接，是正三角形，平面，平面，又，平面，平面平面，就是平面与平面所成的二面角的平面角在中，平面与平面所成的二面角的正切值为
